絕對(duì)值三角不等式

1、第二節(jié)絕對(duì)值不等式第1課時(shí)絕對(duì)值三角不等式【課標(biāo)要求】1理解定理1及其幾何說(shuō)明，理解定理2.2會(huì)用定理1、定理2解決比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題【核心掃描】1含絕對(duì)值不等式的兩個(gè)性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用(重點(diǎn))2含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題或最值問(wèn)題(難點(diǎn))1絕對(duì)值的幾何意義如圖(1)，|a|表示數(shù)軸上 到原點(diǎn)的距離如圖(2)，|ab|的幾何意義是 的距離自學(xué)導(dǎo)引坐標(biāo)為a的點(diǎn)A數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間2定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab| ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立|a|b|ab0試一試：證明：若a，b為實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|.提示|ab|a|b|ab|2(|a|b|)2(ab)2|a|22|a|b|b|2a22abb

2、2a22|a|b|b2ab|ab|.由ab|ab|知ab0，原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立3定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立想一想：定理2的幾何解釋是什么？提示在數(shù)軸上，a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|ac|ab|bc|；當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|ac|ab|bc|.(ab)(bc)01若兩實(shí)數(shù)x，y滿足xy0，那么總有()A|xy|xy| B|xy|xy|C|xy|x|y| D|xy|y|x|解析當(dāng)xy0時(shí)，|xy|x|y|，|xy|x|y|，因?yàn)閨x|y|x|y|，所以|xy|xy|.答案A基礎(chǔ)自測(cè)2對(duì)于

3、|a|b|ab|a|b|，下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，左邊等號(hào)成立B當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，右邊等號(hào)成立C當(dāng)ab0時(shí)，兩邊等號(hào)均成立D當(dāng)ab0時(shí)，右邊等號(hào)成立；當(dāng)ab0時(shí)，左邊等 號(hào)成立答案B3若|xa|h，|ya|k，則下列不等式一定成立的是()A|xy|2h B|xy|2kC|xy|hk D|xy|hk|答案C4已知h0，a，bR，命題甲：|ab|2h；命題乙：|a1|h且|b1|h，則甲是乙的_條件答案必要不充分【變式1】 證明：|xa|xb|ab|.證明|xa|xb|xa|bx|xabx|ba|ab|.|xa|xb|ab|.【變式2】 設(shè)f(x)x2-xc，|x-a|1求證：|f(x

4、)-f(a)|a對(duì)于對(duì)于xR均成立，則均成立，則a的取值范圍為的取值范圍為_(kāi)解析|x4|x5|4x|x5|4xx5|9.當(dāng)aa對(duì)于對(duì)于xR均成立，則均成立，則a的取值的取值范圍為范圍為_(kāi)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)4.2013|5|3|xxxaa變式 （重慶）如果關(guān)于 的不等式的解集是 ，求 的取值范圍本題若解集不是空集，a的范圍是多少？8a 課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)215. 2014|21|2|22xxaaxa變式（重慶）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題【例】

5、 已知不等式|x2|x3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為R；(3)若不等式解集為 .分別求出m的范圍思維啟迪 解答本題可以先根據(jù)絕對(duì)值|xa|的意義或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出|x2|x3|的最大值和最小值，再分別寫(xiě)出三種情況下m的范圍課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)解法一因|x2|x3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點(diǎn)P(x)與兩定點(diǎn)A(2)，B(3)距離的差即|x2|x3|PA|PB|.由圖象知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1；課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互

6、動(dòng)課堂講練互動(dòng)(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比|x2|x3|的最小值還小，即m1；(3)若不等式的解集為 ，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1.法二由|x2|x3|(x2)(x3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，即m1.(2)若不等式解集為R，即m1.(3)若不等式解集為 ，即m1.課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)變式2.(2011江西高考)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_(kāi)解析|x2y1|(x1)2(y1)| |x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y

7、1|的最大值為5.答案5課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)答案(1)A(2)A規(guī)律方法 |ab|a|b|，從左到右是一個(gè)放大過(guò)程，從右到左是縮小過(guò)程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值絕對(duì)值不等式是證明與絕對(duì)值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時(shí)還需要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问蛊浞辖^對(duì)值不等式的條件解析|f(x)g(x)|f(x)|g(x)|，若x0M，|f(x0)|g(x0)|a，故|f(x0)g(x0)|a，所以x0N.答案C方法技巧含絕對(duì)值的代數(shù)式的最值問(wèn)題【示例】 求函數(shù)f(x)|x3|x1|的最小值，并求出取最小值時(shí)x的范圍思路分析 恰當(dāng)變形，利用定理2轉(zhuǎn)化為定值解根據(jù)定

8、理2，f(x)|x3|x1|(x3)(x1)|2，當(dāng)且僅當(dāng)(x3)(x1)0，即x3或x1.所以當(dāng)x3或x1時(shí)，f(x)|x3|x1|最小值為2.方法點(diǎn)評(píng) (1)求含絕對(duì)值的代數(shù)式的最值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，直接求|a|b|的最大值比較困難，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0時(shí)，|a|b|ab|，ab0時(shí)，|a|b|ab|的定理，達(dá)到目的，其巧妙之處令人贊嘆不已(2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助絕對(duì)值的定義，即零點(diǎn)分段；利用絕對(duì)值幾何意義；利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理. 課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)規(guī)律方法 通過(guò)添一項(xiàng)、減一項(xiàng)的恒等變形，然后再進(jìn)行組合，構(gòu)造成能利用絕對(duì)值的三角不等式的形式是證明的關(guān)鍵課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng) 思維啟迪 利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行證明課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)規(guī)律方法 對(duì)于絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子，采用加減某個(gè)式子后，重新組合，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對(duì)值不等式的典型方法