4.3高階微分方程的降價(jià)和冪級(jí)數(shù)解法ppt課件

1、14.3高階高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法 2一、可降階的一些方程類型一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式階微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF階方程的則可把方程化為若令knyyxk,)()58. 4(0),()(knyyytF 1、 不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)x 或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到 階導(dǎo)數(shù)的方程：階導(dǎo)數(shù)的方程：1 (1)kk3若能求得若能求得(4.58)的通解的通解),(1knccty對(duì)上式經(jīng)過對(duì)上式經(jīng)過k次積分次積分,即可得即可得(4.57)的通解的

2、通解即即( )1( ,).kn kxt cc11( ,),nnxt cccc這里為任常數(shù).4 解題步驟解題步驟:則方程化為令,)(yxk第一步第一步:0),()(knyyytF第二步第二步:求以上方程的通解求以上方程的通解),(1knccty即即),(1)(knkcctx第三步第三步: 對(duì)上式求對(duì)上式求k次積分次積分,即得原方程的通解即得原方程的通解為任常數(shù)這里nncccctx,),(11)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF5解解:令令,44ydtxd則方程化為則方程化為01ytdtdy這是一階方程這是一階方程,其通解為其通解為,cty 即有即有,44ctdtxd對(duì)上式積分對(duì)上

3、式積分4次次, 得原方程的通解為得原方程的通解為53212345.xctc tc tc tc例例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd6 2、 不顯含自變量不顯含自變量t的方程的方程 一般形式一般形式:)59. 4(, 0),()(nxxxF 解題步驟解題步驟:第一步第一步:,yxyx令并以 為新的未知函數(shù) 為新的自變量 原方程化為0),()1()1(nndxyddxdyyxG7第二步第二步: 求以上方程的通解求以上方程的通解),(11nccxy第三步第三步: 解方程解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解。即得原方程的通解。8解：解：令令,作為新的自變量并以xydtdx則方程

4、化為則方程化為02 ydxdyxy從而可得從而可得, 0y及及,xydxdy這兩方程的全部解是這兩方程的全部解是,1xcy 例例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原來(lái)變量得到再代回原來(lái)變量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解為所以得原方程的通解為12,c txc e9 3、 已知齊線性方程的非零特解已知齊線性方程的非零特解,進(jìn)行降階進(jìn)行降階22( )( )0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt的解。的解。解題步驟為：解題步驟為：對(duì)于二階齊次線性微分方程，如果知道它的一對(duì)于二階齊次線性微分方程，如果知道它的一個(gè)解，則方程的求解過程如下：個(gè)解，則方程的求解過程如下：

5、10 xx設(shè)設(shè)是二階齊次線性微分方程是二階齊次線性微分方程第一步第一步:1xx y令方程變?yōu)?112( )0 x yxp t x y第二步第二步:zy令方程變?yōu)?112( )0dzxxp t x zdt10解之得解之得( )21,p t dtczex即即( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx1112( )0 dzxxp t x zdt112( )xdzp t zdtx 這是一階齊次線性微分方程。這是一階齊次線性微分方程。11第三步第三步:1210,ccx令=1得與 線性無(wú)關(guān)一個(gè)解:( )21211,p t dtxxedtx第四步第四步: (4.69)的的通解通解為為( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c這里是任常數(shù).注：注：一般求一般求(4.69)的解直接用公式的解直接用公式(4.70)12解：解：這里這里12sin( ),tp txtt由由(4.70)得得例例322sin20.td xdxxxtdtt dt已知是方程的解,試求方程的通解21222si