微分方程模型01

1、微分方程模型微分方程與微分方程建模法一、微分方程知識(shí)簡(jiǎn)介我們要掌握常微分方程的一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些可以求解的微分方程及其方 程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的體系：初等積分法（一階方程及幾類可降階為一階的方程）> （2）階線性微分方程組（常系數(shù)線性微分方程組的解法）> （3）高階線性微分方程（高階線性常系數(shù)微分方程解法）。其中還包括了常微分方程的基本定理。0.常數(shù)變易法：常數(shù)變易法在上面的（1） （2） （3）三部分中都出現(xiàn)過，它是由線性齊次方 程（一階或高階）或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解 的一種方法。1. 初等積分法：掌握變量可分

2、離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法，掌握全微分 方程（含積分因子）的解法，會(huì)一些一階隱式微分方程的解法（參數(shù)法） ，會(huì)幾 類可以降階的高階方程的解法（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程）。dy =dxf (x)g(y);分離變量法：（1）可分離變量方程:M (x)N (y)dx P(x)Q(y)dy =0;（2）齊次方程:dydxdydxxax by cux vy w）；1#常數(shù)變易法： 線性方程，yP（x）y = f （x）.#(2)伯努里方程,fny - p(x)y = f (X) y積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。對(duì)于一階隱式微分方程F ( x, y, y ) = °,有參數(shù)法

3、：不含X或y的方程：F(x,y) = 0,F(y,y) = °(2)可解出 x 或 y 的方程：y = f (x，y ), x = f (y，y);對(duì)于高階方程，有F (x,y(k), y",y(n) =°降階法：F (y，y ； y) =°；恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程一階方程的應(yīng)用問題(即建模問題)。2. 階線性微分方程組：本部分主要內(nèi)容有：一是一階線性微分方程組的基本理論(線性齊次、非齊 次微分方程組的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等)，二是常系數(shù)線性微分方程組的解法 (求特征根，單根與重根待定系數(shù)法)，三是常數(shù)變易法。本部分內(nèi)容與線性 代數(shù)關(guān)系密切，如線性空間，向量的線性

4、相關(guān)與線性無關(guān)，基與維數(shù)，特征方程、 特征根與特征向量，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型等。3. 高階線性微分方程：了解高階線性微分方程的基本理論(線性齊次、非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)， 劉維爾公式等)；4. n階線性常系數(shù)微分方程解法：(1) 求常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的待定指數(shù)函數(shù)法；(2) 求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法；(3) 求特殊型非齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法；（4）求解初值問題的拉普拉斯變換法；（5）求二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法。5 常微分方程的基本定理：常微分方程的幾何解釋（線素場(chǎng)） ，初值問題解的存在與唯一性定理（條件 與結(jié)論），求方程的近似解 （歐拉折線法與畢卡逐次逼近法） ，

5、解的延展定理與比 較定理、唯一性定理證明解的存在區(qū)間（如為左右無窮大） ，奇解與包絡(luò)線，克 萊羅方程。6 常微分方程的穩(wěn)定性理論：掌握穩(wěn)定性的一些基本概念，以及運(yùn)用特征根法判斷常系數(shù)線性方程（組） 的解的穩(wěn)定性，運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)法判斷一般方程（組）的解的穩(wěn)定性。7 常微分方程的定性理論：掌握定性理論的一些基本概念，運(yùn)用特征根法判斷奇點(diǎn)類型，極限環(huán)。8 差分方程。9 偏微分方程。二、 數(shù)學(xué)建模的微分方程方法微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科， 已經(jīng)有三百多年的發(fā)展歷史， 其解法和 理論已日臻完善， 可以為分析和求得方程的解 （或數(shù)值解） 提供足夠的方法， 使 得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性

6、和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。微分方程建模包括常微分方程建模、 偏微分方程建模、 差分方程建模及其各 種類型的方程組建模。 微分方程建模對(duì)于許多實(shí)際問題的解決是一種極有效的數(shù) 學(xué)手段， 對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化， 人們關(guān)注的往往是其變化速度、 加速度以及所處 位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律， 其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示， 微分方程建 模適用的領(lǐng)域比較廣，利用它可建立純數(shù)學(xué)（特別是幾何）模型，物理學(xué)（如動(dòng) 力學(xué)、電學(xué)、核物理學(xué)等）模型，航空航天（火箭、宇宙飛船技術(shù)）模型，考古 （鑒定文物年代）模型，交通（如電路信號(hào)，特別是紅綠燈亮的時(shí)間）模型，生 態(tài)（人口、種群數(shù)量） 模型，環(huán)境（污染）模型，資源利用（人力資

7、源、 水資源、 礦藏資源、運(yùn)輸調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理）模型，生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、 動(dòng)植物循環(huán)系統(tǒng)）模型，醫(yī)學(xué)（流行病、傳染病問題）模型，經(jīng)濟(jì)（商業(yè)銷售、 財(cái)富分布、資本主義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)）模型，戰(zhàn)爭(zhēng)（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）模型等。 其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模， 離散模型適用 于差分方程及其方程組建模。 下面，我們給出如何利用方程知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的 幾種方法。1利用題目本身給出的或隱含的等量關(guān)系建立微分方程模型。這就需要我們仔細(xì)分析題目， 明確題意， 找出其中的等量關(guān)系， 建立數(shù)學(xué)模 型。例如在光學(xué)里面，旋轉(zhuǎn)拋物面能將放在焦點(diǎn)處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行 光線，為了

8、證明具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線， 我們就是利用了題目中隱含的 條件入射角等于反射角來建立微分方程模型的 5 。又如在天文學(xué)、氣象學(xué) 中常用到的等角軌線，已知曲線或曲線族（C）,求曲線1 （等角軌線或正交軌線）, 使1與（C）中每條曲線相交成給定的角度（這是題目中明確給出的條件，即曲線的 切線相交成給定的角度，這樣，就在它們的導(dǎo)數(shù)之間建立了聯(lián)系） ，又題目中隱 含的條件是：在1與（c）中曲線相交點(diǎn)處，它們的函數(shù)值相等；這樣，我們只要求 出已知曲線或曲線族的微分方程， 根據(jù)它們之間的聯(lián)系， 就可以建立等角軌線的 微分方程模型，從而求出等角軌線的方程 5。2從一些已知的基本定律或基本公式出發(fā)建立微

9、分方程模型。我們要熟悉一些常用的基本定律、 基本公式。例如從幾何觀點(diǎn)看， 曲線 y=y（x） 上某點(diǎn)的切線斜率即函數(shù) y=y（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律： f=ma,其中加速度a就是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，也是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)； 電學(xué)中的基爾霍夫定律等。從這些知識(shí)出發(fā)我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。例如在動(dòng)力學(xué)中，如何保證高空跳傘者的安全問題。對(duì)于高空下落的物體， 我們可以利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分方程模型，設(shè)物體質(zhì)量為m,空氣阻力系數(shù)為k，在速度不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設(shè)時(shí)刻t時(shí)物體的下落速度為v，初始條件：V(0)。由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分

10、方程模型：dvm = mg kv dt求解模型可得:、k (exp2tJ 嗎 +1).m5#由上式可知，當(dāng)t時(shí)，物體具有極限速度:#其中，阻力系數(shù)k="s，:為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，'為介質(zhì)密度，s為物體在地面上的投影面積。根據(jù)極限速度求解式子，在口二一定時(shí)，要求落 地速度v1不是很大時(shí)，我們可以確定出S來，從而設(shè)計(jì)出保證跳傘者安全的降落 傘的直徑大小來。3. 利用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程模型。導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，其定義為f (x) =|汁.xf(X=x) - f (x)Ax=lim x fl辻商式“X表示單位自變量的改變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)改變量，就是函數(shù)的瞬時(shí)平均變化率，

11、因而其極限值就是函數(shù)的變化率。 函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在該點(diǎn) 的變化率。由于一切事物都在不停地發(fā)展變化， 變化就必然有變化率，也就是變 化率是普遍存在的，因而導(dǎo)數(shù)也是普遍存在的。這就很容易將導(dǎo)數(shù)與實(shí)際聯(lián)系起 來，建立描述研究對(duì)象變化規(guī)律的微分方程模型。例如在考古學(xué)中，為了測(cè)定某種文物的絕對(duì)年齡，我們可以考察其中的放射 性物質(zhì)（如鐳、鈾等），已經(jīng)證明其裂變速度（單位時(shí)間裂變的質(zhì)量，即其變化 率）與其存余量成正比。我們假設(shè)時(shí)刻t時(shí)該放射性物質(zhì)的存余量 R是t的函數(shù), 由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型：dRkRdt期中k是一正的比例常數(shù)，與放射性物質(zhì)本身有關(guān)。求解該模型，我們解得： R =C

12、e上，其中c是由初始條件確定的常數(shù)。從這個(gè)關(guān)系式出發(fā)，我們就可以測(cè) 定某文物的絕對(duì)年齡。（參考碳定年代法）另外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)概念有著廣泛的應(yīng)用，將各種函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（即 函數(shù)變化率）稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)，從而得到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析理論。4. 利用微元法建立微分方程模型。一般的，如果某一實(shí)際問題中所求的變量p符合下列條件：p是與一個(gè)變量t的變化區(qū)間a, b有關(guān)的量；p對(duì)于區(qū)間a, b具有可加性；部分量'：Pi的近似值 可表示為f（ Ct。那么就可以考慮利用微元法來建立微分方程模型，其步驟是：首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如t為自變量，并確定其變化區(qū)間a, b；在區(qū)間a, b

13、中隨便選取一個(gè)任意小的區(qū)間并記作dt ,求出相應(yīng)于這個(gè) 區(qū)間的部分量 邛的近似值。如果 ®能近似的標(biāo)示為a, b上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在t 處的值f（t）與dt的乘積，我們就把f（t）dt稱為量p的微元且記作dp。這樣，我 們就可以建立起該問題的微分方程模型：dp =f（t）dt。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的模型，兩邊積分就可以求解該模型。例如在幾何上求曲線的弧長(zhǎng)、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、旋轉(zhuǎn)體體 積、空間立體體積3;代數(shù)方面求近似值3以及流體混合問題4；物理上求變 力做功、壓力、平均值、靜力矩與重心3;這些問題都可以先建立他們的微分6方程模型，然后求解其模型在2005年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

14、 A題(原題見競(jìng)賽試題)中，對(duì)于長(zhǎng) 江流域的三類主要污染物-溶解氧，高錳酸鹽指數(shù)與氨氮污染，我們運(yùn)用微元 法，建立了其含參數(shù)的微分方程模型， 并用平均值法估計(jì)出了其參數(shù)， 具體求出 了他們的解，之后，我們又給出了他們統(tǒng)一的微分方程模型及其求解公式。5. 熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對(duì)一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套用這些模型。多年來，在各種領(lǐng)域里，人們已經(jīng)建立起了一些經(jīng)典的微分方程模型， 熟悉 這些模型對(duì)我們是大有裨益的。 下面，我們僅以人口問題為例，說明用常微分方 程、偏微分方程和差分方程建立的人口問題模型。1 )常微分方程模型設(shè)N為時(shí)刻t人口總數(shù)，二m n為人口的增長(zhǎng)率，其中m,n分別

15、為出 生率與死亡率，他們可以是t的函數(shù)。1798年，英國(guó)神父Malthus建立了最簡(jiǎn)單 的人口增長(zhǎng)模型為N (t) = rN (t)得出了人口按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的結(jié)論。此結(jié)論在短時(shí)期內(nèi)與人口的實(shí)際增長(zhǎng)吻 合得比較好，時(shí)間越長(zhǎng)誤差越大。經(jīng)過對(duì)一些地區(qū)具體人口資料的分析，發(fā)現(xiàn)在人口基數(shù)較少時(shí)，人口的繁衍增長(zhǎng)起重要作用，人口的自然增長(zhǎng)率r基本為常數(shù)， 但隨著人口基數(shù)的增加，人口增長(zhǎng)將越來越受自然資源、 環(huán)境條件等的限制。此 時(shí)人口的自然增長(zhǎng)率是變化的，即人口的自然增長(zhǎng)率與人口數(shù)量有關(guān)。1837 (8)年，荷蘭生物學(xué)家 P。F。Verhulst修改了上述模型，引入本地區(qū) 自然資源和環(huán)境條件允許下的最大人口

16、數(shù)目為P。，給出了類似于電感器產(chǎn)生阻(1抗的生物反饋因子N (t)P。，將Malthus模型中的假設(shè)條件“，人口自然增長(zhǎng)率（1-叫 0r為常數(shù)”修正為人口自然增長(zhǎng)率為，得出上述模型的修正模型N (t) = rN (t)(idPo該模型為著名的Logistic(邏輯斯諦)模型，方程為變量分離方程，帶入初始 條件N (t。)= N。，可以求出其解。上述模型對(duì)單種群群體規(guī)模的變化規(guī)律是很好地描述。2)差分方程模型上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長(zhǎng)率決定。 但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著明顯的不同?？紤]按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，我們介紹

17、Leslie在20世紀(jì)40年代建立的一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型。我們將人口按年齡劃分成 m個(gè)年齡組，即1，2，,m組。此處還隱含假定 所有人的年齡不能超過 m組的年齡?，F(xiàn)將時(shí)間也離散為時(shí)段 k "，2,3廠，并 且tk的間隔與年齡區(qū)間大小相等。記時(shí)段tk第i年齡組的種群數(shù)量為Xi(k)，記tk 時(shí)段種群各年齡組的分布向量為Xi(k)X(k)二X2(k)a|_Xm(k) _則我們可以建立人口增長(zhǎng)的差分方程模型為X (k 1) = LX (k), k =0,1,此處L為已知矩陣。當(dāng)t0時(shí)段各年齡組的人數(shù)已知時(shí)，即x(0)已知時(shí)，可 以求得tk時(shí)段的按年齡組的分布向量X(k)為kX (k)二 L X (0), k =1,2,3，由此可以算出各時(shí)段的種群總量 3)偏微分方程模型當(dāng)我們要考察的量同時(shí)與兩個(gè)變量有關(guān)時(shí)，要想描述其變化率的關(guān)系，則通常要用偏微分方程模型來描述。 下面介紹考慮人口年齡的連續(xù)模型。 設(shè)x表示年 齡