2015秋高中數(shù)學2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(第3(精)

1、2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第三課時）我們知道，物體作勻速直線運動的位移 s 是時間廣的函數(shù)，即滬滋，其中速度卩是常量，定義域 t 0,值域 s 0；反過來，也可以由位移 s和速度$（常量）確定物體作勻速直線運動的時間，即 t = ,這時，位移Vs 是自變量，時間乃是位移 S 的函數(shù)，定義域 s 0,值域 t 0.（定義域為（0.+OO）,值域為（0,+8）問題 2：函數(shù)中，誰是誰的函數(shù)? V（時間上是位移 S 的函數(shù)）函數(shù)歹兀的定義域、值域分別是什么？問丿問題 3：函數(shù)歹吒與函數(shù)/=-之間有什么關系？v（一個解析式的兩種不同形式，都是函數(shù)解析式，自變量和函數(shù)值恰好互換） 問題 4：在指數(shù)函數(shù)

2、 y = 2A中，x 為自變量，y 為因變量。如果把 y 當成 自變量，x 當成因變量，那么 x 是 y 的函數(shù)嗎？如果是，那么對應關系 是什么？如果不是，請說明理由。師生共同探討、交流，揭示規(guī)律，過程如下：指數(shù)函數(shù) y = 2x中，x 是自變量，y 是 x 的函數(shù)，定義域為 xGR,值域為 yw （0, +8）。由指數(shù)式與對數(shù)式的互化有：x = log2y 對于 y 在（0, +8）中任何一個值，通過式子 x=log2y, x 在 R 中都有唯一的值和它對應.因此，它也確定了一個函數(shù)：x = log2y , y 為自變量，X 為 y 的函數(shù)，定義域是ye （0, +8 值域是 xWR.由于，

3、函數(shù)兀=log2y 與函數(shù) y = 2A是一個解析式的兩種不同形式， 都是函數(shù)解析式而且自變量與函數(shù)值恰好相反，故我們引入一個新的概 念，稱函數(shù) X = 1002 丘（，+00）是函數(shù) y =2v（xER）的反函數(shù).問題 5：請同學仿照解決問題 4 的過程，探討對數(shù)函數(shù)尸 10 酎（0,且 和指數(shù)函數(shù)尸/ U0,且好 1）是否也互為反函數(shù)？仿照問題 4 的探討過程，完全有學生自主研究，大膽總結，如下:指數(shù)函數(shù) y = /中，X 是自變量，y 是 X 的函數(shù)，定義域為 xe R,值域為 ye (0, +8 )。由指數(shù)式與對數(shù)式的互化有： x=logay 對于 y 在(0, +8)中任何一個值，

4、通過式子 x = log,y, X 在 R 中都有唯一的值和它對應因此， 它也確定了一個函數(shù)： x = logz, y, y 為自變量，x 為 y 的函數(shù)，定義域是 yw (0, +8),值域是 xR.由于， 函數(shù) x = logay 與函數(shù) y = R 是一個解析式的兩種不同形式， 都是函數(shù)解析式，而且自變量與函數(shù)值恰好相反， 故我們引入一個新的概念， 稱函數(shù) x=】 og“y(yw(0,+8) 是函數(shù) y = (xeR)的反函數(shù).問題 6：由問題 5,我們總結了函數(shù) x = ogay(yG(0,+oo)是函數(shù) y = a (xER)的反函數(shù)，但是總感覺函數(shù) x = log“y(yw(),+

5、x)有些怪怪的，不舒服，到底是 哪里的問題呢？又怎樣解決呢？在函數(shù)工 To 酎中，丿是自變量，工是函數(shù)但習慣上，我們通常用 x 表示自變量，y 表示函數(shù)為此，我們常對調(diào)函數(shù)Io 彌中的字母工、把它寫成戶 1。時這樣，那 么，對數(shù)函數(shù) yulOgaX (xe(0, +oo)是指數(shù)函數(shù) yd (xGR)的反函數(shù).問題 7：由問題 6 知對數(shù)函數(shù)尸 lo%r (xG (0, +oo)是指數(shù)函數(shù)丿=a* (xGR) 的反函數(shù)，那么反過來，指數(shù)函數(shù) yS (xGR)是否也是對數(shù)函數(shù)尸 lo 時(XG (0, +00)的函數(shù)呢？答案是肯定的，對數(shù)函數(shù)尸 10 護(xG (0,+QO)是指數(shù)函數(shù) y=x (

6、xGR)的反函數(shù)；同時，指數(shù)函數(shù)尸 f (xGR)也是對數(shù)函數(shù)尸 loj (xG (0, +x)的 反函數(shù)因此，指數(shù)函數(shù)尸/ (xGR)與對數(shù)函數(shù)尸 10 卩(xG (0, +Q)互為反函數(shù).反函數(shù)概念:指數(shù)函數(shù)尸/ (xR)與對數(shù)函數(shù)尸 1。&注(xe (0, +oo)互為反函數(shù).即同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反曲數(shù)。問題 8：通過以前的學習，我們知道研究一個新函數(shù)過程往往是，定義 解析式一一圖像性質(zhì)。反函數(shù)的定義與解析式都研究完了，那么，互為 反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像具有怎樣的特點呢？發(fā)現(xiàn)，y = T 與 y = log2x 的圖像關于直線 y=x 對稱，y = 3、與 y = lo

7、g3x的圖像也關于 y=x 對稱。問題 9：根據(jù)問題 8,我們是否能說互為反函數(shù)的兩個函數(shù)都關于直線 y=x 對稱呢？(師生共同再利用兒何畫板在同一個坐標系中依次畫出指數(shù)函數(shù).v=/ (xeR) 與對數(shù)函數(shù) y=ox (xe (0, +oo),并觀察。)圖像反函數(shù)的性質(zhì):互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關于直線 y=x 對稱。例 1.求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1) 7=4 (xwR,尸 0.25 IxwR,尸(*) 匕丘&, /=(V2) (曲龍，(5) j=lgHx0),(6) 7=2 log4x(jr0)解：(1)所求反函數(shù)為：jlog4x(x0), (2)所求反函數(shù)為：尸 logo.25 x(x0)所求反函數(shù)為：j=log, x (x0),(4)所求反函數(shù)為：尸 k)g“x (x0)X所求反函數(shù)為：尸 4 匚 2 (xeR)跡所求反函數(shù)為：尸 10 (xeR),例 2函數(shù)尸 3”的圖象與函數(shù) y = log3x 的圖象關于（）A.y 軸對稱 B. x 軸對稱 C.原點對稱