midas gts理論分析_1

1、第一篇 MIDAS/GTS的分析功能 第一篇 MIDAS/GTS的分析功能巖土分析(geotechnical analysis)與一般的結(jié)構(gòu)分析(structural analysis)有較大差異。一般的結(jié)構(gòu)分析注重荷載的不確定性，所以在分析時(shí)會(huì)加載各種荷載，然后對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行各種組合，最后取各組合中最不利的結(jié)果進(jìn)行設(shè)計(jì)。巖土分析注重的是施工階段和材料的不確定性，所以決定巖土的物理狀態(tài)顯得格外重要。在巖土分析中應(yīng)盡量使用實(shí)體單元真實(shí)模擬圍巖的狀態(tài)、盡量接近地模擬巖土的非線性特點(diǎn)以及地基應(yīng)力狀態(tài)(自應(yīng)力和構(gòu)造應(yīng)力)、并且盡量真實(shí)地模擬施工階段開挖過程，這樣才會(huì)得到比較真實(shí)的結(jié)果。 優(yōu)秀的巖土分析

2、程序應(yīng)能真實(shí)地模擬現(xiàn)場(chǎng)條件和施工過程，并應(yīng)為用戶提供更多的材料模型和邊界條件，讓用戶在做巖土分析時(shí)有更多的選擇。MIDAS/GTS不僅具有巖土分析所需的基本分析功能，并為用戶提供了包含最新分析理論的強(qiáng)大的分析功能，是巖土和隧道分析與設(shè)計(jì)的最佳的解決方案之一。 MIDAS/GTS中提供的的分析功能如下：A. 靜力分析 (static analysis)線彈性分析 (linear elastic analysis)非線性彈性分析 (nonlinear elastic analysis)彈性分析 (elastoplastic analysis)B. 施工階段分析 (construction stag

3、ed analysis)C. 滲流分析 (seepage analysis)穩(wěn)定流分析 (steady state seepage analysis)非穩(wěn)定流分析 (transient state seepage analysis)D. 滲流-應(yīng)力耦合分析 (seepage stress analysis)E. 固結(jié)分析 (consolidation analysis)排水/非排水分析 (drained/undrained analysis)固結(jié)分析 (consolidation analysis)F. 動(dòng)力分析 (dynamic analysis)特征值分析 (eigenvalue anal

4、ysis)反應(yīng)譜分析 (response spectrum analysis)時(shí)程分析 (time history analysis)1. 靜力分析 (Static Analysis)靜力分析是指結(jié)構(gòu)不發(fā)生振動(dòng)狀態(tài)下的分析，一般來說外部荷載的頻率在結(jié)構(gòu)的基本周期的1/3以下時(shí)可認(rèn)為是靜力荷載。靜力分析的類型如下：A. 線彈性分析 (linear elastic analysis)B. 非線性彈性分析 (nonlinear elastic analysis)C. 彈塑性分析 (elastoplastic analysis)1.1 線彈性分析巖土分析中的線彈性分析是將圍巖材料視為線彈性，分析其在靜

5、力荷載下的響應(yīng)。巖土材料的線彈性階段僅發(fā)生在荷載加載初期應(yīng)變非常小時(shí)。線彈性分析不考慮破壞將應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想化為直線，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單方便。從理論上說，有限元方程式的表現(xiàn)形式是基于虎克(Hooke)法則的線彈性方程式，非線性分析或彈塑性分析也可以按線彈性方程式的形式進(jìn)行求解計(jì)算。從1990年開始，在實(shí)際設(shè)計(jì)中才開始大量使用非線性分析和彈塑性分析。其原因是非線性分析和彈塑性分析的收斂計(jì)算需要較長(zhǎng)的時(shí)間，無論從硬件還是從軟件上都還不能滿足實(shí)際設(shè)計(jì)的需要。隨著計(jì)算機(jī)分析速度的提高以及分析技術(shù)的發(fā)展，為非線性分析和彈塑性分析在實(shí)際設(shè)計(jì)中的應(yīng)用提供了可能。但是線彈性分析以其特有的計(jì)算效率在非線性特點(diǎn)不是很

6、明顯的材料的分析中，作為初步分析還在大量使用。 土木領(lǐng)域的大部分問題可以概括為兩個(gè)問題，一個(gè)是“結(jié)構(gòu)在給定的荷載作用下是否安全？”，一個(gè)是“結(jié)構(gòu)到完全破壞前的變形有多大？”。為了獲得地基的變形需要地基的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，但是眾所周知巖土材料的本構(gòu)關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，與材料的構(gòu)成、孔隙比、應(yīng)力歷程以及加載方式均有關(guān)系。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，為了便于計(jì)算會(huì)將巖土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)化成一些理想化的本構(gòu)關(guān)系。雖然僅用彈性模量和泊松比的變化來描述巖土特性不是很準(zhǔn)確，但是對(duì)模擬一些特定的巖土材料還是非常有效的。在此要注意的是對(duì)彈性模量的定義。一般來說，經(jīng)常使用的彈性模量包括切線模量(Tangent modulus)和割線

7、模量(secant modulus)。完全線彈性材料的切線模量和割線模量相同，但是在巖土等非線性材料中一般使用的是所關(guān)心的應(yīng)力范圍內(nèi)的割線模量，并將其稱為變形模量(deformation modulus)。MIDAS/GTS的線彈性分析(linear static analysis)中使用的基本方程中的平衡方程式(equilibrium equation)如下。 (1.1)且: 結(jié)構(gòu)物的剛度矩陣 (stiffness matrix): 位移向量 (displacement vector): 荷載向量(load vector)或不平衡力向量(unbalanced force vector)通過平

8、衡方程式求得位移向量。這樣已知荷載和剛度計(jì)算位移的方法叫位移法 (displacement method)。利用求得的位移通過變形協(xié)調(diào)方程(compatibility equation)可以得到應(yīng)變，然后通過本構(gòu)方程(constitutive equation)可獲得應(yīng)力。模型發(fā)生變形時(shí)，模型內(nèi)部的任意點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y, z)將移動(dòng)到新的坐標(biāo)(x+u, y+v, z+w)位置。單元不是剛體時(shí)，位移向量(u, v, w)在單元內(nèi)部是連續(xù)變化的，這種變化可以用x、y、z坐標(biāo)的函數(shù)來表現(xiàn)。如下圖所示，任意空間上分別具有微小長(zhǎng)度dx、dy、 dz的三個(gè)具有方向的纖維(fiber)在變形后具有新的方向

9、。圖 1.1 位移(u, v, w)的定義 (1.2)在彈性材料上施加單軸應(yīng)力時(shí)，將產(chǎn)生軸向應(yīng)變。 (1.3)且 ,: x, y, z軸向應(yīng)變: 彈性模量: 泊松比施加剪切應(yīng)力時(shí)，剪切應(yīng)變的計(jì)算公式如下。 (1.4)且，是剪切模量(shear modulus)。剪切模量與彈性模量、泊松比的關(guān)系如下。 (1.5)巖土材料的體積變形率如下： (1.6)且， (1.7)所以體積模量 K (bulk modulus) 可使用下面公式表示。 (1.8)在巖土上使用體積彈性模量K(bulk modulus)和剪切模量G(shear modulus)的概念雖然不是很準(zhǔn)確，但是比E和n表現(xiàn)得更簡(jiǎn)單更明確，使用

10、起來更方便。下圖說明的是K和G的物理意義。xzconditionAccording to the loading of the stress incrementAccording to the magnitude compressionConfined compressionIsotropic Simple shearUniaxial loading=es11ddseseDDSecant modulusTangent moduluseStrainStresszszeYoungs moduluszzEse=xztxzgShear moduluszzEse=0sBulk moduluszxzxKt

11、t=Constrained moduluszzMy圖1.2 Various Types of modulus在左右邊界被約束的狀態(tài)下正常發(fā)生變形時(shí)，可計(jì)算出側(cè)限模量(constrained modulus)。特別是當(dāng)時(shí)，水平方向應(yīng)力和側(cè)限模量的關(guān)系如下。 (1.9) (1.10)通過現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)可以得到上述各種彈性模量中的一個(gè)，通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換后可以應(yīng)用到實(shí)際設(shè)計(jì)當(dāng)中。一維固結(jié)的邊界條件與計(jì)算側(cè)限模量時(shí)的邊界條件相同，所以側(cè)限模量與軟弱地基的一維固結(jié)特性密切相關(guān)。下面的表1.1中整理了側(cè)限模量和各種一維固結(jié)特性參數(shù)的關(guān)系式。表 1.1 固結(jié)特性參數(shù)和側(cè)限模量的關(guān)系與固結(jié)相關(guān)的參數(shù)與的關(guān)系coeffi

12、cient of volume change, 體膨脹系數(shù)coefficient of compressibility, 壓縮系數(shù)compression index, 壓縮指數(shù)表 1.2 巖石以及其他材料的彈性模量和泊松比巖土材料彈性模量 (tonf/m2)泊松比閃巖(Amphibolite)9.412.1 ´1060.280.30硬石膏(Anhydrite)6.8 ´1060.30輝綠巖(Diabase)8.711.7 ´1060.270.30閃長(zhǎng)巖(Diorite)7.510.8 ´1060.260.29白云石(Dolomite)11.012.1 &

13、#180;1060.30純橄欖巖(Dunite)14.918.3 ´1060.260.28含長(zhǎng)石的片麻巖(Feldspathic gneiss)8.311.9 ´1060.150.20輝長(zhǎng)巖(gabbro)8.911.7 ´1060.270.31花崗巖(granite)7.38.6 ´1060.230.27冰(ice)7.1 ´1060.36石灰石(limestone)8.710.8 ´1060.270.30大理石(marble)8.710.8 ´1060.270.30云母片巖(mica Schist)7.910.1

14、80;1060.150.20黑曜石(obsidian)6.58.0 ´1060.120.18奧長(zhǎng)巖(oligoclasite)8.08.5 ´1060.29石英巖(quartzite)8.29.7 ´1060.120.15巖鹽(rock salt)3.5 ´1060.25板巖(slate)7.911.2 ´1060.150.20鋁(aluminum)5.57.6 ´1060.340.36鋼(steel)20.0 ´1060.280.29表1.2中的彈性模量是采用無裂紋的小的試驗(yàn)體在實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)獲得的完整巖(intact roc

15、k)的彈性模量。所以考慮現(xiàn)場(chǎng)條件，要考慮尺寸效應(yīng)、巖體內(nèi)的不連續(xù)性等因素應(yīng)采用折減后的彈性模量。圖1.3是各種巖石質(zhì)量指標(biāo)RQD(Rock Quality Designation)對(duì)應(yīng)的彈性模量實(shí)測(cè)值圖形。RQD是指10cm以上長(zhǎng)度的巖心累計(jì)的鉆孔長(zhǎng)度比。即使RQD為100%也不能視為完整巖，但是RQD值越高，巖石品質(zhì)越好。風(fēng)化越嚴(yán)重，巖石的RQD越低。圖 1.3 RQD與彈性模量折減率(EL/EM)的關(guān)系由上圖可知，RQD為70%時(shí)，實(shí)驗(yàn)室的彈性模量就要折減20%。三維條件下，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下： (1.11)將上述矩陣求逆得 (1.12)且，即 (1.13) (1.14)且， 變形協(xié)

16、調(diào)方程的矩陣如下: (1.15)且， (1.16)1.2. 非線性彈性分析巖土分析中的非線性彈性(nonlinear elastic)和彈塑性(elastoplastic)材料特性均屬于材料非線性分析。所謂材料非線性是指應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的非線性。非線性彈性材料是指材料的彈性特性隨分析結(jié)果而變，其代表為像鄧肯-張模型(Duncan-Chang model)這樣的雙曲線模型(hyperbolic model)。該模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為雙曲線形狀，基床系數(shù)是地基的約束 (confinement)應(yīng)力和剪切應(yīng)力的函數(shù)。非線性材料模型的參數(shù)可以通過三軸試驗(yàn)或文獻(xiàn)中較為容易地獲得，所以被應(yīng)用于很多研究當(dāng)中，

17、但是其缺點(diǎn)是不能考慮破損后的剛度降低。圖 1.4 引自: Duncan-Chang model 應(yīng)力-應(yīng)變曲線1.3. 彈塑性分析地基分析也可以概括為對(duì)判斷在已知荷載作用下“地基具有多少安全度”的問題和“地基可以發(fā)生多大的變形”的問題。如果說線彈性分析是分析變形能力 (deformability)，則彈塑性分析則是同時(shí)分析穩(wěn)定性(stability)和變形能力。地基的穩(wěn)定性一般由剪切強(qiáng)度決定，變形能力由彈性特性和剪切特性決定。荷載作用大于地基的剪切強(qiáng)度時(shí)地基將產(chǎn)生塑性區(qū)域，隨著塑性區(qū)域的發(fā)展最后達(dá)到破壞狀態(tài)。但是不能說產(chǎn)生了塑性區(qū)域結(jié)構(gòu)就一定不穩(wěn)定，因?yàn)楸粡椥詤^(qū)域包圍的塑性區(qū)域 (confin

18、ed yield zone)不能生成破壞面，這樣的局部破壞不一定會(huì)發(fā)展成為整體破壞。使用荷載作用下產(chǎn)生的累加位移計(jì)算得應(yīng)變包括彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。 (1.17)且，: 總應(yīng)變: 彈性應(yīng)變: 塑性應(yīng)變?cè)谟?jì)算公式中將要使用的基本概念如下： 塑性變形的屈服標(biāo)準(zhǔn) (yield criteria) 定義塑性變形用的流動(dòng)法則 (flow rule) 變形硬化的硬化法則 (hardening rule)1.3.1. 屈服標(biāo)準(zhǔn)定義彈性區(qū)域的邊界的屈服函數(shù)(或者荷載函數(shù))F如圖1.5所示。 (1.18)且，: 當(dāng)前的應(yīng)力: 等效(equivalent)或有效(effective)應(yīng)力: 的硬化因子: 等效(eq

19、uivalent)塑性應(yīng)變塑性理論中屈服函數(shù)的值為正的應(yīng)力狀態(tài)是不存在的。產(chǎn)生屈服時(shí)，塑性變形逐漸累加直到屈服函數(shù)減少到零時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)要不斷修正。這樣的過程叫塑性修正(plastic corrector)階段或蛻化映射(return mapping)。圖 1.5 關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則與奇異點(diǎn)1.3.2 流動(dòng)準(zhǔn)則使用圖1.5的流動(dòng)準(zhǔn)則定義塑性變形。 (1.19)且， : 塑性變形的方向: 定義塑性變形大小的塑性系數(shù)函數(shù)g為“塑性勢(shì)能(plastic potential)”，一般使用應(yīng)力不變量(stress invariant)定義。另外，塑性勢(shì)能函數(shù)g與屈服函數(shù)F相同時(shí)，即g=F時(shí)稱為“關(guān)聯(lián)流動(dòng)(ass

20、ociated flow)準(zhǔn)則”，gF時(shí)稱為“非關(guān)聯(lián)流動(dòng)(non-associated flow) 準(zhǔn)則”。MIDAS/GTS的所有材料模型使用關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則，即塑性應(yīng)變向量垂直于屈服面，所以上面公式可以使用下面公式表現(xiàn)。 (1.20)如圖1.5所示在圖中角點(diǎn)或平面上，產(chǎn)生不能確定塑性流動(dòng)的方向的奇異點(diǎn)(singular point)，對(duì)這些點(diǎn)需要做特殊處理。 1.3.3 本構(gòu)方程標(biāo)準(zhǔn)塑性本構(gòu)方程(constitutive equation)形成步驟如下。應(yīng)力由應(yīng)變變化率向量的彈性部分決定，即 (1.21)且， : 彈性剛度矩陣應(yīng)力始終要在屈服面上，所以要滿足下面的協(xié)調(diào)條件(consistenc

21、y condition)。微小的應(yīng)變變化率如下： (1.22)使用完全牛頓-拉普森(Newton-Raphson)迭代計(jì)算時(shí)，使用協(xié)調(diào)剛度矩陣(consistent stiffness matrix)會(huì)加快收斂速度。 (1.23)且， 1.3.4 應(yīng)力積分應(yīng)力積分使用顯式前進(jìn)歐拉方法和隱式后退歐拉方法。A. 顯示前進(jìn)歐拉方法(explicit forward euler algorithm with sub-incrementation) B. 隱式后退歐拉方法 (implicit backward euler algorithm) (a) 交點(diǎn)A的位置(b) 由A沿切向移動(dòng)到C后修正到D圖1

22、.6 顯式前進(jìn)歐拉方法圖1.7 顯式前進(jìn)歐拉方法的子增分(sub-incrementation)圖1.8 隱式后退歐拉方法顯式方法中塑性流動(dòng)的方向是在交叉點(diǎn)，即彈性應(yīng)力增量穿過屈服面的點(diǎn)(圖1.6的A)計(jì)算的，而隱式方法是在最終應(yīng)力點(diǎn)(圖1.8的B)上計(jì)算的。顯式方法相對(duì)簡(jiǎn)單且直接對(duì)應(yīng)力積分，即不必在高斯點(diǎn)(gauss point)反復(fù)迭代計(jì)算，但也有下列缺點(diǎn)。 在一定條件下才能穩(wěn)定。 為了滿足準(zhǔn)確度，在修正應(yīng)力過程中需要子增量積分。 為了修正偏離屈服面的程度需要使用人為回歸方法。另外，使用該方法不能構(gòu)成協(xié)調(diào)剛度矩陣(consistent stiffness matrix)。但是隱式方法不必使

23、用子增量或人為回歸方法也可以得到較為精確的結(jié)果，并且與給定的條件無關(guān)相對(duì)穩(wěn)定。但是隱式方法需要在高斯點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)迭代計(jì)算。使用隱式方法可以構(gòu)成協(xié)調(diào)剛度矩陣，使用Newton-Raphson方法計(jì)算，也可以提高迭代計(jì)算的效率。(1) 顯式前進(jìn)歐拉方法的步驟Step-1 : 計(jì)算應(yīng)變?cè)隽俊?(1.24)且，: 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系行列式: 位移的變化量 Step-2 : 計(jì)算假定為彈性變形的彈性應(yīng)力(圖1.6(a)的B點(diǎn))。 (1.25)公式(1.25)和(1.26)的角標(biāo)參見圖1.6。Step-3 : 計(jì)算得到的應(yīng)力在屈服面以內(nèi)時(shí)，則完成應(yīng)力修正；如果在屈服面外則根據(jù)塑性變形回歸到屈服面。 Step-4

24、 : 計(jì)算交叉應(yīng)力。彈性應(yīng)力的增量可分為容許應(yīng)力增量和不容許的應(yīng)力增量，交叉應(yīng)力使用下面公式計(jì)算(參見圖1.6(a)的A點(diǎn))。 (1.26)Step-5 : 屈服后應(yīng)力點(diǎn)在屈服面上移動(dòng)，可使用m個(gè)不允許的應(yīng)力增量近似模擬(參見圖1.7)。子增量的數(shù)量與誤差的大小有關(guān)，使用下面公式計(jì)算。 (1.27)Step-6 : 最終應(yīng)力狀態(tài)不在屈服面上時(shí)，使用人為回歸方法移動(dòng)到曲面上(參見圖1.7的E點(diǎn))。 (1.28)注意: 屈服面的形狀使用各子增量的結(jié)束點(diǎn)使用硬化法則修正。 卸載(unloading)時(shí)假設(shè)為彈性。(2) 隱式后退歐拉法則的步驟隱式方法使用下面公式計(jì)算最終應(yīng)力，角標(biāo)參見圖1.8。 (1

25、.29)公式中C點(diǎn)是未知點(diǎn)，使用Newton Raphson方法反復(fù)迭代計(jì)算。任意向量為當(dāng)前的應(yīng)力與后退歐拉應(yīng)力間的差。 (1.30)反復(fù)迭代計(jì)算的目的是將向量減少到接近于零，最終應(yīng)力應(yīng)滿足屈標(biāo)準(zhǔn)。將假定的彈性應(yīng)力按臺(tái)勞(Taylor)級(jí)數(shù)展開。 (1.31)且， : 的變化量: 的變化量將上式設(shè)為零，解，得下面公式。 (1.32)將屈服函數(shù)使用臺(tái)勞展開，得 (1.33)且，: 有效塑性應(yīng)變。由此可得(公式1.34)，進(jìn)一步可計(jì)算最終應(yīng)力。 (1.34)1.3.5 非線性方程的迭代計(jì)算方法 在前面已經(jīng)講述了線性分析的有限元平衡方程式。但是當(dāng)材料為非線性時(shí)，整體剛度矩陣將變成非線性，需要使用反復(fù)

26、迭代計(jì)算方法解非線性方程式。一般來說，非線性分析就是查找荷載作用下的結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。在任意階段i的平衡問題可歸納為公式(1.35)。 (1.35)且，: 節(jié)點(diǎn)不平衡力: 外部荷載: 由單元應(yīng)力計(jì)算的內(nèi)力: 節(jié)點(diǎn)位移迭代過程從假設(shè)的平衡狀態(tài)開始分析，不平衡力()視為零，外部荷載()是已知的外部荷載，內(nèi)力()從單元應(yīng)力計(jì)算而得。利用公式(1.35)反復(fù)迭代計(jì)算，最后獲得收斂解。解非線性方程式的方法有很多，MIDAS/GTS中提供了初始剛度法(constant stiffness method)和Newton-Raphson。(1) 初始剛度法 使用彈性初始剛度解方程式。節(jié)點(diǎn)位移的反復(fù)計(jì)算公式如下:

27、 (1.36)或者 (1.37)在j階段的第i次迭代過程中計(jì)算的位移如下： (1.38)第一次生成整體剛度矩陣后計(jì)算其逆矩陣，每次迭代中僅反復(fù)計(jì)算不平衡節(jié)點(diǎn)力和反復(fù)使用公式(1.37)。該方法使用初始剛度矩陣，所以收斂速度較慢。但是收斂性較好且迭代速度也較快。迭代計(jì)算過程參見圖1.9。圖1.9 初始剛度法(Constant Stiffness Method)MIDAS/GTS中使用的是既保留了初始剛度法的收斂性好和快速的迭代計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，又加快了收斂速度的由托馬斯(Thomas)建議的修正的加速法(acceleration with modified Thomas method)。該方法中的第i

28、次迭代的位移增量公式如下: (1.39)且，: 當(dāng)前階段中到第i次迭代計(jì)算總的位移增量。: 當(dāng)前迭代計(jì)算的彈性位移增量。不平衡方程式如下： (1.40)且，: 第i次迭代計(jì)算時(shí)的不平衡力。: 彈塑性剛度其中項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是由位移得到的內(nèi)力的增量。如公式(1.41)切線剛度矩陣可分為彈性和塑性成分。 (1.41)同樣可將公式(1.39)分解為彈性和塑性成分。 (1.42)重新整理塑性位移增量如下： (1.43)將公式(1.43)代入(1.42)得到如下公式: (1.44)將公式(1.39)和(1.44)組合得到如下公式： (1.45)對(duì)公式(1.45)使用最小自乘法，則可得到與修正的托馬斯加速因子相同

29、的下面的公式。 (1.46)使用修正的托馬斯加速法的收斂速度比一般的初始剛度法快五倍以上，但是穩(wěn)定性要低一些。(2) Newton-Raphson 法Newton-Raphson法是將公式(1.35)象下面公式那樣迭代計(jì)算。 (1.47)且，i是迭代次數(shù)。某j階段的迭代過程使用的初始位移為上一階段(j-1階段)結(jié)束時(shí)的位移。公式(1.47)的微分表達(dá)式如下： (1.48)且，= 切線剛度矩陣。針對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的迭代計(jì)算公式如下：或第j階段的第i次迭代計(jì)算的位移結(jié)果如下：(1.49)Newton-Raphson方法中的剛度矩陣與荷載-位移曲線相切，并在每次迭代過程中均要修正。該過程參見圖1.10。要

30、注意的是該方法不能做應(yīng)變軟化材料的分析，應(yīng)使用初始切線剛度法。為了容易收斂，MIDAS/GTS中的初始剛度始終使用彈性剛度。圖1.10 Newton-Raphson MethodMIDAS/GTS中為了提高Newton-Raphson方法的收斂性和穩(wěn)定性使用線搜索(line search)選項(xiàng)。該選項(xiàng)是計(jì)算最小總勢(shì)能(total potential)將位移優(yōu)化從而提高收斂的方法。使用該選項(xiàng)時(shí)首先使用Newton-Raphson 方法計(jì)算如下的位移增量。 (1.50)在此，是迭代計(jì)算中得到的切線剛度矩陣。位移修正公式如下： (1.51)且，: 修正的位移。: 前階段結(jié)束時(shí)的位移。簡(jiǎn)單迭代方法中的

31、常量為1。使用線搜索功能時(shí)，該常量就是變量迭代步驟長(zhǎng)度(step length)?？倓?shì)能的計(jì)算公式如下： (1.52)在此，對(duì)勢(shì)能中的位移的微分與不平衡力向量相同。為了得到總勢(shì)能在特定的值下最小的條件，將上面公式(1.52)重新整理如下： (1.53)為了有常解需要滿足如下條件: (1.54)在此，和為常數(shù)，所以是的函數(shù)。對(duì)于初始狀態(tài)，常數(shù)的計(jì)算公式如下： (1.55)在穩(wěn)定狀態(tài)下是正數(shù)，是負(fù)數(shù)。所以線搜索就是查找將成為零的最小的值。由于使用準(zhǔn)確的線搜索功能的效率不是很高，一般使用將的系數(shù)取比的系數(shù)較小的值的比較寬松的線搜索。 即 (1.56)反復(fù)迭代計(jì)算，當(dāng)滿足上述條件時(shí)停止計(jì)算。(3) 收

32、斂標(biāo)準(zhǔn) MIDAS/GTS中的收斂標(biāo)準(zhǔn)有位移收斂標(biāo)準(zhǔn)、不平衡力收斂標(biāo)準(zhǔn)、不平衡能量收斂標(biāo)準(zhǔn)。迭代計(jì)算過程中滿足規(guī)定的收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，就會(huì)自動(dòng)進(jìn)行下一步分析。三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)均使用向量的歐幾里德范數(shù)(euclidean norm)表示。向量范數(shù)是向量大小的標(biāo)志，按下列公式計(jì)算。(1.57)且，: 向量的范數(shù)(norm): 向量的第i個(gè)成分: 向量中的成分?jǐn)?shù)量。位移收斂標(biāo)準(zhǔn)是到第i次迭代計(jì)算中的位移增量范數(shù)與第i次迭代計(jì)算前的位移增量范數(shù)的比值作為收斂標(biāo)準(zhǔn)。(1.58)且，: 用戶定義的位移收斂標(biāo)準(zhǔn)限值。: 第k次迭代計(jì)算得到的位移增量。不平衡力收斂標(biāo)準(zhǔn)是當(dāng)前階段迭代計(jì)算的不平衡力范數(shù)與當(dāng)前階段使用的外力范數(shù)

33、的比值作為收斂標(biāo)準(zhǔn)。(1.59)且，: 用戶定義的不平衡力收斂標(biāo)準(zhǔn)限值。: 第i次迭代計(jì)算得到的不平衡力范數(shù): 當(dāng)前階段使用的外力范數(shù)2. 施工階段分析2.1 施工階段分析概要巖土分析一般來說是材料非線性分析，材料的非線性特性可從巖土的初始條件獲得。所謂初始條件是指施工前的現(xiàn)場(chǎng)條件，也叫原場(chǎng)地條件。其中原場(chǎng)地應(yīng)力最具代表性。一般來說獲得原場(chǎng)地的應(yīng)力條件后，由此可得挖掘荷載、象莫爾-庫(kù)侖這樣的材料的剪切強(qiáng)度。然后在原場(chǎng)地條件下按施工順序進(jìn)行全施工階段分析。現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際施工階段非常復(fù)雜也經(jīng)常發(fā)生變化，施工階段分析一般是將其簡(jiǎn)化取比較重要的施工階段進(jìn)行分析。隧道的施工階段例子如下： 原場(chǎng)地應(yīng)力(自重應(yīng)

34、力+構(gòu)造應(yīng)力)開挖第一段支護(hù)第一段 + 開挖第二段支護(hù)第二段 + 開挖第三段支護(hù)第三段 + 開挖第四段 (重復(fù)) 使用MIDAS/GTS做施工階段分析時(shí)可以考慮的事項(xiàng)如下：A. 施工階段模擬單元的添加和刪除(激活和鈍化)荷載的添加和刪除(激活和鈍化)邊界條件的變化 材料特性的變化B. 地下水分析各施工階段的穩(wěn)定流分析各施工階段的非穩(wěn)定流分析D. 滲流-應(yīng)力場(chǎng)耦合分析利用滲流分析得到的孔隙水壓力進(jìn)行應(yīng)力分析。程序中默認(rèn)單元、荷載、邊界的變化均發(fā)生在施工階段的開始步驟(first step)，所以當(dāng)實(shí)際施工過程中有這些條件的變化時(shí)，要把該變化時(shí)刻定義為一個(gè)施工階段。也就是說，結(jié)構(gòu)的變化越多，要定義

35、的施工階段也就越多。在任意階段添加(激活)的單元不受前面階段作用的荷載或應(yīng)力影響，也就是說新添加的單元在激活階段時(shí)的內(nèi)部應(yīng)力為零。將荷載釋放系數(shù)為100%的單元?jiǎng)h除(鈍化)時(shí)，鈍化掉的單元的內(nèi)部應(yīng)力將全部分配給留下的其他單元，從而引起剩余單元的應(yīng)力發(fā)生變化。與此相反，將荷載釋放系數(shù)為0%的單元?jiǎng)h除(鈍化)時(shí)，鈍化掉的單元的內(nèi)部應(yīng)力將不分配給剩余的單元。 適當(dāng)調(diào)整荷載釋放系數(shù)，可以調(diào)整分配給剩余單元的應(yīng)力，從而可以比較真實(shí)地模擬應(yīng)力釋放的過程。 隧道分析中一般不是一次性完全釋放挖掘單元的應(yīng)力，而是隨著噴錨支護(hù)階段逐漸釋放。此時(shí)可指定在不同施工階段的荷載釋放系數(shù)。MIDAS/GTS的施工階段分析采

36、用的是累加模型，即每個(gè)施工階段都繼承了上一個(gè)施工階段的分析結(jié)果，并累加了本施工階段的分析結(jié)果。也就是說上一個(gè)施工階段中結(jié)構(gòu)體系與荷載的變化會(huì)影響到后續(xù)階段的分析結(jié)果。添加單元和荷載時(shí)，只需添加本階段增加的單元和荷載。 2.1.1 巖土單元的添加 施工階段分析中添加的單元的初始應(yīng)力狀態(tài)為零。結(jié)構(gòu)上將增加相當(dāng)于單元自重的荷載。添加后的巖土單元的處理方式將與結(jié)構(gòu)單元相同。2.1.2 刪除巖土單元 巖土單元在刪除前處于受力狀態(tài)。假如刪除單元周邊作用有荷載時(shí)，剩下的單元應(yīng)通過適當(dāng)?shù)膽?yīng)力釋放，使新生成的自由面不受應(yīng)力的作用。如圖1.11所示，將物體A從物體B中刪除。刪除前各物體的應(yīng)力分別為和 ，考慮了生成

37、該應(yīng)力的所有荷載。兩個(gè)物體處于平衡狀態(tài)，所以為了與保持平衡荷載應(yīng)由物體A作用在物體B。同樣荷載應(yīng)作用在物體A。因此，作用在某邊界上的挖掘荷載與挖掘的單元的應(yīng)力狀態(tài)以及這些單元的自重相關(guān)?？啥x下面公式: (1.60)且，: 應(yīng)變-位移關(guān)系矩陣: 挖掘體積: 單元形函數(shù): 巖土的容重圖1.11 刪除單元: 荷載分配示意圖2.1.3 荷載釋放系數(shù) 將三維模型簡(jiǎn)化為二維模型以及簡(jiǎn)化三維模型的施工階段時(shí)，一般使用荷載釋放系數(shù)模擬刪除單元后各施工階段的效果。MIDAS/GTS中可指定任意階段的荷載釋放系數(shù)，例如從開挖連續(xù)三個(gè)施工階段中的應(yīng)力釋放比例假定為40%、30%、30%，在MIDAS/GTS中的開

38、挖階段中可分別定義0、1、2階段的荷載釋放系數(shù)為0.4、0.3、0.3(參見圖1.12)。32圖1.12 輸入荷載釋放系數(shù)對(duì)話框2.1.4 位移初始化(清零) 在施工階段分析過程中有時(shí)要將位移清零。例如初始地應(yīng)力作為初始的荷載條件其位移應(yīng)為零。MIDAS/GTS中可以任意指定階段做位移初始化，這樣在需要事先做一些分析(比如地應(yīng)力的計(jì)算、滲流)后再清零的施工階段分析中非常實(shí)用.2.1.5 巖土材料特性的變化在施工階段分析過程中，有時(shí)會(huì)對(duì)地基進(jìn)行加固或換土處理，巖土材料有時(shí)會(huì)隨時(shí)間發(fā)生硬化等。在施工階段分析中遇到這樣的問題時(shí)需要更換材料的特性. MIDAS/GTS對(duì)施工過程中修改材料特性的次數(shù)沒有

39、限制。更換材料特性對(duì)前面分析階段的結(jié)果沒有影響。352.1.6 初始自重應(yīng)力初始自重應(yīng)力的計(jì)算方法有兩種。(1) 水平側(cè)壓力系數(shù)法給定水平側(cè)壓力系數(shù)K0按下面公式計(jì)算初始自重應(yīng)力(公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范 JTJ D70-2004的附錄J)。 (a) (b)公式中，、: 豎直方向和水平方向的初始自重地應(yīng)力。 ：計(jì)算點(diǎn)以上第i層巖石的重度。 : 計(jì)算點(diǎn)以上第i層巖石的厚度。 : 計(jì)算點(diǎn)的孔隙水壓力。在不考慮水頭變化的情況下，由計(jì)算點(diǎn)的靜水壓力確定。即(為地下水 的重度，為地下水的水位差)。在計(jì)算過程中忽略剪切應(yīng)力。當(dāng)?shù)孛鏋樗矫鏁r(shí)，使用該方法沒有問題。但是當(dāng)?shù)孛娌皇撬矫鏁r(shí)，使用該方法計(jì)算得到的應(yīng)力狀態(tài)

40、不能和自重形成平衡狀態(tài)。為了形成平衡狀態(tài)，應(yīng)使用自重和上面計(jì)算的應(yīng)力狀態(tài)的內(nèi)力差(不平衡力)進(jìn)行分析。該階段可使用沒有任何變化的空階段(null stage)進(jìn)行分析。(2) 有限元法采用有限元法計(jì)算自重引起的初始應(yīng)力。當(dāng)?shù)孛嫠綍r(shí)，該方法時(shí)的水平側(cè)壓力系數(shù)法的結(jié)果相同。但是當(dāng)?shù)孛娌皇撬綍r(shí)，因?yàn)榇嬖谒椒较虻膽?yīng)變，所以計(jì)算的結(jié)果與水平側(cè)壓力系數(shù)法不相同且具有剪切應(yīng)力。一般來說地面不是水平面時(shí)使用該方法較好一些。但是有限元法不能計(jì)算K0大于1的情況，所以當(dāng)K0大于1時(shí)可使用水平側(cè)壓力系數(shù)法計(jì)算，為了滿足地應(yīng)力與自重的平衡可利用空階段(null)進(jìn)行分析。3. 滲流分析(Seepage Anal

41、ysis)本節(jié)中將介紹MIDAS/GTS中使用的滲流分析方法、步驟和一些技術(shù)內(nèi)容。3.1 穩(wěn)定流分析 穩(wěn)定流分析(steady-state seepage analysis)是指巖土內(nèi)部和外部的邊界條件不隨時(shí)間變化的分析，在分析區(qū)域內(nèi)的流入量和流出量始終保持不變。非穩(wěn)定流分析(transient seepage analysis)即時(shí)使用穩(wěn)定的邊界條件，流入量和流出量也隨著時(shí)間發(fā)生變化。當(dāng)存在含水土層(aquifer)，區(qū)域內(nèi)邊界上存在水頭差(head difference)或存在流量 (flux)時(shí)，就會(huì)發(fā)生滲流現(xiàn)象。 滲流(seepage flow)是沿著巖土內(nèi)部的粒子間孔隙流動(dòng)的，一般遵

42、循達(dá)西(Darcy)定律。在穩(wěn)定流條件下通過巖土體積的滲透流量是滲透系數(shù)、水力坡降以及橫斷面積的之間的乘積。達(dá)西定律雖然是研究飽和狀態(tài)的，但同樣可適用于非飽和狀態(tài)的。非飽和區(qū)域泛指從完全干燥狀態(tài)到完全飽和狀態(tài)的區(qū)域。飽和度在100%以下時(shí)，土壤顆粒之間的孔隙除了水以外還存在空氣，飽和度非常低時(shí)水珠將以凹狀附著在土壤顆粒間。 隨著飽和度的降低，孔隙水壓因?yàn)楸砻鎻埩Φ挠绊懼饾u發(fā)展成張力，所以將負(fù)的孔隙水壓(negative pore pressure)也稱為吸入壓力(suction pressure)，一般來說飽和度越低，吸入壓力越大。3.2 非穩(wěn)定流分析 非穩(wěn)定流分析(transient see

43、page analysis)的內(nèi)部和外部邊界隨時(shí)間發(fā)生變化。 非穩(wěn)定流分析與穩(wěn)定流分析的區(qū)別除了邊界條件隨時(shí)間的變化外，非穩(wěn)定流分析中使用體積含水率(volumetric water content)，以及與地下水位的變化速度密切相關(guān)的非飽和區(qū)域的含水率和孔隙率。比較土壩在干燥狀態(tài)下蓄水(water filling of reservoir)與具有一定含水率狀態(tài)下的蓄水時(shí)可知兩種狀態(tài)下土壩內(nèi)部滲流達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間有較大差異。3.3 流動(dòng)法則 MIDAS/GTS中使用的流動(dòng)法則為達(dá)西定律，單位面積的滲透流量公式如下： (1.61)且，: 單位面積的滲透流量: 滲透系數(shù): 水力坡降達(dá)西定律起源于飽和

44、土的滲透分析中，后來推廣到非飽和土的滲透分析上。兩種狀態(tài)土的區(qū)別是非飽和土的透水系數(shù)不是常數(shù)，而是間接地隨著孔隙水壓的變化而變。達(dá)西法則也可以用下面公式表示。 (1.62)其中，是達(dá)西速度，水在土壤中流動(dòng)時(shí)，實(shí)際平均速度是達(dá)西速度除以土的孔隙率。3.4 基本方程式在MIDAS/GTS中的流動(dòng)基本方程式如下: (1.63)其中，: 總水頭: x方向的滲透系數(shù): y方向的滲透系數(shù): z方向的滲透系數(shù): 流量: 體積含水率: 時(shí)間該方程假定在任意位置、任意時(shí)刻微小體積的流入和流出的變化量與體積含水率的變化量相同。簡(jiǎn)單地說，x、y、z方向的流量變化與流量之和與體積含水率的變化相同。上述基本方程表現(xiàn)的是

45、非穩(wěn)定流的滲透方程，而穩(wěn)定流狀態(tài)中流入和流出量隨時(shí)間沒有變化，所以公式右邊為零。 (1.64)體積含水率的變化依賴于應(yīng)力狀態(tài)的變化和土特性的變化。飽和非飽和狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)使用和兩個(gè)參數(shù)表現(xiàn)。此處是全應(yīng)力，孔隙大氣壓力，是孔隙水壓力。MIDAS/GTS的滲流分析在假定總應(yīng)力不變的情況下進(jìn)行的，即土壤本身沒有加載和卸載。因?yàn)闆]有加載，所以在非穩(wěn)定流流動(dòng)過程中孔隙大氣壓力是不變的，也就是說 是常量，對(duì)體積含水率的變化沒有影響，所以體積含水率僅與的變化有關(guān)，因?yàn)槭浅Ａ?，所以體積含水率的變化僅與孔隙水壓的變化相關(guān)。體積含水率的變化與孔隙水壓變化的關(guān)系如下： (1.65)其中 是阻流系數(shù)。另外，全水頭可視

46、為壓力水頭和位置水頭的和。 (1.66)其中，: 全水頭: 孔隙水壓: 水的容重: 標(biāo)高重新整理公式(1.65)，得下面公式。 (1.67)將公式(1.67)代入公式(1.65)，得下面公式。 (1.68)將公式(1.68)代入公式(1.63)，得下面公式。 (1.69)標(biāo)高一定時(shí)，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)函數(shù)為零，變成下面的方程是。 (1.70)3.5 有限元方程使用加重殘差(weighed residual)的伽遼金(Galerkin)法表現(xiàn)基本方程的有限元方程式如下。(1.71)其中，: 動(dòng)水坡度矩陣: 單元滲透系數(shù)矩陣: 節(jié)點(diǎn)水頭向量: 形函數(shù)向量: 單元邊的單位重量: 非穩(wěn)定流的阻流項(xiàng): 隨時(shí)間變

47、化的水頭在MIDAS/GTS的二維分析中認(rèn)為所有單元的厚度都相同。所以二維有限元方程式可簡(jiǎn)化為如下公式。(1.72)其中，是單元厚度。將有限元方程用簡(jiǎn)化方式表現(xiàn)如下： (1.73)其中， : 單元特性軍陣 = : 質(zhì)量矩陣 = : 流量向量 = 公式(1.73)是非穩(wěn)定流分析的基本的有限元方程式。穩(wěn)定流分析的水頭不隨時(shí)間變化，所以MH,t項(xiàng)將消失，公式變成如下形式。 (1.74)3.6 時(shí)間積分非穩(wěn)定流分析的有限元解是時(shí)間的函數(shù)，時(shí)間的積分可使用有限差分方法。有限元方程式使用有限差分法表達(dá)如下： (1.75)其中，: 時(shí)間增量: 0-1之間的比值。: 時(shí)間增量結(jié)束時(shí)的水頭: 時(shí)間增量開始時(shí)的水

48、頭: 時(shí)間增量結(jié)束時(shí)的節(jié)點(diǎn)流量: 時(shí)間增量開始時(shí)的節(jié)點(diǎn)流量: 單元特性矩陣: 單元質(zhì)量矩陣MIDAS/GTS使用后退差分法(backward difference method)，該方法的取1.0。非穩(wěn)定流分析的有限元方程式的為1.0，所以 (1.75a)由公式(1.75)可知，要計(jì)算時(shí)間增量的最終階段的水頭，必須要知道開始階段的水頭。一般來說非穩(wěn)定流分析必須要給出初始條件。434. 滲流-應(yīng)變耦合分析(Coupled Analysis)地下水的滲透現(xiàn)象是由滲透區(qū)域周邊邊界的水頭差或流量邊界引起的。地下水流動(dòng)過程中，因?yàn)樗屯寥李w粒之間的摩擦?xí)a(chǎn)生滲透力(seepage force)，由此會(huì)產(chǎn)

49、生位移和應(yīng)力。滲透力與對(duì)孔隙水壓的積分相同。在MIDAS/GTS中利用滲流分析中計(jì)算得到的孔隙水壓力(pore water pressure)計(jì)算滲透力的效果?？紫端畨菏菍⒃跐B流分析中得到的全水頭(total head)中減去位置水頭(elevation head)而得的壓力水頭(pressure head)與水的容重相乘而得的。一般來說滲透力集中在全水頭大小變化較大的流出邊界的臨近區(qū)域。這樣的區(qū)域的約束壓力較小，抗剪強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度都相對(duì)較小，所以對(duì)砂土地基做考慮滲透壓的有效應(yīng)力(effective stress)分析時(shí)，地基很容易破壞。所以說滲透應(yīng)力耦合分析在砂土類地基的穩(wěn)定性分析(anal

50、ysis for stability) 中是非常重要的。4.1 有效應(yīng)力地基的孔隙水壓會(huì)影響總的應(yīng)力。根據(jù)太沙基(Terzaghi)原理，總應(yīng)力()可分為有效應(yīng)力()和孔隙水壓力( )。 水不能承受剪切應(yīng)力，所以有效剪切應(yīng)力與總的剪切應(yīng)力相等。即總應(yīng)力的表達(dá)式如下: (1.76)孔隙水壓力可區(qū)分為穩(wěn)定狀態(tài)孔隙水壓()和過孔隙水壓()。 (1.77)穩(wěn)定狀態(tài)的孔隙水壓可從地下水分析的結(jié)果由地下水面的高度生成。過孔隙水壓由非排水材料的應(yīng)力計(jì)算中產(chǎn)生。由此相關(guān)的過孔隙水壓的計(jì)算將在后面的非排水分析中說明。4.2 耦合分析的基本方程由小位移的虎克法則可得下面的公式。 (1.78)其中是有效材料特性值。在公式(1.77)中穩(wěn)定狀態(tài)成分的微分為零，所以可得下面的公式。 (1.79)使用公式(1.76)和(1.79)可得下面公式。 (1.80)465. 固結(jié)分析(Consolidation Analysis)5.1 排水/非排水分析排水/非排水分析是分析滲透速度(seepa