指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)小結(jié)及習(xí)題

1、.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù).指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)運(yùn)算法則：（1） ar asar s； （2） arsars ； （ 3） abrar br ；mn am ；（ ）（ 4） a n5 a2. 指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)0<a<1m1a na , n奇n（6） nn a m| a |, n 偶a>1圖象表達(dá)式y(tǒng)ax定義域R值 域(0,)過定點(diǎn)(0,1)單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增;.【基礎(chǔ)過關(guān)】類型一：指數(shù)運(yùn)算的計(jì)算題此類習(xí)題應(yīng)牢記指數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算法則， 注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化， 在根式運(yùn)算或根式與指數(shù)式混合運(yùn)算時(shí)，將根式化為指數(shù)運(yùn)算較為方便1、526的平方根是 _2、 已知 an

2、2 ， amn16 ，則 m 的值為( )A 3B 4C a3D a6b(ab)1a22abb23、化簡b a的結(jié)果是()A、 aabB 、 aba C 、b aaD、 2bb a a41a 38a 3b(1 23b)22a4、已知 a0.001 ，求： a 32 3 ab4b 3=_x 111335、已知 x3 ，求（ 1） x2x 2=_（ 2）x 2x 2=_6、若 xyx y22 ，其中 x1, y0 ，則 xyxy_類型二：指數(shù)函數(shù)的定義域、表達(dá)式指數(shù)函數(shù)的定義域主要涉及根式的定義域， 注意到負(fù)數(shù)沒有偶次方根； 此外應(yīng)牢記指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù) ya f ( x) 的定義域與 f

3、( x) 的定義域相同11、若集合 A= x y 31 x,B= x s2 x 1, 則 A B_2、如果函數(shù)yf (x) 的定義域是 1,2 , 那么函數(shù) y f (2 1 x ) 的定義域是 _;.13、下列函數(shù)式中，滿足f(x+1)=2 f(x) 的是()1x1x1C、 2xD、 2 xA、 2B、46234、若 4a4a 11 2 a ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( )A 、 a211D 、任意實(shí)數(shù)B 、 aC、 a22類型三：復(fù)合函數(shù)形如a2 xb axc 0的方程，換元法求解12函數(shù) ya f ( x) 的定義域與f (x) 的定義域相同先確定 f (x) 的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值

4、域，單調(diào)性，可確定ya f ( x) 的值域3涉及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)弄清函數(shù)是由那些基本函數(shù)符合得到的，求出復(fù)合函數(shù)的定義域，然后分層逐一求解內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意“同增異減”（ 1）外函數(shù)是二次函數(shù)，內(nèi)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)1、求函數(shù)y2 3x9x1 的值域2、當(dāng)1x0 時(shí)，函數(shù) y2x 23 4x 的最大值是 _ ，最小值是 _113、已知 x-3,2 ，求 f(x)= 4x 2x 1的最大值是 _，最小值是 _（ 2）外函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，內(nèi)函數(shù)是二次函數(shù)12 x2 8x 1(-3 x 1 ) 的值域是 _，單調(diào)遞增區(qū)間是 _1、函數(shù) y=( 3 )12、已知函數(shù) y=(

5、 3 ) x2 2x5 ，求其單調(diào)區(qū)間 _ 及值域 _類型四：奇偶性的判定利用奇偶性的定義，注意計(jì)算過程中將根式化為分式指數(shù)冪后通分;.1、函數(shù) f ( x) (1a x ) 2a x是( )A 、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、非奇非偶函數(shù) D 、既奇且偶函數(shù)a x11)2、已知函數(shù) f(x)=a x( a1(1) 判斷函數(shù)的奇偶性；(2) 求該函數(shù)的值域；(3) 證明 f(x) 是 R 上的增函數(shù)。a 2xa 2R)3、設(shè) a R,f(x)=2x( x1，試確定 a 的值，使 f(x)為奇函數(shù)類型五：分類討論思想在指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用1、已知 a0 ，且 a1，解不等式 ax2 6a5x2、已知 f(x)

6、=a2 x2 3x 1,g(x)= a x2 2 x 5(a 0 且 a 1), 確定 x 的取值范圍 , x1 使得 f(x)g(x).;.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算：1、互化： abNblog a N2、恒等： alog a NN3、換底： loga blog cblog ca推論 1 loga b1推論 2 log a b log b c log a clog ban n推論 3log a m blog a b (m0)m4、 log a MNlog a Mlog a Nl o g Ml o Mgl No gaNaa5、 log a M nn log aM2 對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函0<

7、a<1a>1數(shù)圖象表達(dá)式y(tǒng) log a x定義域(0, )值 域R過定點(diǎn)(1， 0)單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增【基礎(chǔ)過關(guān)】類型一：對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算此類習(xí)題應(yīng)牢記對(duì)數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算法則，注意常用對(duì)數(shù)：將以 10 為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，記為lg N12自然對(duì)數(shù)：以 e=2.71828 為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，記為ln N3零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，且 log a1 0, log a a 1;.21 lg 0.811 lg 0.0081、 (1)、23(2)、 lg 22lg 2lg 9lg 5 lg 20(3)、 log 4 3log 8 3(log 3 5log 9 5) (log 5 2log 2

8、5 2)2、已知log a x 2 , log b x 3 , log c x 6 求 log abc x 的值類型二：指數(shù)，對(duì)數(shù)的混合運(yùn)算指數(shù)函數(shù) ya x (a0,a1) 與對(duì)數(shù)函數(shù)ylog a x(a0,a1) 的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=a xy=log a xa0<a<1a>10<a<1a>1圖yyyyx=1x=11y=11y=1aaxaaO 1O 1x象O1xO1x定義域(-,+)(0,+)值 域(0,+)(- ,+)過定點(diǎn)(0,1) ，即 x =0 時(shí)， y=1.(1,0) ，即 x=1 時(shí)， y=0.y值區(qū)域x<0 時(shí)， y>1;x<

9、;0 時(shí),0<y<1;0<x<1 時(shí),y>0;0<x<1 時(shí),y<0;x>0時(shí)， 0<y<1.x>0 時(shí)， y>1.x>1 時(shí)， y<0.x>1 時(shí)， y>0.單調(diào)性在(-,+)內(nèi)是在(- ,+)內(nèi)是在(0,+)內(nèi)是在 (0,+)內(nèi)是減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù);.1、若 log a 2m,log a 3n, 則 a3m 2n_2、若 a 1且 0b 1，則不等式 alogb ( x 3) 1的解集為 _3、已知 3a5bA,且 112 ，則 A 的值是 _ab4、已知 3a2，那么 log 3

10、82log 3 6 用 a 表示是 ()A、 a 2B、 5a 2C、3a (1 a)2D、 3a a2【能力提升】類型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與解析式注意復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，形如yf g ( x) 的復(fù)合函數(shù)可分解為基本初等函數(shù)y f (u),u g( x) ，分別確定這兩個(gè)函數(shù)的定義域。y1(2x)log 11、函數(shù)2的定義域是 _f (log 3 ( x5 )2 x 2，則 f (0) =_2、已知23、已知 f ( x 6 )log 2 x ，那么 f (8) =_類型四：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域注意復(fù)合函數(shù)的值域的求法，形如y f g (x) 的復(fù)合函數(shù)可分解為基本初等函數(shù)yf (u),ug(

11、 x) ，分別確定這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域。ylog1 (x26x 17)1. 函數(shù)2的值域是 _1，函數(shù) f ( x)log ax 在區(qū)間 a, 2a 上的最大值與最小值之差為12.設(shè) a2 ，則a =_3. 函數(shù) f ( x)a xlog a (x 1) 在 0,1 上最大值和最小值之和為a ，則 a 的值為_類型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性y lg xylog 1( x23x 2)的單調(diào)遞增區(qū)間是 _; 函數(shù)2的遞增1、函數(shù)區(qū)間是 _;.2、下列各函數(shù)中在（0， 1）上為增函數(shù)的是()ylog 1 ( x1)B. ylog2x2 1A.2ylog 31ylog 1 ( x24x 3)C.

12、xD.3ylg213、函數(shù)1x的圖像關(guān)于()A 、 x 軸對(duì)稱B、 y 軸對(duì)稱C、原點(diǎn)對(duì)稱D 、直線 yx 對(duì)稱f ( x) lgx21 x是（奇、偶）函數(shù)。4、函數(shù)f ( x)10x10 x，判斷 f ( x) 的奇偶性和單調(diào)性。5、已知函數(shù)10x10 x類型六：對(duì)數(shù)中的不等關(guān)系比較同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大??；比較兩個(gè)同真數(shù)的對(duì)數(shù)值的大小1、設(shè) alog 0.7 0.8blog 2 0.9clog 4 5 ，則 a, b, c 的大小關(guān)系是 _2、設(shè) alg e, b(lg e)2 , clge, 則 a, b, c 的大小關(guān)系是 _3、如果log31m 5，那么 m 的取值范圍是 _4、如果

13、 log a 3log b 30 ，那么 a,b 的關(guān)系是()A.0 a b 1B. 1 a bC. 0 b a 1D. 1 b a5、已知 log a ( x21)log a (2 x4) 0 ，則不等式解集為 _6、若 f ( x)log ax在 2,) 上恒有 f ( x)1 ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _類型七：其它題型（奇偶性，對(duì)數(shù)方程，抽象函數(shù)）f (x)lg(2a)f ( x) 0 的 x 的取值范圍是 _1、設(shè)1x是奇函數(shù)，則使;.Ax log2x 2 , B ( , a)B 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( c,) ，2、已知集合，若 A其中 c = _.3、若 x1 滿足 2x

14、+2x =5,x2 滿足 2x+2 log 2( x 1) =5,x1 + x2 ()57A. 2B.3C. 2D.4冪函數(shù)一、冪函數(shù)圖象的作法：根據(jù)冪函數(shù)yxk 的定義域、奇偶性，先作出其在第一象限的圖象，再根據(jù)其奇偶性作nn出其他象限的圖形 . 如果冪函數(shù)的解析式為 yx m 或 yx m （ m 、 nN ，m 2 ， m 、n 互質(zhì)）的形式，先化為ym x n ，或 y1的形式，再確定函數(shù)的定義域、奇偶性、m x n單調(diào)性等性質(zhì)，從而能比較準(zhǔn)確地作出冪函數(shù)的圖象.二、冪函數(shù)圖象的類型：（共有 11 種情況）kkn0 knkn011mmm奇函數(shù)m 、n 都是奇數(shù)yyy-1-1-1o 1x

15、o 1xo 1x13y=x-53y=x5y=x3;.偶函數(shù)m 是奇數(shù)，n 是偶數(shù)非奇非偶函數(shù)m 是偶數(shù)，n 是奇數(shù)三、冪函數(shù)圖象特征：.yyy-1-1-1o 1xo 1xo 1x224-y=x3y=x3y=x3yyy-1-1-1o 1xo 1xo 1x113-y=x2y=x2y=x2（ 1）當(dāng) k 0 時(shí)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象為凹的曲線；（2）當(dāng) k0 時(shí)，圖象是一條不包括點(diǎn)（0，1）的直線；（ 3）當(dāng) 0 k 1 時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象單調(diào)遞增，圖象為凸的曲線；（ 4）當(dāng) k 1 時(shí)，圖象是一、三象限的角平分線；yy=x（5）當(dāng) k1 時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象單調(diào)遞增，圖象為凹的曲

16、線.y=x o (x0)-1o（6）冪函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限；o1x（7）當(dāng) k0 時(shí)，冪函數(shù)yxk 的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（ 1， 1）（8）如果冪函數(shù)yx k 的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，則k0；;.（9）如果冪函數(shù) y x( 1) p nm （ m 、 n 、 p 都是正整數(shù)，且 m 、 n 互質(zhì)）的圖象不經(jīng)過第三象限，則 p 可取任意正整數(shù)，m 、 n 中一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù) .四、冪函數(shù)典型問題：1概念問題：【例 1】 1已知冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，則冪函數(shù)_【變式】當(dāng) m 為何值時(shí)，冪函數(shù)y=(m2-5m+6)的圖象同時(shí)通過點(diǎn) (0，0)和 (1，1).2定義域問題：13【例

17、 2】函數(shù) y x 2x 5( x 2) 0 的定義域?yàn)椤咀兪健?.求函數(shù) y=的定義域 .3單調(diào)性問題：33【例 3】已知 (a 3) 5(1 2a) 5，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .;.【變式 1】討論函數(shù)的單調(diào)性 .【變式 2】討論函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性4圖象問題：【例 4】若函數(shù) yx m2 2m 3 (m Z ) 的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y 軸對(duì)稱，求函數(shù)f ( x) 的解析式 .【例 5】利用函數(shù)的圖象確定不等式的解集：（1）不等式x2 (x 1) 的解集為31（2）不等式 x 4x3 的解集為說明： 先在同一坐標(biāo)系中作出不等式兩邊函數(shù)的圖象，并確定交點(diǎn)的坐標(biāo)， 從而能較容易地寫出不等式的解集5函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱、翻折變換問題：說明： 很多較復(fù)雜函數(shù)的圖象，都是通過將下列函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、對(duì)稱、翻折變換而得到y(tǒng)1 ； y1 ； yk (k0, k 1) ； yk (k 0, k 1)xxxx;.【例 6】作出下列函數(shù)的大