數(shù)學(xué)物理方法 分離變量法ppt課件

1、數(shù)學(xué)物理方法2015.021第十章第十章 分離變量法分離變量法第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace第四節(jié)第四節(jié) 高維定解問題的分離變量法高維定解問題的分離變量法第五節(jié)第五節(jié) 對非齊次邊界條件和非齊次方程的處理對非齊次邊界條件和非齊次方程的處理數(shù)學(xué)物理方法2015.022第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt物理解釋： 一根長為

2、 l 的弦，兩端固定，給定初始位移和速度，在沒有強(qiáng)迫外力作用下的振動(dòng)固定邊界的有界弦自由振動(dòng)固定邊界的有界弦自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.023求解的基本步驟求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t本征值問題( )( )0(0)( )0XxX xXX lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.024第二步：求本征值 和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式( )cossin1,2,3,nnnananT tAtBtlln本征值

3、和本征函數(shù)2,( )sin,1,2,3,nnnlnXxxln第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.025第三步：利用初始條件求得定解問題的解1( , )cossinsinnnnanannu x tAtBtxlll利用初始條件得02( )sinlnnAdll 02( )sinlnnBdanl 第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.026駐波駐波( , )cossinsinsinsinnnnnnanannux tAtBtxlllnanNxtll其中22,arctannnnnnnANABB振 幅頻 率初相位sinnnnaNxlnanln振動(dòng)

4、元素，本征振動(dòng)駐波第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)oln = 4數(shù)學(xué)物理方法2015.027其它邊界條件的混合問題其它邊界條件的混合問題22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txxuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l2,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln兩端自由的邊界條件第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.02822222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuu

5、axl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端點(diǎn)自由、右端點(diǎn)固定的邊界條件第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.02922222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端點(diǎn)固定、右端點(diǎn)自有的邊界條件第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自

6、由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0210第三類邊界條件的混合問題的求解中遇到的困難22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )(0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlututu l tt( )( )0(0)(0)( )0XxX xXXX ltanll第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0211舉例舉例- -弦的敲擊弦的敲擊22222,(0, ),0( ,0)0,( ,0)(),0, ,0(0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xu xxcxlclutu l tt121( , )sinsinsi

7、nnn cannu x ttxanlll對不同的 c ，有界弦的自由振動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0212當(dāng) c=0.2l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0213當(dāng) c=0.5l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0214再例再例- -弦的撥動(dòng)弦的撥動(dòng)2222211,(0, ),0( ,0),( ,0)0,0, , 0()(0, )( , )0,0dtl duuaxl ttxxu xu xxldllxutu l tt222121( , )si

8、ncossin()nln dannu x ttxd ldnlll對不同的 d ，有界弦的自由振動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0215當(dāng) d=0.5l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0216當(dāng) d=0.3l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)數(shù)學(xué)物理方法2015.0217第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)222,(0, ),0( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxu xxxlutu l tt物理解釋： 一根長為 l 的

9、均勻細(xì)桿，其右端保持絕熱，左端保持零度，給定桿內(nèi)的初始的溫度分布，在沒有熱源的情況下桿在任意時(shí)刻的溫度分布數(shù)學(xué)物理方法2015.0218求解的基本步驟求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t( )( )0(0)( )0XxX xXX l本征值問題X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法2015.0219第二步：求本征值 和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式222122()( )exp0,1,2,3,nnanT tAtln本征

10、值和本征函數(shù)21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法2015.0220第三步：利用初始條件求得定解問題的解222112220()()( , )expsinnnannu x tAtxll利用初始條件得120()2( )sinlnnAdll 第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法2015.0221舉例舉例2220,(0, ),0( ,0),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxuu xxxllutu l tt22211022222102()()2( 1)( , )expsin

11、()nnannuu x ttxnll第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法2015.0222當(dāng) u0=1 時(shí)，桿內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化第二節(jié)第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法2015.0223矩形域上的邊值問題矩形域上的邊值問題22220,( , )(0, ) (0, )( ,0)0, ( , ),0, (0, )( , )0,0, uux yabxyu xu x bUxauyu a yyb 散熱片的橫截面為一矩形 0,a 0,b，它的一邊y=b處于較高的溫度，其它三邊保持零度。求橫截面上的穩(wěn)恒的溫度分布o(jì)ab第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的La

12、place方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0224021sinh4121( , )sin2121sinhnnynau x yUxnnaba參數(shù)選取1121abU第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0225圓域內(nèi)的邊值問題圓域內(nèi)的邊值問題22222222220,( , ),xyauuxyaxyuf x y 一個(gè)半徑為a的薄圓盤，前后兩面絕熱，圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù) f (x,y)，求穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤內(nèi)的溫度分布a第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0226222110,0, 02( , )( ),( ,

13、 )( ,2 ),(0, )uurrarrrru afu ru ru有限值,ora+2隱含著的周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件cossinxryr第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0227第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解( , )( ) ( )u rR r0( )(2 ) ()：20(0)r RrRRR有限值R(r)：周期本征值問題歐拉方程第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0228第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nn

14、nnnanbnn20(0)r RrRRR有限值( ),0,1,2,nnnR rc rn第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0229第三步：利用邊界條件01( , )cossinnnnnu raanbnr20020201( )21( )cos1( )sinnnnnaf t dtaf tntdtabf tntdta利用邊界條件第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.023020122222011( , )( )cos()2( )122cos()nnru rf tntdtaf tardtarart解的約化-Poi

15、sson積分公式第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0231舉例舉例- -觀察法觀察法22222222220,xyauuxyaxyAuxa( , )Au x yxa第三節(jié)第三節(jié) 特殊區(qū)域上的特殊區(qū)域上的Laplace方程方程數(shù)學(xué)物理方法2015.0232球域內(nèi)球域內(nèi)Laplace方程的邊值問題方程的邊值問題球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問題球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問題球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0233球域內(nèi)球域內(nèi)Laplace方程的邊值問題

16、方程的邊值問題222222222222220,( , , )xyzauuuxyzaxyzuf x y z球坐標(biāo)變換0020racossinsincossinrzryrx第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0234222222200,111sin0,sinsin( , )( , , )( , ,2 ),r aruuurrrrrrufuu ru ru 有限值,有限值,隱含著的周期邊值條件和球內(nèi)約束條件第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0235第一步：求滿足方程、周期邊界條件和球內(nèi)約束條件的變量分離的解 ,

17、 ,( ) ( )u rR r 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：()：20( )(2 )m 第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.02362(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：11( )llllR rArBr( )llR rAr()：20( )(2 )m ( )cossin0,1,2,mmCmDmm歐拉方程第二步：求R(r)，()和()的具體表達(dá)式第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0237220

18、,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：2221(1)2(1)01xmxyxyl lyxy有限值()= (cos-1x)=y(x) ：締合勒讓德方程( )(cos )(cos )0,1,2,0,1,2,mlyPlml第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.023800( , , )cossin(cos )llmlmlmllmu rrCmDmP 第三步：利用邊界條件求解200(21)()!( , )(cos )cossin2()!mlmllmllmCfPmd da lm 200(21)()!( , )(cos )sinsin2()!ml

19、mllllmDfPmd da lm 2,01,0mmm第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0239舉例舉例20,sincossinr aurau 002222( , , )cossin(cos )sincos sin113sinsin2(cos )sin266llmlmlmllmu aaAmBmPP 22221( , , )(cos )sin26u rr Pa 半徑為a的球形內(nèi)部沒有電荷，球面上的電勢為sin2cossin，求球形區(qū)域內(nèi)部的電勢分布第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0240附記：球函數(shù)

20、附記：球函數(shù), ,( ) ( , )u rR r Y 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：,(cos )cossin,0,1,2,0,1,mmllmmYPCmDmlml 球函數(shù)球方程第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0241球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問題球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問題2222222222222222222220222200,0( , , ),( , , ),0,0tttxyzauuuuaxyza ttxyzux y

21、zxyzaux y zxyzaut第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0242第一步：首先將時(shí)間變量與空間變量分離開來，即求形如 , , , ,u x y z tv x y z T t 022 tTaktTT(t)：2222200 xyzavk vv v(x,y,z)：其中 k 是待定常數(shù)第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0243第二步：求解T(t) 0,0,sincoskDtCtTkkatDkatCtT第三步：求解v(x,y,z) 2222222200,111sin0sinsin0( , , )(

22、, ,2 )r arvvvrk vrrrrrvvv rv rv 有限值有限值第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0244求如下形式的解 ,YrRrv222(1)0( )0(0)ddRrk rl lRdrdrR aR有限值R(r) ：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：球函數(shù),mlY 球Bessel方程球Bessel函數(shù)122nlnAJk rk r第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0245第四步：利用初始條件求解1200( , , , )(c

23、os )(cossin)1cossinlmllmlmnlmnnnnnlnu rtPAmBmJk rCak tDak tk r 第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0246球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題222222222222222222200,0( , , ),0,0txyzauuuuaxyza ttxyzux y zxyzaut120022( , , , )(cos )(cossin)1expmllmnlmnnlmnnlnu rtPAmBmJk ra k tk r 第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分

24、離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0247附注附注對于其它特殊區(qū)域上的定解問題我們同樣可以利用分離變量法進(jìn)行求解例如：例如：半球內(nèi)或外、圓柱上的Laplace方程的邊值問題半球內(nèi)或外、圓柱上的波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)的初邊混合問題等第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第四節(jié)高維定解問題的分離變量法數(shù)學(xué)物理方法2015.0248對非齊次邊界條件的處理對非齊次邊界條件的處理疊加原理疊加原理對非齊次方程的處理對非齊次方程的處理第五節(jié)第五節(jié) 對非齊次情況的處理對非齊次情況的處理數(shù)學(xué)物理方法2015.0249對非齊次邊界條件的處理對非齊次邊界條件的處理2222212( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)(

25、 ),0, ,(0, )( ),( , )( ),0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutg tu l tg tt將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件( , )( , )( , )u x tv x tw x t第五節(jié)第五節(jié) 對非齊次情況的處理對非齊次情況的處理數(shù)學(xué)物理方法2015.02502111( , )( )( )( )w x tg tg txg tl其中w可以取22122211( , )( )()( )w x tg t lxg t xll或第五節(jié)第五節(jié) 對非齊次情況的處理對非齊次情況的處理數(shù)學(xué)物理方法2015.0251疊加原理疊加原理22222( , ),(0, ),0( ,

26、0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt22222( , )( ,0)0,( ,0)0(0, )0,( , )0tuuaf x ttxu xu xutu l t22222( ,0)( ),( ,0)( )(0, )0,( , )0tuuatxu xxu xxutu l t第五節(jié)第五節(jié) 對非齊次情況的處理對非齊次情況的處理數(shù)學(xué)物理方法2015.0252對非齊次方程的處理對非齊次方程的處理22222( , ),(0, ),0( ,0)0,( ,0)0,0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xu xxlutu l tt沖量定理法Fourier級數(shù)法第五節(jié)第五節(jié) 對非齊次情況的處理對非齊次情況的處理數(shù)學(xué)物理方法2015.0253Fourier級數(shù)法級數(shù)法22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt滿足齊次