常微分方程(王高雄)第三版

1、編輯課件1.2 基本概念基本概念編輯課件定義定義1:1: 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程分）的關(guān)系式稱為微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程一、常微分方程與偏微分方程 編輯課件 如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy

2、; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如編輯課件 如果在一個(gè)微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上,稱為偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程. 同時(shí)把常微分方程簡稱為微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.編輯課件定義定義2 2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)或或微分的微分的階階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)數(shù)稱為微分方程的階數(shù). . 2 ) 1

3、(xdxdy是一階微分方程； 0 (2) ydxxdy是二階微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的階二、微分方程的階如:編輯課件) 1 (0),(nndxyddxdyx,y,Fn階微分方程的一般形式為.是自變量,是未知函數(shù),而且一定含有,的已知函數(shù)是0這里xyndxynddxyd,dxdyx,y,)dxyd,dxdyF(x,y,nnnn編輯課件 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程是線性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd三 線性和非線性0)dxyd,d

4、xdyF(x,y,nn如如.,階線性方程則稱其為的一次有理式及的左端為ndxyddxdyynn1.如果方程編輯課件 是非線性微分方程是非線性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數(shù)是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程編輯課件四 微分方程的解定義4:,),(滿足條件如果函數(shù)Ixxy;階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有直到在)(1)nIxy,0)(),(),(,(:有對)2()(xxxxFIxn.0(x)上的一個(gè)解在為方程則稱I)dxyd,d

5、xdyF(x,y,ynn編輯課件例2.),(0cossin上的一個(gè)解在都是微分方程驗(yàn)證yyxx,yy證明:由于對,sin xy xx,yysincos(,),x 故對有 yyxsin0 xsin.),(在0sin上的一個(gè)解是微分方程故yyxy.),(0cos上的一個(gè)解在是微分方程同理yyxy編輯課件1 顯式解與隱式解是方程的一個(gè)則稱的解為方程所確定的隱函數(shù)如果關(guān)系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn定義4所定義的解為方程的一個(gè)顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.)(xy編輯課件例如yxdxdy對一階微分方程有顯式解:2211.yxy

6、x 和和隱式解:. 122 yx編輯課件2 通解與特解定義5 如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:為任常數(shù)2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨(dú)立的任常數(shù)其中ncc 編輯課件注1:使得行列式的某一鄰域存在是指個(gè)獨(dú)立常數(shù)含有稱函數(shù),),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中編輯課件例3.6223c2321的通解是微

7、分方程驗(yàn)證yyyyececeyxxxxxxececey23212c證明:由于,4c2321xxxececeyxxxececey23218c故yyyy22)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86編輯課件.6223c2321的通解是微分方程故yyyyececeyxxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.6223c2321的解微分方程是故y

8、yyyececeyxxx編輯課件注2:.),(,0),(),(11該微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:類似可定義方程的隱式通解, 如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該 方程的隱式通解.編輯課件 在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解.例如.0cossin的特解都是方程yyxx,yy中分別取可在通解xcxcycossin21:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到c,sin xy .cosxy 定義6編輯課件問題問題：通解可能無窮多個(gè)，如

9、何找到有用的特解呢？編輯課件3 定解條件 為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題. 常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個(gè)條件:)1(01)1()1(000,nnnydxydydxdyyyxx時(shí)當(dāng).1,)1(0)1(000個(gè)常數(shù)是給定的這里nyyyxn當(dāng)定解條件是初始條件時(shí),相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.編輯課件注1:n階微分方程的初始條件有時(shí)也可寫為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)

10、(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy編輯課件例4.1)0(, 2)0(,045421的特解并求滿足初始條件的通解是方程驗(yàn)證yyyyyececyx-xyyy45-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc

11、0編輯課件.045ec-4x21的通解是方程故yyyceyx有由初始條件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程組得1, 321cc的特解為滿足初始條件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3xey編輯課件的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解與直線滿足通解1(3)3(2)(1)10 xyydxcxxy26132xxy12xxy的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解與直線滿足通解1(3)3(2)(1)10 xyydx的如下解例：求微分方程12 xdxdy編輯課件思考1、微分方程的解是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？2、通解是否一定包含了全部解？3、所有方程都有通解

12、嗎？編輯課件五 積分曲線和方向場1 積分曲線一階微分方程),(yxfdxdy,平面上的一條曲線所表示的解xy(x)y稱為微分方程的積分曲線.,族稱這族曲線為積分曲線平面上的一族曲線對應(yīng)而其通解xy(x,c)y編輯課件2 方向場),(,),(,),(,),(,),(yxfdxdyDyxyxfyxDDyxf為方程有這種直線段的區(qū)域稱帶點(diǎn)的線段中心在的值為斜率上一個(gè)以都畫處內(nèi)每一點(diǎn)在的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù)在方向場中,方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線.所規(guī)定的方向場.,),(,),(為參數(shù)其中的等斜線為方程kkyxfyxfdxdy編輯課件 方向場畫法：方向場畫法：適當(dāng)畫出若干條等斜線，適當(dāng)畫出若干條等斜線，

13、再在每條等斜線上適當(dāng)再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對應(yīng)的向量選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對應(yīng)的向量,這樣即可畫出這個(gè)方向場這樣即可畫出這個(gè)方向場.例例 畫出方程畫出方程 所確定的方向場示意圖所確定的方向場示意圖.22yxy 解解方程的等斜線為方程的等斜線為,22Cyx 畫出五條等斜線畫出五條等斜線,再在每條等斜線再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對應(yīng)的上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對應(yīng)的向量，如圖方向場。向量，如圖方向場。xoy編輯課件根據(jù)方向場即可大致描繪出積根據(jù)方向場即可大致描繪出積分曲線分曲線經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三條積分曲線如左圖所示。的三條積分曲線如左圖所示。xoy編

14、輯課件例5.的方向場研究方程xydxdy編輯課件例6.2, 2| ),(的方向場和積分曲線內(nèi)畫出方程在區(qū)域ydxdyyxyxD積分曲線積分曲線方向場方向場編輯課件方向場示意圖方向場示意圖 積分曲線積分曲線 例7.2的方向場和積分曲線研究方程yxdxdy編輯課件六、微分方程組六、微分方程組定義定義：用兩個(gè)及兩個(gè)以上的關(guān)系式表示的微分方程稱為：用兩個(gè)及兩個(gè)以上的關(guān)系式表示的微分方程稱為微分方程組微分方程組。一般形式：1112211111( ;,)( ;,)( ; ),( ; )( ;,)( ;,)nnnnnnnnyf t yyyf t yydf tf tdtyft yyyf t yyyyyy編輯課

15、件Lorenz方程方程Volterra兩種種群競爭模型兩種種群競爭模型()d xayxd td yx zc xyd td zyb zd t(1.18)()()d xxab xc yd td yyde xf yd t(1.19)編輯課件高階微分方程高階微分方程 的另一種形式的另一種形式( ; ,)0nndzd zF t zdtdt1( )1( ; ,)0nnndzdzzg t zdtdt如果把如果把 都理解為未知函數(shù)，并作變換都理解為未知函數(shù)，并作變換(1),nz z zz (1)123,nnyz yz yzyz1211( ;,)nnnndyydtdyydtdyg t yydt上述上述高階微分方程可以變?yōu)橄铝形⒎址匠探M高階微分方程可以變?yōu)橄铝形⒎址匠探M并可以記為向量形式并可以記為向量形式( ; )dyf t ydt其中均為向量函數(shù)其中均為向量函數(shù),( ; )y f t y分析分析：微分方程（組）的向量形式為其用：微分方程（組）的向量形式為其用線性代數(shù)知識進(jìn)行研究討論提供了方便。線性代數(shù)知識進(jìn)行研究討論提供了方便。編輯課件七、駐定與非駐定七、駐定與非駐定( ),ndfDdtyyyR與t無關(guān)，駐定系統(tǒng)( , ),ndf tDdtyyyR與t有關(guān)，非駐定系統(tǒng)編輯課件八 相空間與軌線 1. 不含自變量，只有未知函數(shù)構(gòu)成的空間成為