1第一講向量的線性運算及相關性-+-第二講向量的共線與共面

1、2021/8/141高等代數(shù)與解析幾何郭 求 知 2021/8/142數(shù)學專業(yè)基礎課程介紹解析幾何高等代數(shù)數(shù)學分析高等代數(shù)與解析幾何數(shù)學分析群論初步（數(shù)論初步）多項式理論間等）線性代數(shù)（包括歐氏空高等代數(shù)2021/8/143高等代數(shù)與解析幾何目錄：高等代數(shù)與解析幾何目錄：第一章 向量代數(shù)第二章 行列式第三章 線性方程組與線性子空間第四章 矩陣的秩與矩陣的運算第五章 線性空間與歐幾里得空間第六章 幾何空間的常見曲面第七章 線性變換第八章 線性空間上的函數(shù)第九章 坐標變換與點變換第十章 一元多項式與整數(shù)的因式分解第十一章 多元多項式第十二章 多項式矩陣與若爾當?shù)浞缎?021/8/144 高等代數(shù)與

2、解析幾何是我校數(shù)學專業(yè)必修的一門專業(yè)課，本課程的特點是將高等代數(shù)與解析幾何融為一門課程。 代數(shù)中的許多概念非常抽象，幾何為抽象的代數(shù)提供了直觀想象的空間，代數(shù)為幾何提供了便利的研究工具。代數(shù)與幾何的融合能加強我們對數(shù)與形內(nèi)在聯(lián)系的理解，學會用代數(shù)的方法處理幾何問題。課程定位：課程定位： 本課程的教學注重認識和理解現(xiàn)實生活中的“線性模型”；領會“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系；掌握高等代數(shù)的核心內(nèi)容，即：線性方程組的解的存在條件、解的結(jié)構，求解方法及線性方程組的幾何背景；矩陣在處理離散、線性的問題中所起的作用與所扮演的角色；二次型的幾何背景、化簡及應用。 通過本課程的教學，要能夠比較系統(tǒng)地理解代數(shù)與幾何

3、的基本概念和基本理論，掌握基本方法。逐步培育邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力及綜合運用所學的知識分析和解決問題的能力，為學好后續(xù)課程打下堅實的基礎。2021/8/145第一章第一章 向量代數(shù)向量代數(shù)1.向量的概念及線性運算向量的概念及線性運算2.向量的共線與共面向量的共線與共面3.向量的坐標表示向量的坐標表示4.向量組相關性的基本概念向量組相關性的基本概念5.向量的內(nèi)積、外積、混合向量的內(nèi)積、外積、混合本章內(nèi)容地位：預備知識本章內(nèi)容地位：預備知識2021/8/146第一講第一講 向量的線性運算及線性相關性簡介向量的線性運算及線性相關性簡介1.向量定義向量定義：向量的模向量的模：一一.

4、向量的概念向量的概念（模又稱為長度或范數(shù)）模又稱為長度或范數(shù)）.ABaABa或既有大小又有方向的量.向量的表示向量的表示：ABaBA或為終點的有向線段為起點，以例：例：向量的大小.2021/8/147ABCDEFMNABEFM NC D 分 析 ： AB,EF,MN,CD表 示 不 同 的 有 向 線 段 ，但 向 量=表 示 同 一 個 向 量 。 2.向量與有向線段的聯(lián)系與區(qū)別向量與有向線段的聯(lián)系與區(qū)別（1）.向量只側(cè)重其表示的大小和方向。 即：向量只關注其終點關于起點的相對位置，而不考慮這兩點的具體位置。（2）.同一個向量可以用無數(shù)個有向線段來表示。 即：向量可以在空間自由地平移例：20

5、21/8/1483.幾個特殊的向量幾個特殊的向量長度為0的向量。記為： 或0.0（1）零向量：注意：零向量的方向是任意的。（2）負向量：稱與向量 大小相同但方向相反的向量為 的負向量。記作： aaa（3）單位向量： 模（長度）為1的向量。（4）相同的向量： 指大小相等，方向相同的向量。2021/8/149二二.向量的線性運算向量的線性運算三角形和平行四邊形法則：baabbacabbac1. 向量的加法向量的加法(addition)注：注：n個向量相加的多邊形法則多邊形法則：naaa21向量的減法：( ).a b ab 2021/8/14102. 向量的數(shù)乘（標量乘法向量的數(shù)乘（標量乘法 sca

6、lar multiplication）注：注：向量的加法和向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算向量的線性運算.|00.kakakak akaka義：實數(shù) 與向量 的標量乘積是一個向量，當時它的方向與 相同，當時方向與 相反定2021/8/14111.,30.a b cabc例設是互不共線的 個向量。試證明順次將它們的終點與始點相連接成一個三角形的充分必要條件是：ABCabc2021/8/14123, , .,6.a b cA B C D E FAB CDEF 已知平行六面體 條棱的向量分別為是 條棱的中點求證向量， ，能構成三角形例2.abcABCDEF0ABCDEF 分析：只要證明2021/8/1

7、413三三.向量線性相關性基本概念向量線性相關性基本概念121211221212121122,.,.,nnnnnnnnna aak kkbk ak ak aa aaba aak kkk ak ak a 義 ：設是一組向量，是一組實數(shù)則：(1).稱向量為向量組的線組并稱向量 可以由向量組線(2).如果存在一組不全為零的實數(shù),使得：1.定1性合性表示12120,.:0,nina aakkkk 成立,則稱向量組線關反之，如果滿足上式的數(shù) 只可能為則稱此向量組線無關性相性.問題問題：若向量組中有一個零向量，則向量組的相關性如何？2021/8/1414線性相關。，則向量組線性相關，若向量組ntttaaa

8、aaaa1121,).1 (線性無關。則向量組線性無關，若向量組tnttaaaaaaa,).3(2111.).2(定線性相關含有零向量的向量組一個向量一定線性相關維向量空間中任意1).4(nn2.向量線性相關性的性質(zhì)向量線性相關性的性質(zhì)即：部分相關，則整體相關。即：整體無關，則部分無關。2021/8/1415第二講第二講 向量的共線與共面向量的共線與共面一一. 向量共線或共面的概念和性質(zhì)向量共線或共面的概念和性質(zhì)1.定義定義：一組向量是共線或共面的是指把他們表示成具有相同始點的有向線段后，這些線段是共線或共面的。/ /.( 2 )ababaa 注 : ( 1 )向 量與共 線 , 則 表 示

9、它 們 的 有 向 線 段一 定 平 行 ( 重 合 ) , 記 作零 向 量 與 任 意 向 量 共 線 ， 與 k共 線 .2.向量共線的判定與性質(zhì)向量共線的判定與性質(zhì),0,.aba bkbka題如 果與共 線 并 且不 全 為則 存 在 唯 一 的 實 數(shù)使 得(1)命2.1,0.abk mkambab題兩個向量和共線存在不全為零的實數(shù)使:向量和線性相關.(2)命2.2,0ab問 題 ： 去 掉 命 題 中 的 條 件不 全 為呢 ？2021/8/1416,a b問 題 ： 怎 樣 判 斷 向 量不 共 線 呢 ？0,0.abkambk mkmab推論2.3：向量 和 不共線滿足的數(shù)只能

10、是向量 和線性無關(2)3.向量共面的判定與性質(zhì)向量共面的判定與性質(zhì),.ca bckamba b c題如果向量 能被向量線性表示，即則共面(1).命2.4akabbmcmb解析：2021/8/1417, ,.a b ca bca b題如果共面，且不共線，則 可以由線性表示，并且表示方式是唯一的(2).命2.5,)()000.ckambk am bkkammbabkkmm證明：唯一性：若則有:(由 與不共線可知:，, ,00, ,.a b ckamblca b c向量共面的判定方法：向量共面存在不全為 的常數(shù),使:向量組線性相關(3).,abc問 題 ： 怎 樣 判 斷 向 量不 共 面 呢 ？

11、,0,0.,a b ckam blck m lkmla b c 推 論 ：向 量不 共 面滿 足的 數(shù)只 能 是向 量線 性 無 關2021/8/1418空間中的點與向量的對應關系空間中的點與向量的對應關系在空間中取一個點O(稱為原點)，規(guī)定所有向量的起點都是原點O，這樣的向量稱為位置向量?？?間 的 自 由 向 量 集 合空 間 位 置 向 量 集 合空 間 點 的 集 合1)(2)問 題 :(這 種 對 應 關 系 的 意 義 ？任 意 兩 個 位 置 向 量 都 線 性 無 關 ？. 0,. 1,:21212121kkABMkkOBkOAkOMkkABM上的充分必要條件是位于線段而且且使

12、得：在實數(shù)上的充分必要條件是存在直線點證明例2.1位置向量位置向量:2021/8/1419.)1),(100:)(OBmOAmOMOAOBmOAOMOmABmAMmABABAM（即有：點，上式可化為對于任意取定的，使：存在實數(shù)，共線，與向量如圖，.1,:)(2221212121ABkOAOBkOAkkOBkOAkOAOMAMkkOBkOAkOM）（）（）（則且若例例2.1證明：證明：ABOM2021/8/1420. 1,3:321321321kkkOCkOBkOAkOMkkkABCMCBA且使得：數(shù)充分必要條件是存在實上的位于平面點個點對于不在同一直線上的練習：證明.,0)()()(0,:)(

13、OCnmlnOBnmlmOAnmllOMOMOCnOMOBmOMOAlOMCnMBmMAlnmlMCMBMA即有：點，上式可化為對于任意取定的使：存在實數(shù)共面，向量如圖，證：. 1,:)(3232321321321321ACkABkOCOAkOBOAkOCkOBkOAkOAkkkOMOAMAkkkOCkOBkOAkOM）（）（）（）（則且2021/8/1421二二. 線性流形線性流形（linear manifold)1. 線性流形的概念線性流形的概念2. 線性流形的特征線性流形的特征:”直直”和和”平平”張成的線性流形。稱為點的點構成的集合且我們把滿足關系式對于空間的點nnnnnnAAAALMkkOAkOAkOMAAA,),(1,1111121。一定在這個線性流形內(nèi)線內(nèi)任意兩個點確定的直線性流形特征),(:1).1 (1nAALM1,),(),(,:21221121121121mmOMmOMmOMMMMAALM