一個圓柱表面最短路徑問題的解決

1、一個圓柱表面最短路徑問題的解決陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 （710062） 羅增儒 本文展示一個圓柱表面最短路徑問題的流行誤解和探索軌跡，并提供最終解決1 一個流行誤解的探索軌跡1-1 誤解的呈現(xiàn)有一個流行的誤解已經(jīng)引起了部分人們的注意，但還沒有被大家全都認(rèn)識，請看：例1 （文1 P6說）在講授平面展開圖時我設(shè)計(jì)了這樣一個題目：如圖1，一只圓筒的下方有一只小壁虎，上方有一只蚊子現(xiàn)在小壁虎要想盡快吃到蚊子，它應(yīng)該走哪條路徑？請你幫小壁虎設(shè)計(jì)一條路線，具體怎么操作呢 文1繼續(xù)說：“學(xué)生小組討論，自主合作，共同探討，鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)，充分肯定學(xué)生的積極參與性，讓學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)將圓筒沿著一條棱展開就可

2、得出解法的方法” 圖1文1沒有說學(xué)生具體怎么計(jì)算，但從圖形沒有出現(xiàn)上底直徑、展開沒有提到上下底等跡象可以猜測：學(xué)生的“探索發(fā)現(xiàn)”形同下面的例2（將圓筒沿著一條棱展開）例2 （2005年貴陽（課改）中考）如圖2，一圓柱體的底面周長為24，高為4，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短路程大約是（ ）（A）6 （B）12 （C）13 （D）16圖2 圖3 解 把圓柱體沿母線展開，得圖3所示的矩形，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程就是線段的長（路徑）因?yàn)榈拈L是底面圓的周長的一半12，高的長是4，所以在直角中，由勾股定理得（cm）答案選（C）這種處理對嗎？我們說，如果這正是例1學(xué)生“小組討論，自主合作，共同

3、探討”得出的方法的話，那么師生們就全都陷進(jìn)了“流行的誤解”，而教師則還沒有盡到指導(dǎo)的責(zé)任（也可能是沒有看清“表面”與“側(cè)面”的微小區(qū)別）1-2 誤解的剖析首先指出，上述例1、例2的處理中有三個“化歸”是很好的：化歸1：把一個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題； 化歸2：把一個空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；化歸3：把一個平面問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形（用到兩點(diǎn)之間直線距離最短）但是，在把空間圖形展平時沒有注意到由點(diǎn)到點(diǎn)有兩類路徑：路徑1：只走側(cè)面展平后，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟牲c(diǎn)之間直線距離最短”；路徑2：既走側(cè)面又走底面，走側(cè)面時，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟牲c(diǎn)之間直線距離最短”；走底面時，也走“兩點(diǎn)之間的直線距離”這時，要用到底面的展平，并

4、且底面展平有多樣性“流行的誤解”就在于只看到第一類路徑，沒有看到第二類路徑（邏輯漏洞1），更沒有看到第二類路徑的多樣性（邏輯漏洞2，參見下文的討論）如圖4，將圓柱的側(cè)面展開為矩形、上底面展開為母線上方的圓，由“兩點(diǎn)之間直線距離最短”可以得到兩條直線距離： 第一條，如例2所述，是沿側(cè)面展平后的直線距離，有第二條，是先沿側(cè)面走母線，然后走圓的直徑，展平后有由于，所以比更小例2的答案是錯誤的 圖4那么，是不是任何情況下都有呢？請看反例例3 如圖2，一圓柱體的底面周長為16，高為4，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短路程是 解 如圖4，沿用例2的解法，有 ， ，但，所以那么，什么時候小、什

5、么時候小呢？1-3 誤解的流行“解決”考慮更一般性的情況例4 如圖2，一圓柱體的底面周長為，高為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程解 如圖4，沿用例2的解法，有 ， 分三種情況討論：（1）（2）（3）記常數(shù)為，可見，與的大小關(guān)系有三種情況：當(dāng)時，沿側(cè)面爬行的路程最短，為；當(dāng)時，先豎直向上爬到的正上方，再沿直徑爬到點(diǎn)的路程最短，為；當(dāng)時，兩種爬行方式的路程一樣看上去，這種討論已經(jīng)很細(xì)致了，文2進(jìn)行到這里時，“教室響起了熱烈的掌聲”誤認(rèn)為問題已徹底解決的類似認(rèn)識在文3等處也可以看到，然而，這依然有邏輯的漏洞為什么只有這兩條路徑呢？ 1-4 誤解的繼續(xù)探索事實(shí)上，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著

6、圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的路徑，除了以上兩種之外，還存在無窮多條從到的路徑如圖5所示：，其中是側(cè)面上的最短距離（側(cè)面展平后的直線距離），是上底面兩點(diǎn)之間的直線距離，、也有可能三點(diǎn)共線文4清楚看到了這一點(diǎn)，也列出了相關(guān)函數(shù)式（以為自變量）， 但由于“涉及到一些較復(fù)雜的函數(shù)”，故僅“采用幾何畫板進(jìn)行輔助探究”，“無法代替”證明 圖5以上，就是人們對圓柱表面最短路徑的認(rèn)識軌跡（限于個人所見，疏漏在所難免），本文的目的是在簡要展示的基礎(chǔ)上，繼續(xù)完成理論證明2 最短路徑的的理論解決2-1 建立函數(shù)關(guān)系如圖6，考慮例4設(shè)圓心角，則，展平后，為圓與矩形的切點(diǎn)，為折線，在直角中，有，在中用余弦定理，有 ，得的長度

7、為（的函數(shù)） ，（）當(dāng)時，當(dāng)時，下面，我們來討論的最值圖62-2 求導(dǎo)數(shù)令當(dāng)時，對求導(dǎo)，有令，并連續(xù)變形，有 ， ， 在展開（即式）的討論之前，我們先來認(rèn)識式的幾何意義，如圖7所示， 圖7首先，在等腰中，由外角定理有 其次，在中，由，可得 又由與矩形的邊（）相切知，得 ， 即三點(diǎn)共線可見，三點(diǎn)共線2-3 的討論分兩種情況討論：（1）當(dāng)時把式變?yōu)橛刹坏仁剑ǎ┲?，得為減函數(shù)，當(dāng)時，取最小值 （2）當(dāng)時易知（）為增函數(shù)，且值域?yàn)?，故存在，使，即存在，使又?dāng)時，有，且 ，函數(shù)在上為增函數(shù)當(dāng)時，有，且 函數(shù)在上為減函數(shù)可見，時，函數(shù)取極大值，也是上的最大值 所以，時函數(shù)的最小值為 對此再分三種情況討論：（1）當(dāng)時，有，得； （2）當(dāng)時，有，得； （3）當(dāng)時，有，得 2-4 函數(shù)最小值的結(jié)論綜合、得：（1）當(dāng)時，的最小值為；（2）當(dāng)時，最小值為；（3）當(dāng)時，最小值為此處的結(jié)果與§1-3相同，但邏輯路徑不一樣參考文獻(xiàn)1 蘇嘉玲初一數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意“首因效應(yīng)”，防止厭學(xué)、棄學(xué)情緒的產(chǎn)生與蔓延基于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的初步研究中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011，102