第二三、四次課、夫瑯和費衍射概要

1、1內容內容第二十三、四次課、夫瑯和費衍射第二十三、四次課、夫瑯和費衍射一、夫瑯和費衍射的觀察一、夫瑯和費衍射的觀察二、夫瑯和費衍射的傅立葉變換處理二、夫瑯和費衍射的傅立葉變換處理 三、單縫的夫瑯和費衍射圖形三、單縫的夫瑯和費衍射圖形 四、直邊的夫瑯和費衍射四、直邊的夫瑯和費衍射 五、矩孔的夫瑯和費衍射五、矩孔的夫瑯和費衍射 六、矩孔二值位相物體的衍射六、矩孔二值位相物體的衍射 七、圓孔的夫瑯和費衍射圖形七、圓孔的夫瑯和費衍射圖形 八、夫瑯和費衍射中的八、夫瑯和費衍射中的Babinet互補規(guī)律互補規(guī)律 九、隨機顆粒的夫瑯和費衍射九、隨機顆粒的夫瑯和費衍射 十、衍射圖形與光波所受的限制之間的關系十

2、、衍射圖形與光波所受的限制之間的關系2夫瑯和費夫瑯和費(Fraunhofer Joseph von ) (1787.3.61826.6.7)德國物理學家和德國物理學家和光學技師光學技師 發(fā)明和創(chuàng)造：發(fā)明和創(chuàng)造：1、首用幾何光學理論設計和制、首用幾何光學理論設計和制造了消色差透鏡；造了消色差透鏡； 2、首用牛頓環(huán)方法檢查光學表面、首用牛頓環(huán)方法檢查光學表面加工精度及透鏡形狀；加工精度及透鏡形狀； 3、制造大型折射望遠鏡；、制造大型折射望遠鏡； 4、發(fā)現(xiàn)并仔細研究了太陽光譜中的、發(fā)現(xiàn)并仔細研究了太陽光譜中的576條暗線條暗線(夫瑯和費線夫瑯和費線) 5、仔細研究平行光照射的單縫衍射、仔細研究平行光

3、照射的單縫衍射(夫瑯和費衍射夫瑯和費衍射) 6、研制金屬線光柵、研制金屬線光柵(260條條)、刻劃玻璃光柵、刻劃玻璃光柵(3200條條/巴黎寸巴黎寸) 給出光柵方程給出光柵方程7、發(fā)現(xiàn)增透膜、發(fā)現(xiàn)增透膜 3菲涅耳菲涅耳(Augustin-Jean Fresnel) (1788.5.101827.7.14)法國土木工程師，法國土木工程師，物理學家，物理光學的締造者之一物理學家，物理光學的締造者之一 貢獻：貢獻：1、菲涅耳公式；、菲涅耳公式； 3、惠更斯、惠更斯菲涅耳原理；菲涅耳原理； 2、菲涅耳雙面鏡干涉；、菲涅耳雙面鏡干涉； 4、菲涅耳衍射：論文、菲涅耳衍射：論文光的衍射光的衍射及關于反射光柵

4、、菲涅及關于反射光柵、菲涅耳波帶片；菲涅耳透鏡；菲涅耳圓孔等的討論耳波帶片；菲涅耳透鏡；菲涅耳圓孔等的討論5、光波是橫波；、光波是橫波；6、發(fā)現(xiàn)光的圓偏振、橢圓偏振現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)光的圓偏振、橢圓偏振現(xiàn)象 7、解釋旋光現(xiàn)象、麻呂斯實驗定律、雙折射現(xiàn)象、解釋旋光現(xiàn)象、麻呂斯實驗定律、雙折射現(xiàn)象 8、1818年提交的論文系統(tǒng)地闡述了光的波動說，解釋了當時年提交的論文系統(tǒng)地闡述了光的波動說，解釋了當時出現(xiàn)的幾乎一切的光學現(xiàn)象出現(xiàn)的幾乎一切的光學現(xiàn)象 4xfFL圖圖1 借助薄透鏡觀察夫瑯和費衍射圖形借助薄透鏡觀察夫瑯和費衍射圖形一、夫瑯和費衍射的觀察一、夫瑯和費衍射的觀察5在采用圖在采用圖1的裝置時，夫瑯和

5、費衍射的相關公式中的的裝置時，夫瑯和費衍射的相關公式中的d要換成要換成焦距焦距，即有：，即有： fxffyf(1)和：和： )2(exp1)2(exp),(2222fyxfjkfjfyxfjkfKyxg(2)暗含的暗含的 d 變成變成的公式為的公式為： ddffjAffa)(2exp),(),(3)E(P)=E(x，y)=g(x，y)a(f，f) (4) 二、夫瑯和費衍射的傅立葉變換處理二、夫瑯和費衍射的傅立葉變換處理因此，只要求出衍射屏物體出射面上的復振幅因此，只要求出衍射屏物體出射面上的復振幅A(，)的傅里的傅里葉變換葉變換a(、)，便可立即寫出，便可立即寫出E(x、y)。6觀察屏面上夫瑯

6、和費衍射圖形的輻照度分布則為：L(x，y)=E(x, y)E*(x, y)=g(x，y)g*(x，y)a(f，f)a*(f, f)2)(1),(),(fyxgyxg)2(exp1)2(exp),(2222fyxfjkfjfyxfjkfKyxg(2)L(x，y)= a(f，f)a*(f，f) (5) 2)(1f可見，利用傅立葉變換處理夫瑯和費衍射問題是很簡單的：可見，利用傅立葉變換處理夫瑯和費衍射問題是很簡單的：首先根據(jù)實際情況確定首先根據(jù)實際情況確定A(，)；然后將其作傅立葉變換得到然后將其作傅立葉變換得到a(f，f)，然后代到然后代到(4)中，結合中，結合(1)和和(2)得到觀察屏上的光場分

7、布得到觀察屏上的光場分布E(x、y)；最后代到最后代到(5)中得到觀察屏上的輻照度分布。中得到觀察屏上的輻照度分布。 7L2L1Syxf圖圖2 單縫衍射裝置單縫衍射裝置(點光源照射點光源照射)三、單縫的夫瑯和費衍射圖形三、單縫的夫瑯和費衍射圖形8圖圖3 線光源照射單縫產(chǎn)生夫瑯和費衍射線光源照射單縫產(chǎn)生夫瑯和費衍射9圖圖4 單縫衍射問題的平面圖單縫衍射問題的平面圖RxPFfa/2-a/2M()LQ10根據(jù)傅里葉變換的思想，利用根據(jù)傅里葉變換的思想，利用(1)(4)式，可以直接計算式，可以直接計算上的光上的光場分布場分布E(P)。為便于理解，僅考慮在單位強度的平面波正入射的情況時，為便于理解，僅考

8、慮在單位強度的平面波正入射的情況時，B(，)=1，所以：，所以：A(，)=T(，)=rect(/a) (6)11/ 21/ 2( )01/ 21/ 2xrect xxorx (7)則則A(，)的傅里葉變換的傅里葉變換a (f，f)為：為： )()(sin)2exp()2exp()(2exp)(),(2/2/fafcadfjdfjddffjarectffaaa (8)“矩形函數(shù)矩形函數(shù)” ：sinc函數(shù)：sinc(x)=sin(x) /(x) (9)Dirac函數(shù)11將將(8)式代入式代入(4)式并利用式并利用(2)和和(1)式，得：式，得： )()(sin)0()()(sin)2(exp1),

9、()2(exp1),()(2222fyfaxcEfyfaxcafyxfjkfjffafyxfjkfjyxEPE(10)2(exp)0(22fyxfjkfjaE(11)將將(8)代入代入(5)式，得到觀察面式，得到觀察面上沿上沿x軸分布的輻照度為：軸分布的輻照度為： )(sin)0()(2faxcLxL(12)22(0)()aLf(13)為為F點的輻照度。點的輻照度。 12( )(0) sin ()()axyE PEcfffax) 0 ()(ExE(a)、相對振幅分布相對振幅分布fax) 0 ()(LxL(b)、輻照度分布輻照度分布(10)(sin)0()(2faxcLxL(12)(c)、線光源

10、照明的單縫夫、線光源照明的單縫夫瑯和費衍射照片瑯和費衍射照片衍射圖形以點衍射圖形以點x=0為中心沿正負為中心沿正負x軸軸對稱地擴散。對稱地擴散。中央有一亮條紋中央有一亮條紋(若是點光源照明，若是點光源照明，則形成亮斑則形成亮斑)，稱為，稱為中央亮紋中央亮紋(斑斑)，兩側有一些較弱的兩側有一些較弱的亮紋亮紋(斑斑)，各亮紋，各亮紋(斑斑)由照度為零的暗區(qū)隔開。由照度為零的暗區(qū)隔開。13( )(0) sin ()()axyE PEcff(10)0(21)2axkfk, 2 , 1, 2 , 1kk中央亮紋暗紋亮紋獲得獲得明暗條紋條件明暗條紋條件為為： 式中式中 k 稱為稱為衍射級次衍射級次，正負號

11、正負號“”表示明暗表示明暗條紋對稱分布在中央明條紋對稱分布在中央明紋的兩側紋的兩側。RxPFfa0/2-a0/2M()LQ稱為衍射角衍射角。在菲涅耳近似下，有在菲涅耳近似下，有：(14)sinxtgf14于是有于是有： 2) 12(0sinkka, 2 , 1, 2 , 1kk亮紋暗紋中央亮紋(15) 定義相鄰暗條紋之間的距離為定義相鄰暗條紋之間的距離為亮紋的寬度亮紋的寬度。兩個第一級暗條紋中心間的距離即為兩個第一級暗條紋中心間的距離即為中央明紋的寬度中央明紋的寬度。akfx(17)通常衍射角很小通常衍射角很小，(14)sintgsinxtgfxf(16)觀察屏上各級暗條紋的中心與中央明紋中心

12、的距離為觀察屏上各級暗條紋的中心與中央明紋中心的距離為： 15第一級暗紋距中心第一級暗紋距中心F F的距離為的距離為：afx1(18)中央亮紋的寬度中央亮紋的寬度w為為：w =2/a (19)afakfafkxxwkk) 1(1(20) 可見，中央明紋的寬度是其它明紋寬度的兩倍。可見，中央明紋的寬度是其它明紋寬度的兩倍。由由(19)還可知，中央明紋的寬度正比于波長還可知，中央明紋的寬度正比于波長，反比于縫寬，反比于縫寬a?？p?？p越窄，衍射越顯著；縫越寬，衍射越不明顯。越窄，衍射越顯著；縫越寬，衍射越不明顯。當縫寬當縫寬a時，各級衍射條紋向中央靠攏，密集得以致無法分辨，時，各級衍射條紋向中央靠攏

13、，密集得以致無法分辨，只能觀察到一條明條紋，它就是透鏡所形成的單縫的像，這個像只能觀察到一條明條紋，它就是透鏡所形成的單縫的像，這個像類似于從單縫射出的光是直線傳播的平行光束。類似于從單縫射出的光是直線傳播的平行光束。由此可見，光的直線傳播現(xiàn)象是光的波長較障礙物的線度小很多由此可見，光的直線傳播現(xiàn)象是光的波長較障礙物的線度小很多時，衍射現(xiàn)象不顯著的情形。時，衍射現(xiàn)象不顯著的情形。其它的任意相鄰暗紋的距離其它的任意相鄰暗紋的距離(明紋寬度明紋寬度)為為：16四、直邊的夫瑯和費衍射考慮單縫的形狀，如果把狹縫一側的擋考慮單縫的形狀，如果把狹縫一側的擋光部分去掉，就形成了半無限平面。光部分去掉，就形成

14、了半無限平面。顯然它是只有一條直邊的衍射物體，其顯然它是只有一條直邊的衍射物體，其夫瑯和費衍射也可利用傅立葉變換來分夫瑯和費衍射也可利用傅立葉變換來分析。析。假定由振幅為假定由振幅為1的單色平面波正入射，不難理解，這種直邊衍射的單色平面波正入射，不難理解，這種直邊衍射物的復振幅透射系數(shù)可表示為：物的復振幅透射系數(shù)可表示為：A(，)=step()符號函數(shù)1sgn( )01x000 xxx其傅立葉變換為：)(F0j00Fsgn(x)1step( )1 sgn( )2xx其傅立葉變換可以寫成： Fstep(x)= F1+sgn(x) 21112 ( )sgn( )22jx F00根據(jù)階躍函數(shù)的傅立葉

15、變換，有根據(jù)階躍函數(shù)的傅立葉變換，有： )(1)(21),(ffjfffa利用利用(1)、(2)、(4)及及(5)式，可以得到直邊的夫瑯和費衍射的復振幅式，可以得到直邊的夫瑯和費衍射的復振幅和輻照度分布和輻照度分布。 172222111( , )exp()() 22211exp()() 222xyE x yjk fffjffjfxyfxyjk fjffjxff(21) 221( , )4L x yx000 xyx y 、(22) L(x)xO圖6 直邊夫瑯和費衍射特點1：在x0的光照區(qū)和x時，時，A0，愛里斑就縮至一點，這時波動光學就過渡到幾何光學，愛里斑就縮至一點，這時波動光學就過渡到幾何光

16、學了。了。至此我們再次看到，雖然單縫和圓孔衍射的角寬度只相差一個至此我們再次看到，雖然單縫和圓孔衍射的角寬度只相差一個常數(shù)因子常數(shù)因子1.22，但兩者均與波長，但兩者均與波長成正比，與孔徑成正比，與孔徑、縫寬、縫寬a成成反比，所以反比，所以、a越小或越小或越大，衍射現(xiàn)象越顯著，當越大，衍射現(xiàn)象越顯著，當時，時，衍射現(xiàn)象消失。衍射現(xiàn)象消失。由于極大多數(shù)光學儀器都具有圓形同光孔徑，所以在光學儀器由于極大多數(shù)光學儀器都具有圓形同光孔徑，所以在光學儀器成像理論中，習慣將愛里斑作為衍射受限光學系統(tǒng)對點物成像理論中，習慣將愛里斑作為衍射受限光學系統(tǒng)對點物(或或點光源點光源)所成的像。所成的像。 35(二)

17、、光學儀器系統(tǒng)的分辨本領 瑞利判據(jù)瑞利判據(jù)(或稱瑞利準則、瑞利判據(jù)或稱瑞利準則、瑞利判據(jù)) 圖15361、望遠鏡的分辨本領、望遠鏡的分辨本領 圖圖16 望遠鏡的分辨本領望遠鏡的分辨本領 D22. 10(50) 由此條件決定的兩物點之間的角距離，稱為望遠鏡的由此條件決定的兩物點之間的角距離，稱為望遠鏡的最小分辨角最小分辨角。(系統(tǒng)的視角放大率系統(tǒng)的視角放大率M=D/De)此條件表明，所用波長此條件表明，所用波長愈短或通光口徑愈短或通光口徑D愈大，最小分辨角就愈愈大，最小分辨角就愈小，即分辨本領放大。小，即分辨本領放大。天文望遠鏡物鏡的直徑做的很大天文望遠鏡物鏡的直徑做的很大(世界上已有直徑為世界

18、上已有直徑為56米的物鏡米的物鏡)，原因之一就是為了提高望遠鏡的分辨本領。原因之一就是為了提高望遠鏡的分辨本領。 由最小分辨角表示由最小分辨角表示 372、照相物鏡的分辨本領、照相物鏡的分辨本領 照相物鏡一般都對較遠的物體拍照，例如常用照相物鏡的焦距照相物鏡一般都對較遠的物體拍照，例如常用照相物鏡的焦距不過不過50100毫米，而被拍照的物體常在毫米，而被拍照的物體常在2米以外。因此與望遠米以外。因此與望遠系統(tǒng)相似，也可按式系統(tǒng)相似，也可按式(50)計算照相物鏡的最小分辨角。計算照相物鏡的最小分辨角。由于感光版的存在，可以說，照相系統(tǒng)的分辨本領取決于照由于感光版的存在，可以說，照相系統(tǒng)的分辨本領

19、取決于照相物鏡的最小分辨角和感光材料。相物鏡的最小分辨角和感光材料。Dff22. 1(51) 是在感光版上所能分辨的兩像點的最小間距。是在感光版上所能分辨的兩像點的最小間距。fDR22. 11(線對線對/毫米毫米) (52) 通常用通常用Rl/來表示照相物鏡的分辨本領。設來表示照相物鏡的分辨本領。設的單位為毫米，的單位為毫米，則則l/表示表示1毫米內所能分辨的最小線對。即：毫米內所能分辨的最小線對。即： 是物鏡的相對孔徑是物鏡的相對孔徑38八、夫瑯和費衍射中的Babinet互補規(guī)律在前述的各種形狀的孔徑中，把開口處堵住，使其擋光，而把在前述的各種形狀的孔徑中，把開口處堵住，使其擋光，而把原來擋

20、光部分去掉，使其通光。于是單細狹縫變成細窄條、矩原來擋光部分去掉，使其通光。于是單細狹縫變成細窄條、矩(方方)孔變成矩孔變成矩(方方)形擋光屏，圓孔變成圓屏等等，這種情形下形擋光屏，圓孔變成圓屏等等，這種情形下的夫瑯和費衍射圖形分布需要借助巴比內互補屏原理來分析。的夫瑯和費衍射圖形分布需要借助巴比內互補屏原理來分析。把透射系數(shù)分別為把透射系數(shù)分別為T(、)和和T(、)，并且滿足，并且滿足T(、)+T(、)=1 (53)的兩個光欄稱為是的兩個光欄稱為是“互補互補”的。的。 T(、)不但能取不但能取0或或1兩個數(shù)值，還可以任意取值、甚至取兩個數(shù)值，還可以任意取值、甚至取復數(shù)值。復數(shù)值。39巴比內互

21、補屏原理可以寫成：巴比內互補屏原理可以寫成：E(P)+ E(P)=E(P) (54) 無限制時的復振幅分布無限制時的復振幅分布開孔開孔限制時的復振幅限制時的復振幅分布分布開孔開孔限制時的復振幅分布限制時的復振幅分布對于夫瑯和費衍射，可對對于夫瑯和費衍射，可對T(、)+T(、)=1 (53)進行傅立葉變換。進行傅立葉變換。40九、隨機顆粒的夫瑯和費衍射從圓孔衍射可知，愛里斑的半徑從圓孔衍射可知，愛里斑的半徑rA和圓孔半徑和圓孔半徑之間存在反比之間存在反比關系，因此可以根據(jù)對夫瑯和費衍射圖形的觀測，可以求出關系，因此可以根據(jù)對夫瑯和費衍射圖形的觀測，可以求出圓孔直徑的大小。特別是應用巴比涅原理，還

22、可以測出散射圓孔直徑的大小。特別是應用巴比涅原理，還可以測出散射小顆?；蛘呒毥z直徑的大小。小顆?；蛘呒毥z直徑的大小。眾所周知，在天氣多云時或月亮周圍會出現(xiàn)明亮的光環(huán)，稱眾所周知，在天氣多云時或月亮周圍會出現(xiàn)明亮的光環(huán)，稱作作日華日華或者或者月華月華，光環(huán)的視角半徑在，光環(huán)的視角半徑在25之間，這種天氣之間，這種天氣現(xiàn)象是由高空大氣中的霧珠或冰晶的夫瑯和費衍射的一級亮現(xiàn)象是由高空大氣中的霧珠或冰晶的夫瑯和費衍射的一級亮環(huán)形成的。環(huán)形成的。按照巴比涅原理，這種散射小顆粒的夫瑯和費衍射圖形，和按照巴比涅原理，這種散射小顆粒的夫瑯和費衍射圖形，和同樣尺寸的小孔衍射在中心以外的各點完全相同。同樣尺寸的小

23、孔衍射在中心以外的各點完全相同。處理由大量形狀、尺寸相同但位置隨機的小孔組成的這列的處理由大量形狀、尺寸相同但位置隨機的小孔組成的這列的夫瑯和費衍射，可以應用傅立葉變換的平移不變性定理。夫瑯和費衍射，可以應用傅立葉變換的平移不變性定理。 41 設位于光軸上的小孔的振幅透射系數(shù)為設位于光軸上的小孔的振幅透射系數(shù)為T0(，)，隨機孔，隨機孔陣列的振幅透射系數(shù)可以表示為：陣列的振幅透射系數(shù)可以表示為： NnnnTT10),(),(61) 設單元小孔設單元小孔T0(，)的傅立葉變換為的傅立葉變換為t0(f，f)，應用傅立葉變，應用傅立葉變換的平移定理，可得隨機小孔陣列振幅透射系數(shù)為：換的平移定理，可得

24、隨機小孔陣列振幅透射系數(shù)為： 01(,)exp2 (,) (,)Nnnnt ffjfftff(62) 如果對小孔陣列的照明是非相干的，則它的夫瑯和費衍射的輻如果對小孔陣列的照明是非相干的，則它的夫瑯和費衍射的輻照度應等于陣列中各個小孔衍射的輻照度相加，不考慮系數(shù)的照度應等于陣列中各個小孔衍射的輻照度相加，不考慮系數(shù)的情況下應等于：情況下應等于： ),(| ),(| ),(),(2exp|),(0120120yxNIzyzxtfftffjyxLNnNnnn(63) 式中式中z為夫瑯和費衍射的觀察距離。為夫瑯和費衍射的觀察距離。I0(x，y)為單獨一個小孔的夫瑯和費衍射的輻照度。為單獨一個小孔的夫

25、瑯和費衍射的輻照度。42按照巴比涅原理，上式也可以用來描述隨機散射顆粒陣按照巴比涅原理，上式也可以用來描述隨機散射顆粒陣列的夫瑯和費衍射。列的夫瑯和費衍射。上式表明，上式表明，N個散射顆粒夫瑯和費衍射的輻照度等于單個散射顆粒夫瑯和費衍射的輻照度等于單個顆粒衍射圖形輻照度的個顆粒衍射圖形輻照度的N倍。倍。當小顆粒直徑也是隨機分布時，將引起衍射亮環(huán)的環(huán)寬當小顆粒直徑也是隨機分布時，將引起衍射亮環(huán)的環(huán)寬度擴展，根據(jù)亮環(huán)的平均視角半徑，利用公式度擴展，根據(jù)亮環(huán)的平均視角半徑，利用公式(48)，即，即可計算出小顆粒的平均半徑，以及直徑的統(tǒng)計分布規(guī)律?？捎嬎愠鲂☆w粒的平均半徑，以及直徑的統(tǒng)計分布規(guī)律。 2200011( , )|exp2 (,)