固體物理第三章3-8

1、 3.3 簡(jiǎn)正振動(dòng)簡(jiǎn)正振動(dòng) 聲子聲子一、簡(jiǎn)正振動(dòng)一、簡(jiǎn)正振動(dòng) 相互作用勢(shì)能是原子偏離平衡位置位移的函數(shù)。相互作用勢(shì)能是原子偏離平衡位置位移的函數(shù)。 inijmijj0rBrA21U 設(shè)設(shè)N個(gè)原子的位移矢量分別為個(gè)原子的位移矢量分別為 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 則則 U = U(u1, u2, , u3N) 平衡位置展開（勢(shì)能）：平衡位置展開（勢(shì)能）：.uuuuU21uuUUUjiN31j , i0ji2iN31i0i0= 0忽略忽略簡(jiǎn)諧近似簡(jiǎn)諧近似能量零點(diǎn)能量零點(diǎn) N個(gè)原子的振動(dòng)動(dòng)能個(gè)原子的振動(dòng)動(dòng)能： N31i2iium2

2、1T 為了消去勢(shì)能中的交叉項(xiàng)，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)為了消去勢(shì)能中的交叉項(xiàng)，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)Qj： N31jjijiiQaum 簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)正坐標(biāo)Qj表示的動(dòng)能和勢(shì)能：表示的動(dòng)能和勢(shì)能： NiiNiiiQTQU31231222121拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) NiiiNiiQQL31223122121哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù) N31i2i2i2iQP21HiiiQQLP正則動(dòng)量.N3 , 2 , 1i,0QQi2ii 簡(jiǎn)諧振子振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振子振動(dòng)方程說明：晶體內(nèi)原子在平衡位說明：晶體內(nèi)原子在平衡位置附近的振動(dòng)可近似看成置附近的振動(dòng)可近似看成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動(dòng)。個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動(dòng)。 i是晶格振動(dòng)頻率是晶格振動(dòng)

3、頻率正則方程正則方程 iiQHP 標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)諧陣子振動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)諧陣子振動(dòng)方程 只有頻率只有頻率 的模式振動(dòng)時(shí)的模式振動(dòng)時(shí)，解為：，解為： tsinAQ 則則： .N3 ,2 , 1i,tsinAmauiii每一個(gè)原子都以相同的頻率作每一個(gè)原子都以相同的頻率作振動(dòng)，這是最基本的振動(dòng)方式，振動(dòng)，這是最基本的振動(dòng)方式，稱為格波的簡(jiǎn)正振動(dòng)。稱為格波的簡(jiǎn)正振動(dòng)。實(shí)際的（原子振動(dòng)）格波振動(dòng)如何？實(shí)際的（原子振動(dòng)）格波振動(dòng)如何？一般是一般是3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的線性迭加。個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的線性迭加。 一維簡(jiǎn)單晶格一維簡(jiǎn)單晶格一維簡(jiǎn)單晶格的一維簡(jiǎn)單晶格的N N個(gè)原子振動(dòng)可等價(jià)于個(gè)原子振動(dòng)可等價(jià)于N N個(gè)諧振子振動(dòng)。

4、個(gè)諧振子振動(dòng)。諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格的振動(dòng)頻率。諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格的振動(dòng)頻率。.3 , 2 , 1, 02NiQQiii 二、晶格振動(dòng)能二、晶格振動(dòng)能 諧振子運(yùn)動(dòng)方程（諧振子運(yùn)動(dòng)方程（ ）解諧振子的）解諧振子的振動(dòng)能振動(dòng)能：.N3 , 2 , 1i, 0QQi2ii iii21n 晶格振動(dòng)能晶格振動(dòng)能：N31iii21nE晶格振動(dòng)能是量子化的。晶格振動(dòng)能是量子化的。能量增減以能量增減以 為計(jì)量。為計(jì)量。 聲子：聲子：既然晶格振動(dòng)能量增減是以既然晶格振動(dòng)能量增減是以 為計(jì)量的。假想一種為計(jì)量的。假想一種粒子粒子聲子攜帶該能量。聲子是晶格振動(dòng)的能量量子。聲子攜帶該能量。聲子是晶格振動(dòng)的能量

5、量子。 聲子是假想粒子。聲子是假想粒子。 聲子是準(zhǔn)粒子，聲子是準(zhǔn)粒子， q為聲子的準(zhǔn)動(dòng)量為聲子的準(zhǔn)動(dòng)量。 其它粒子（如光子、電子）與晶格相互作用時(shí)，恰似與能其它粒子（如光子、電子）與晶格相互作用時(shí)，恰似與能量為量為 ，動(dòng)量為，動(dòng)量為q q的粒子的作用。的粒子的作用。 聲子是虛粒子，它不攜帶真實(shí)的動(dòng)量。聲子是虛粒子，它不攜帶真實(shí)的動(dòng)量。三、聲子三、聲子 聲子具有等價(jià)性聲子具有等價(jià)性波矢為波矢為q q的聲子與波矢為的聲子與波矢為q+Kq+Km m的聲的聲子是等價(jià)的。子是等價(jià)的。波矢為波矢為q q和和q q+ +K Km m的格波的解是一樣的的格波的解是一樣的。一維簡(jiǎn)單原子鏈，波矢一維簡(jiǎn)單原子鏈，波

6、矢q q的格波的總動(dòng)量的格波的總動(dòng)量 N1niqnatiN1nnemAeiudtdmqPNal2q N1nNnl2itiemAeiqP011222NliliNlitieeemAei “聲子聲子”概念對(duì)晶格振動(dòng)能的解釋：概念對(duì)晶格振動(dòng)能的解釋： 晶體溫度是晶格振動(dòng)能量的反映晶體溫度是晶格振動(dòng)能量的反映。 溫度高，晶體的振動(dòng)能高。溫度高，晶體的振動(dòng)能高。N31iii21nE頻率頻率 i的諧振子，其能量的諧振子，其能量ni i為為ni個(gè)聲子攜帶。個(gè)聲子攜帶。 問題：?jiǎn)栴}：溫度一定，對(duì)于頻率為溫度一定，對(duì)于頻率為 的諧振子，其平均聲子數(shù)的諧振子，其平均聲子數(shù) 為多少？為多少？ 晶體溫度晶體溫度T，頻率

7、為，頻率為 的諧振子的平均聲子數(shù)為的諧振子的平均聲子數(shù)為（玻耳（玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)理論）：茲曼統(tǒng)計(jì)理論）： 0nTk/nTk/n0nBBeennTkxB 1e11e1e11lndxdelndxdeennTk/xx0nnx0nnxnx0nB 0n很高TTk1eBTkB0T TknB高溫時(shí)，平高溫時(shí)，平均聲子數(shù)與均聲子數(shù)與溫度成正比，溫度成正比，與頻率成反與頻率成反比。比。一、光子散射一、光子散射 光子與格波振動(dòng)相互作用導(dǎo)致固體在紅外波段光子與格波振動(dòng)相互作用導(dǎo)致固體在紅外波段（10 100 m）有吸收峰。）有吸收峰。 如：（如：（1 1）長(zhǎng)光學(xué)橫波與紅外光子的電磁耦合；）長(zhǎng)光學(xué)橫波與紅外光子的電磁耦合

8、； （2 2）晶體的光致折變。）晶體的光致折變。 格波與光波相互作用可理解為格波與光波相互作用可理解為光子與聲子的碰光子與聲子的碰撞，產(chǎn)生散射。撞，產(chǎn)生散射。晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定，是人們認(rèn)識(shí)原子的微觀運(yùn)動(dòng)、晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定，是人們認(rèn)識(shí)原子的微觀運(yùn)動(dòng)、揭示固體的宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì)的有力工具。揭示固體的宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì)的有力工具。 能量和準(zhǔn)動(dòng)量守衡：能量和準(zhǔn)動(dòng)量守衡：粒子粒子頻率頻率波矢波矢作用前作用前光子光子 k聲子聲子 q(發(fā)射）發(fā)射）作用后作用后光子光子k 聲子聲子q(吸收）吸收） 有關(guān)相互物理量：有關(guān)相互物理量：kqk吸收聲子吸收聲子kqk發(fā)射聲子發(fā)射聲子qkk 長(zhǎng)聲學(xué)波的頻譜（光子

9、的布里淵散射）長(zhǎng)聲學(xué)波的頻譜（光子的布里淵散射）：彈性碰撞, knc光波：qvA長(zhǎng)聲學(xué)波：長(zhǎng)聲學(xué)波：晶體中聲速晶體中聲速kkq光子散射光子散射Avn/cqkk等腰三角形,kk2sink2qq q 的方向由光子入射的方向由光子入射和散射方向決定和散射方向決定光子與光學(xué)波聲子的作用（光子的喇曼散射）光子與光學(xué)波聲子的作用（光子的喇曼散射）：紅外光波長(zhǎng)：毫米紅外光波長(zhǎng)：毫米微米微米中子只與原子核作用。中子只與原子核作用。中子的質(zhì)量為中子的質(zhì)量為m，入射中子的動(dòng)量為，入射中子的動(dòng)量為P，散射后中子的，散射后中子的動(dòng)量為動(dòng)量為P 。則。則PKqPm22m2Pm2P+：聲子吸收：聲子吸收 ：聲子發(fā)射：聲子

10、發(fā)射Km = 0，正常散，正常散射；射；Km 0，倒，倒逆散射過程，逆散射過程，U過程（散射角較過程（散射角較大）。大）。二、中子散射二、中子散射正常散射：正常散射：PPq1PPm2122PKqPm22m2Pm2PKm = 0，正常散射；，正常散射；Km 0，倒逆散射，倒逆散射過程，過程，U過程（散射角較大）。過程（散射角較大）。一、熱容理論一、熱容理論固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能 固體內(nèi)能包括固體內(nèi)能包括晶格振動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量和和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量電子熱運(yùn)動(dòng)的能量實(shí)驗(yàn)結(jié)果：低溫下，金屬的熱容實(shí)驗(yàn)結(jié)果：低溫下，金屬的熱容3ATTCV 溫度不是太

11、低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)T 電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)（1 1）熱容是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)；）熱容是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)；（2 2）高溫下與實(shí)驗(yàn)值符合；）高溫下與實(shí)驗(yàn)值符合；（3 3）在甚低溫度下，絕緣體的熱容變得很小，以）在甚低溫度下，絕緣體的熱容變得很小，以T T3 3趨于趨于0 0。熱容的經(jīng)典理論（杜隆熱容的經(jīng)典理論（杜隆珀替定律）珀替定律） 一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量TkBN個(gè)原子，總的平均能量個(gè)原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(BVNkC

12、3 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律 能量均分定律能量均分定律熱容的量子理論熱容的量子理論 頻率為頻率為 i的諧振子的平均聲子數(shù)的諧振子的平均聲子數(shù)（玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)理論玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)理論） ：11)(TkiBien1TkiiBieE 這些這些聲子攜帶的能量聲子攜帶的能量 ： N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，總的熱振動(dòng)能個(gè)原子構(gòu)成的晶體，總的熱振動(dòng)能：NiTkiBieE311由于波矢由于波矢q q是準(zhǔn)連續(xù)，是準(zhǔn)連續(xù)，對(duì)每支格波而言，頻率對(duì)每支格波而言，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的，求和可也是準(zhǔn)連續(xù)的，求和可用積分來表示。用積分來表示。 頻率為頻率為 i的的振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn) 模式密度模式密度D( )：?jiǎn)挝活l率間

13、隔的格波振動(dòng)模式數(shù)目。：?jiǎn)挝活l率間隔的格波振動(dòng)模式數(shù)目。NdDm3)(0 m m是截止頻率是截止頻率 總的熱振動(dòng)能寫成積分形式總的熱振動(dòng)能寫成積分形式：mBTkedDE0) 1()(問題：?jiǎn)栴}： 模式密度模式密度D( )的表達(dá)式如何？的表達(dá)式如何？NiTkiBieE311dSdq)2(VZd3c在波矢在波矢q空間內(nèi)空間內(nèi)，取兩個(gè)等頻面，取兩個(gè)等頻面 和和 + d （因?yàn)橥ㄒ驗(yàn)橥徊ㄊ笇?duì)應(yīng)不同的幾支格波，先考慮其中一支）。一波矢對(duì)應(yīng)不同的幾支格波，先考慮其中一支）。 + d dSdq (q) = C波矢空間一支格波的等頻面波矢空間一支格波的等頻面體積元體積元dSdq 的波矢數(shù)目的波矢數(shù)目(模式

14、數(shù)目模式數(shù)目)：由梯度的定義由梯度的定義：dqdqqcdSdVdZ3)2(兩個(gè)等頻面間的兩個(gè)等頻面間的模式數(shù)目：模式數(shù)目： q3cdS)2(VddZd這支格波的模式密度：這支格波的模式密度：3n支都考慮，總的模式密度：支都考慮，總的模式密度：nSqcdSVD313)2()( 是第是第 支格波支格波的頻譜，的頻譜，S S 是是其等頻面其等頻面mBTkedDE0) 1()(mBBTkTkBBVedDeTkkC022) 1()(三維的色散關(guān)系較難三維的色散關(guān)系較難求。很難求求。很難求D(D( ) )13TkBeNE愛因斯坦熱容函數(shù)愛因斯坦熱容函數(shù)22) 1(TkTkBBEBBeeTkTkf二、愛因斯

15、坦模型二、愛因斯坦模型模型假定晶體中所有原子都以相同的頻率作振動(dòng)。認(rèn)為模型假定晶體中所有原子都以相同的頻率作振動(dòng)。認(rèn)為3N個(gè)諧振子是全同的。個(gè)諧振子是全同的。 晶體的熱振動(dòng)能晶體的熱振動(dòng)能 ： 熱容量為熱容量為 ：EBk 是愛因斯坦溫度。由理論是愛因斯坦溫度。由理論曲線和實(shí)驗(yàn)曲線擬合來確定，曲線和實(shí)驗(yàn)曲線擬合來確定，在在100 300 K。22) 1()(3TTEBVEEeeTNkC11)(TkiBien)(3) 1(322TkfNkeeTkNkTECBEBTkTkBBVBB 金剛石熱容的實(shí)驗(yàn)值與愛因斯坦理論曲線的比較金剛石熱容的實(shí)驗(yàn)值與愛因斯坦理論曲線的比較 ：222222)()22(1)(

16、1) 1(EEETTTTTTTeeeeEEEE 討論討論 ：（1）溫度較高時(shí)）溫度較高時(shí)22) 1()(3TTEBVEEeeTNkCBVNkC3與杜隆與杜隆珀替定律一致珀替定律一致1TEeTEBVEeTNkC2)(3（2）溫度很低時(shí)）溫度很低時(shí)22) 1()(3TTEBVEEeeTNkC絕緣體的熱容比絕緣體的熱容比T T3 3更更快趨于快趨于0 0愛因斯坦模型在低溫時(shí)與實(shí)際的偏差的原因何在？愛因斯坦模型在低溫時(shí)與實(shí)際的偏差的原因何在？11)(TkBenE原因：愛因斯坦模型過于簡(jiǎn)單，它忽視了各格波對(duì)原因：愛因斯坦模型過于簡(jiǎn)單，它忽視了各格波對(duì)熱容貢獻(xiàn)的差異。熱容貢獻(xiàn)的差異。（1）愛因斯坦頻率相當(dāng)

17、于光學(xué)支頻率。）愛因斯坦頻率相當(dāng)于光學(xué)支頻率。（2）頻率高的格波，其熱振動(dòng)能小，對(duì)熱容量的）頻率高的格波，其熱振動(dòng)能小，對(duì)熱容量的實(shí)際貢獻(xiàn)不大。溫度低時(shí)就更微不足道了。實(shí)際貢獻(xiàn)不大。溫度低時(shí)就更微不足道了。按玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)理論，頻率為按玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)理論，頻率為 的一個(gè)格波的平均熱振動(dòng)能的一個(gè)格波的平均熱振動(dòng)能格波的平均熱振動(dòng)能與頻率的關(guān)系格波的平均熱振動(dòng)能與頻率的關(guān)系溫度一定時(shí)，頻率溫度一定時(shí)，頻率越高的格波，平均越高的格波，平均聲子數(shù)少聲子數(shù)少0 ETKB/ZEBEHk1310/11)(TkiBien頻率頻率 10kBT/的格波的振動(dòng)能占晶格總振動(dòng)能的的格波的振動(dòng)能占晶格總振動(dòng)能的99%以上，

18、這些格波的頻率很低，屬長(zhǎng)聲學(xué)波。以上，這些格波的頻率很低，屬長(zhǎng)聲學(xué)波。（3）在甚低溫度下，晶體熱容量主要由長(zhǎng)聲學(xué)格波決定。）在甚低溫度下，晶體熱容量主要由長(zhǎng)聲學(xué)格波決定。結(jié)論：在甚低溫下使理論與實(shí)際相符，應(yīng)主要考慮結(jié)論：在甚低溫下使理論與實(shí)際相符，應(yīng)主要考慮長(zhǎng)聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。長(zhǎng)聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。愛因斯坦模型低溫時(shí)偏差原因：把所有的格波都視愛因斯坦模型低溫時(shí)偏差原因：把所有的格波都視為光學(xué)波，實(shí)際上沒有考慮長(zhǎng)聲學(xué)波在甚低溫下對(duì)為光學(xué)波，實(shí)際上沒有考慮長(zhǎng)聲學(xué)波在甚低溫下對(duì)熱容的主要貢獻(xiàn)。熱容的主要貢獻(xiàn)。三、德拜模型三、德拜模型模型基本思想：把格波當(dāng)成彈性波來處理。模型基本思想：把格波當(dāng)成彈性波來處理。

19、設(shè)固體介質(zhì)是各向同性的，由彈性波的色散關(guān)系設(shè)固體介質(zhì)是各向同性的，由彈性波的色散關(guān)系 = vq可知，三維波矢空間內(nèi)，彈性波的等頻面是個(gè)球面，則可知，三維波矢空間內(nèi)，彈性波的等頻面是個(gè)球面，則vqqqv2z2y2xqq32223324)2(1)2()(vVqvVdSvVdccc q3cdS)2(VddZd（一支格波）（一支格波）1)(TkBenE32223)(pcvVD各向同性介質(zhì)的兩橫波是各向同性介質(zhì)的兩橫波是簡(jiǎn)并的，橫波的波速相等簡(jiǎn)并的，橫波的波速相等)21(3333TLpvvvmBBTkTkBBpcVedeTkkvVC022232) 1(23NdvVmpc3230322 彈性波有三支（彈性

20、波有三支（1縱縱2橫），總模式密度橫），總模式密度mBBTkTkBBVedDeTkkC022) 1()( 截止頻率截止頻率 m（或德拜頻率（或德拜頻率 D）pcmvVN3126BDDkTkxBTxxpBcVDedxxevTkVC02433234) 1(23 德拜溫度德拜溫度 D原子濃度高，聲速大的固體的德原子濃度高，聲速大的固體的德拜溫度就高。金剛石硬、密集，拜溫度就高。金剛石硬、密集，德拜溫度達(dá)德拜溫度達(dá)2230K，一般固體在，一般固體在200 400K。 熱容的變換形式熱容的變換形式mBBTkTkBBpcVedeTkkvVC022232) 1(23pcmvVN3126 討論討論 ：（1）溫

21、度較高時(shí)）溫度較高時(shí)，kBT ，x是小量是小量BVNkC3與杜隆與杜隆珀替定律一致珀替定律一致224222424)22()() 1(xxxxeexexexxxxTxxpBcVDedxxevTkVC02433234) 1(23TxxpBcVDedxxevTkVC02433234) 1(23TkxB在甚低溫時(shí)熱容與在甚低溫時(shí)熱容與T T3 3成正比成正比的規(guī)律稱德拜定律的規(guī)律稱德拜定律在甚低溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)是相符的，溫度越低，符合得越好。在甚低溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)是相符的，溫度越低，符合得越好。（2）溫度甚低時(shí)）溫度甚低時(shí)， D/T 242424)1 ()1 () 1(xxxxxxeexeexexe1nnx4x2

22、xx4nex)e3e21(ex4141040241541! 4) 1(nnnxxxndxxneedxxe34512DBVTNkCTxxpBcVDedxxevTkVC02433234) 1(23 金屬銅熱容的實(shí)驗(yàn)值與德拜理論的比較金屬銅熱容的實(shí)驗(yàn)值與德拜理論的比較 ： 德拜溫度德拜溫度 D的測(cè)定的測(cè)定方法一：實(shí)驗(yàn)確定聲速方法一：實(shí)驗(yàn)確定聲速vpBDDkp31c2DvVN6方法二：測(cè)量材料的熱容量方法二：測(cè)量材料的熱容量34512DBVTNkC德拜定律溫度德拜定律溫度應(yīng)該是與溫度應(yīng)該是與溫度無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)晶格晶格T D方法一方法一 D方法二方法二NaClKClAgZn103443202462

23、16305308230225308實(shí)驗(yàn)測(cè)得的德拜溫度與溫度有關(guān)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的德拜溫度與溫度有關(guān)德拜模型過于簡(jiǎn)單德拜模型過于簡(jiǎn)單。（1 1）忽略了晶體的各向異性；）忽略了晶體的各向異性；（2 2）忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)）忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。例題：求一維簡(jiǎn)單晶格的模式密度。例題：求一維簡(jiǎn)單晶格的模式密度。da2aL2L解：一維簡(jiǎn)單晶格的色散關(guān)系如下圖。由色散曲線的對(duì)稱解：一維簡(jiǎn)單晶格的色散關(guān)系如下圖。由色散曲線的對(duì)稱性可以看出，性可以看出， 區(qū)間對(duì)應(yīng)兩個(gè)同樣大小的波矢區(qū)間區(qū)間對(duì)應(yīng)兩個(gè)同樣大小的波矢區(qū)間 。 區(qū)間對(duì)應(yīng)區(qū)間對(duì)應(yīng) 個(gè)振動(dòng)模式個(gè)振動(dòng)模式 ，單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有，

24、單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有 個(gè)振動(dòng)模式。個(gè)振動(dòng)模式。 dq范圍則包含范圍則包含 ddqLdqL22個(gè)振動(dòng)模式。單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模個(gè)振動(dòng)模式。單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度，根據(jù)這一定義可得模式密度為式密度，根據(jù)這一定義可得模式密度為 ddqLaaqdqdq0d2sin2qam由色散關(guān)系得由色散關(guān)系得dqqamad)2cos()(21將上式代入前式，得到模式密度將上式代入前式，得到模式密度2202212)2(sin11)()(aLqamaLD2sin2qamm20一、非簡(jiǎn)諧效應(yīng)一、非簡(jiǎn)諧效應(yīng) 簡(jiǎn)諧近似，晶格振動(dòng)等效為簡(jiǎn)諧近似，晶格振動(dòng)等效為3N個(gè)個(gè)獨(dú)立獨(dú)立的簡(jiǎn)諧的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)

25、，3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是互相獨(dú)立的。個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是互相獨(dú)立的。 溫度不同的兩個(gè)晶體接觸后，它們的溫度不會(huì)達(dá)到溫度不同的兩個(gè)晶體接觸后，它們的溫度不會(huì)達(dá)到同一溫度，原來高的仍高，原來低的仍低。同一溫度，原來高的仍高，原來低的仍低。 溫度最終達(dá)到平衡是晶格振動(dòng)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)所致。溫度最終達(dá)到平衡是晶格振動(dòng)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)所致。NiNiiQQQQU132122),(21 保留勢(shì)能級(jí)數(shù)中三次方項(xiàng)保留勢(shì)能級(jí)數(shù)中三次方項(xiàng)N31i2iiQ21U 諧振子的振動(dòng)方程改為諧振子的振動(dòng)方程改為0),(3212NiiiQQQfQQ 簡(jiǎn)正振動(dòng)不是嚴(yán)格獨(dú)立，簡(jiǎn)正振動(dòng)不是嚴(yán)格獨(dú)立，3N3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)之間個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)之間存在耦合，存在能量交換，

26、用聲子模型來說，存在耦合，存在能量交換，用聲子模型來說，各類聲子間會(huì)交換能量，聲子間會(huì)發(fā)生碰撞。各類聲子間會(huì)交換能量，聲子間會(huì)發(fā)生碰撞。沒有非簡(jiǎn)諧效應(yīng)就不會(huì)發(fā)生聲子碰撞，也就沒有熱平衡。沒有非簡(jiǎn)諧效應(yīng)就不會(huì)發(fā)生聲子碰撞，也就沒有熱平衡。 兩溫度不同的物體接觸時(shí)，溫度高的物體內(nèi)不僅聲子濃度兩溫度不同的物體接觸時(shí)，溫度高的物體內(nèi)不僅聲子濃度高，而且能量大的聲子數(shù)多，聲子以碰撞的方式向溫度低的高，而且能量大的聲子數(shù)多，聲子以碰撞的方式向溫度低的物體內(nèi)擴(kuò)散。物體內(nèi)擴(kuò)散。二、熱傳導(dǎo)二、熱傳導(dǎo) 能量和準(zhǔn)動(dòng)量守恒：能量和準(zhǔn)動(dòng)量守恒：321321qqq+ 對(duì)應(yīng)吸收過程對(duì)應(yīng)吸收過程 對(duì)應(yīng)劈裂過程對(duì)應(yīng)劈裂過程聲子

27、間相互聲子間相互“碰撞碰撞”示意圖示意圖吸收過程吸收過程劈裂過程劈裂過程聲子的聲子的“碰撞碰撞”過程過程 準(zhǔn)動(dòng)量守恒更普遍的形式：準(zhǔn)動(dòng)量守恒更普遍的形式：正常散射與倒逆散射過程正常散射與倒逆散射過程m321Kqqq波矢為波矢為q q的聲子與的聲子與q+Kmq+Km的聲子等價(jià)。的聲子等價(jià)。Km= 0Km= 0為正常散射過程，為正常散射過程，Km Km 0 0為為倒逆散射過程。倒逆散射過程。q1q2q1 + q2q3Km聲子的倒逆過程聲子的倒逆過程q q1 1、q q2 2數(shù)值較大，夾角又小時(shí)，數(shù)值較大，夾角又小時(shí)， q q1 1+q+q2 2可能落在第一布里淵區(qū)外，可能落在第一布里淵區(qū)外，而與格

28、波解對(duì)應(yīng)的波矢應(yīng)為能落而與格波解對(duì)應(yīng)的波矢應(yīng)為能落在第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢在第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢q3 = q1+q2 Km。正常散射不改變熱流的基本方向，倒逆過程則不然，正常散射不改變熱流的基本方向，倒逆過程則不然，它與熱流方向相背，對(duì)熱傳導(dǎo)起阻滯作用。它與熱流方向相背，對(duì)熱傳導(dǎo)起阻滯作用。 倒逆過程是熱阻的一個(gè)重要機(jī)制。倒逆過程是熱阻的一個(gè)重要機(jī)制。dxdTkQvCkV313T3L2T2L3P2T2L0i0iiv2v1v2v1v3v2v1d)(D)(nd)(dv )(nvmm熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù) 如果晶體內(nèi)存在溫度梯度如果晶體內(nèi)存在溫度梯度dT/dx，則晶體內(nèi)有能流流，則晶體內(nèi)有能流流過，能流

29、密度過，能流密度Q為為K K是晶體的熱導(dǎo)系數(shù)，是晶體的熱導(dǎo)系數(shù)，“聲子聲子氣體氣體”高溫區(qū)，聲子濃度高，高溫區(qū)，聲子濃度高，能量大的聲子數(shù)多，以碰撞的能量大的聲子數(shù)多，以碰撞的方式向低溫區(qū)擴(kuò)散方式向低溫區(qū)擴(kuò)散 與氣體擴(kuò)散類比與氣體擴(kuò)散類比C CV V是定容熱容；是定容熱容； 是聲子的平是聲子的平均速度；均速度； 是聲子的平均自是聲子的平均自由程。由程。v 德拜模型，聲子的平均速度德拜模型，聲子的平均速度常數(shù)常數(shù)Zvn1TxpBcDmedxxvTkdDnVn023323012)(3)()(13322343pDBvTkn 聲子的平均自由程聲子的平均自由程nZ 是聲子的濃度是聲子的濃度n德拜模型，聲

30、子的濃度德拜模型，聲子的濃度高溫時(shí)高溫時(shí)3ATn 023323123xpBedxxvkAT131TTk1甚低溫度時(shí)甚低溫度時(shí)0T 不可能。最大為晶不可能。最大為晶體的尺寸，為常數(shù)體的尺寸，為常數(shù)vC31kV3Tk 3033)(610rrdrUdr30200)(31)(21)(rrrrrUU022rdrUd03321rdrUd202200)(21)()(00rrdrUdrrdrdUrUUrr相鄰兩原子互相作用勢(shì)能在平衡位置的展開式為相鄰兩原子互相作用勢(shì)能在平衡位置的展開式為r=r0處，該處，該式為零式為零忽略非忽略非 簡(jiǎn)諧項(xiàng)簡(jiǎn)諧項(xiàng)三、熱膨脹三、熱膨脹固體受熱體積膨脹原因固體受熱體積膨脹原因：原子

31、平衡位置間距離增大原子平衡位置間距離增大200)(21)(rrrUU30200)(31)(21)(rrrrrUU勢(shì)能取到三次方項(xiàng)勢(shì)能取到三次方項(xiàng)由上式得兩原子的相互作用曲線為由上式得兩原子的相互作用曲線為兩原子間相互作用勢(shì)能曲線兩原子間相互作用勢(shì)能曲線r0平衡位置平衡位置簡(jiǎn)諧近似的相互簡(jiǎn)諧近似的相互作用勢(shì)能曲線作用勢(shì)能曲線考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的勢(shì)能曲線的勢(shì)能曲線 說明：勢(shì)能取到三次方項(xiàng)后，勢(shì)能曲線不對(duì)稱，說明：勢(shì)能取到三次方項(xiàng)后，勢(shì)能曲線不對(duì)稱，r0的左邊部分陡峭，右的左邊部分陡峭，右邊部分平緩。溫度升高后，原子間相對(duì)位移的振幅增大，其平均位置向右邊部分平緩。溫度升高后，原子間相對(duì)位移的振

32、幅增大，其平均位置向右偏離兩原子平衡位置的距離大于物體體積變大，即熱膨脹。偏離兩原子平衡位置的距離大于物體體積變大，即熱膨脹。結(jié)論：考慮到非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，出現(xiàn)熱膨脹現(xiàn)象，說明熱膨脹是一種非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。結(jié)論：考慮到非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，出現(xiàn)熱膨脹現(xiàn)象，說明熱膨脹是一種非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。dxedxxexTkUTkUBB2TkxB232131xx利用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論，求線膨脹系數(shù)利用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論，求線膨脹系數(shù)熱膨脹引起的兩原子平衡位置間距離的平均增量：熱膨脹引起的兩原子平衡位置間距離的平均增量：30200)(31)(21)(rrrrrUU0rrx2001rkdTxdraBL線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)說明：只計(jì)及勢(shì)能級(jí)數(shù)中的三次

33、方項(xiàng)，線膨脹系數(shù)是一個(gè)與說明：只計(jì)及勢(shì)能級(jí)數(shù)中的三次方項(xiàng)，線膨脹系數(shù)是一個(gè)與 溫度無關(guān)的常數(shù)。若溫度無關(guān)的常數(shù)。若0，線膨脹系數(shù)系也為零，固體不發(fā)線膨脹系數(shù)系也為零，固體不發(fā)生熱膨脹。生熱膨脹。原因：原子間的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)是熱膨脹的根源。原因：原子間的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)是熱膨脹的根源。例題：設(shè)某離子晶體例題：設(shè)某離子晶體 中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)能中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)能92)(rbrerUb為待定常數(shù)，平衡間距為為待定常數(shù)，平衡間距為 ,求線膨脹系數(shù)求線膨脹系數(shù) 。mr100103L解：線膨脹系數(shù)解：線膨脹系數(shù) 可表示可表示 為為L(zhǎng)20rkaBL022rdrUd03321rdrUd由平衡條件由平衡條件

34、091002020rbredrdUr得得80291reb 于是于是4021103022289020rerbredrUdr4021204023352)9906(21210rerbredrUdr將將KJkCecmrB/10381. 110602. 1103231980代入，得代入，得206452ekraBL)(1046.16452152020KekrrkBBLVFP3.8晶體的熱力學(xué)函晶體的熱力學(xué)函數(shù)數(shù)VUP在不考慮原子振動(dòng)情況下，晶體的狀態(tài)方程在不考慮原子振動(dòng)情況下，晶體的狀態(tài)方程考慮晶格振動(dòng)后，由熱力學(xué)理論考慮晶格振動(dòng)后，由熱力學(xué)理論晶體自由能分為兩部分：晶體自由能分為兩部分：F1 與晶格振動(dòng)

35、無關(guān)，只與晶體的體積與晶格振動(dòng)無關(guān)，只與晶體的體積有關(guān)；有關(guān)；F2 由晶格熱振動(dòng)決定。由晶格熱振動(dòng)決定。TSUFPdVdU由統(tǒng)計(jì)理論可知，若能求得晶格振動(dòng)的配分函數(shù)，由由統(tǒng)計(jì)理論可知，若能求得晶格振動(dòng)的配分函數(shù)，由ZTkFBln2即可求得熱振動(dòng)自由能。即可求得熱振動(dòng)自由能。 對(duì)于簡(jiǎn)諧近似，晶格振動(dòng)等價(jià)于對(duì)于簡(jiǎn)諧近似，晶格振動(dòng)等價(jià)于3N個(gè)線性諧振子個(gè)線性諧振子的振動(dòng)。對(duì)于頻率為的振動(dòng)。對(duì)于頻率為i的諧振子，其能量的諧振子，其能量iiin)21(TKiiBiegZ可有若干種選擇，其配分函數(shù)可有若干種選擇，其配分函數(shù)TkTknTkniBiBiiBiieeeZ120)21(由于個(gè)諧振子是相互獨(dú)立的，所

36、以總的配分函數(shù)由于個(gè)諧振子是相互獨(dú)立的，所以總的配分函數(shù)iTkTkiiBiBieeZZ12將上式代入將上式代入ZTkFBln2iTkBiBBieTkTkF)1ln(22晶體自由能的表達(dá)式晶體自由能的表達(dá)式iTkBiBieTkVUF)1ln(21)(考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，溫度變化時(shí)，由于原子平衡位置間的距離發(fā)生考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，溫度變化時(shí)，由于原子平衡位置間的距離發(fā)生變化，晶格常數(shù)變化，晶格常數(shù)a變大，恢復(fù)力常數(shù)變大，恢復(fù)力常數(shù)22drUd為晶格常數(shù)的函數(shù)為晶格常數(shù)的函數(shù))2sin(2qam晶格常數(shù)的晶格常數(shù)的函數(shù)函數(shù)若計(jì)及熱膨脹，晶格振動(dòng)頻率是晶體體積的函數(shù)，若計(jì)及熱膨脹，晶格振動(dòng)頻率是晶體體積的函數(shù)

37、，故晶體的狀態(tài)方程為故晶體的狀態(tài)方程為dVdeVUVFPiiTkBi121VddeVVUiiTkiiBilnln1211Vddilnln121TkiiBieVEdVdUP格林愛森函數(shù)，格林愛森函數(shù)，與頻率與頻率i無關(guān)無關(guān)的常數(shù)的常數(shù)頻率頻率i的諧振的諧振子的平均能量子的平均能量晶格總的振動(dòng)能（包晶格總的振動(dòng)能（包括零點(diǎn)振動(dòng)能）括零點(diǎn)振動(dòng)能）VVKVdVUddVdUV0220VEVVKP晶體體積彈性模量晶體體積彈性模量晶體內(nèi)部壓強(qiáng)晶體內(nèi)部壓強(qiáng)晶格熱振動(dòng)導(dǎo)晶格熱振動(dòng)導(dǎo)致的熱壓強(qiáng)致的熱壓強(qiáng)晶格振動(dòng)熱壓強(qiáng)晶格振動(dòng)熱壓強(qiáng)遠(yuǎn)大于大氣壓遠(yuǎn)大于大氣壓0VEKVV0VCKVV對(duì)溫度對(duì)溫度T求微商求微商晶體的熱膨

38、脹系數(shù)晶體的熱膨脹系數(shù)意義：熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比意義：熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比的意義：的意義： 可用作檢驗(yàn)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的尺度，可用作檢驗(yàn)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的尺度，值一般在值一般在13范圍內(nèi)。范圍內(nèi)。小小 晶格熱振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)小晶格熱振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)小大大 晶格熱振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)大晶格熱振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)大0 簡(jiǎn)諧近似簡(jiǎn)諧近似以一維簡(jiǎn)單晶格為例，看以一維簡(jiǎn)單晶格為例，看的取值。的取值。設(shè)原子鏈對(duì)應(yīng)的橫截面積為設(shè)原子鏈對(duì)應(yīng)的橫截面積為S，則其體積為則其體積為VNaS，色散關(guān)系為色散關(guān)系為)2sin(2qam其中其中Nalq2Nlqa21與體積無關(guān)與體積無關(guān)Vddilnln)2sin(2qamNaSV 則則adrUdadadaaddVdd3322lnln21lnln0033adrUd簡(jiǎn)諧近似下簡(jiǎn)諧近似下說明：說明：當(dāng)晶體體積膨脹時(shí)，當(dāng)晶體體積膨脹時(shí)，da0,即原子間的平衡距離增大。即原子間的平衡距離增大。原子相距越遠(yuǎn)，恢復(fù)力系數(shù)越小，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時(shí)，原子間不存在原子相距越遠(yuǎn)，恢復(fù)力系數(shù)越小，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時(shí)，原子間不存在相互作用，力系數(shù)為零，說明相互作用，力系數(shù)為零，說明da0時(shí)，時(shí)，d0。反之反之,晶體體積縮晶體體積縮小時(shí)，小時(shí)，da0 。adrUdadadaaddVdd3322lnln21lnln由由格林愛森常數(shù)恒大于零。格林愛森常數(shù)恒