小學(xué)奧數(shù)專題28 不規(guī)則圖形面積計算

1、 競博教育 073182392751規(guī)則圖形面積計算（1）我們曾經(jīng)學(xué)過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形.我們的面積及周長都有相應(yīng)的公式直接計算.如下表：實際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應(yīng)用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形。那么，不規(guī)則圖形的面積及周長怎樣去計算呢？我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，問題就能解決了。一、例題與方法指導(dǎo)例1如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10

2、厘米和12厘米.求陰影部分的面積。思路導(dǎo)航：陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面積之和。例2如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積. 思路導(dǎo)航：ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，四邊形 AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形ABCD的。在ABE中，因為AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面積為2×2÷2=2。所以SAEF=S四邊形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。BC例3兩塊等腰直角三角

3、形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。思路導(dǎo)航：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，陰影部分面積=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例4如右圖，A為CDE的DE邊上中點，BC=CD，若ABC（陰影部分）面積為5平方厘米.求ABD及ACE的面積.思路導(dǎo)航：取BD中點F，連結(jié)AF.因為ADF、ABF和ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.ACD的面積等于15平方厘米，ABD的面積等于10平方厘米。又由于ACE與ACD等底、等高，所以ACE的面積是15平方厘米。二、鞏固訓(xùn)練1.如右圖

4、，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。解：過E作BC的垂線交AD于F。在矩形ABEF中AE是對角線，所以SABE=SAEF=8.在矩形CDFE中DE是對角線，所以SECD=SEDF。D2.如右圖，已知：SABC=1，AE=ED,BD=BC.求陰影部分的面積。解：連結(jié)DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3.如右圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？解：連結(jié)AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.SAGD=4

5、×4÷2=8，又DG=5，SAGD=AH×DG÷2，AH=8×2÷5=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。4.如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AED的面積是5平方米，BC=10米，求陰影部分面積.解：梯形面積=（上底+下底）×高÷2即45=（AD+BC）×6÷2，45=（AD+10）×6÷2，AD=45×2÷6-10=5米。ADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高減去ADE的高，即6-2=4米，5.如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平

6、行四邊形，證明它們的面積相等.證明：連結(jié)CE，ABCD的面積等于CDE面積的2倍，而 DEFG的面積也是CDE面積的2倍。 ABCD的面積與 DEFG的面積相等。（1） 不規(guī)則圖形面積計算（2）不規(guī)則圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規(guī)則圖形組合而成的，這是一類更為復(fù)雜的不規(guī)則圖形，為了計算它的面積，常常要變動圖形的位置或?qū)D形進行適當?shù)姆指睢⑵囱a、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，同時還常要和“容斥原理”（即：集合A與集合B之間有：SABSASb-SAB）合并使用才能解決。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.如右圖，在一個正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三

7、個半圓.求陰影部分的面積。解法1：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到右圖.這時，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。解法2：將上半個“弧邊三角形”從中間切開，分別補貼在下半圓的上側(cè)邊上，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。解法3：將下面的半圓從中間切開，分別貼補在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形的一半.例2.如右圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。解：由容斥原理 S陰影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形

8、ABCD例3如右圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求陰影部分的面積。例4.如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB20厘米，如果陰影（）的面積比陰影（）的面積大7平方厘米，求BC長。分析 已知陰影（）比陰影（）的面積大7平方厘米，就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米；又知半圓直徑AB20厘米，可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面積，進而求出三角形的底BC的長.2、 鞏固訓(xùn)練1.如右圖，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角

9、三角形面積與圖中（I）的面積之差。而（I）的面積等于邊長為6的正方形的面積減去以6為半徑的圓的面積。2.如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，此時AB到達AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）. 解：整個陰影部分被線段CD分為和兩部分，以AB為直徑的半圓被 弦AD分成兩部分，設(shè)其中AD右側(cè)的部分面積為S，由于弓形AD是兩個半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個半圓的剩余部分面積相等.即=S，由于：3.如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積.4.如下頁右上圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部

10、分面積（取3.14）。解：三角形ABC是等腰直角三角形，以AC為對角線再作一個全等的等腰直角三角形ACE，則ABCE為正方形（利用對稱性質(zhì)）?？偨Y(jié)：對于不規(guī)則圖形面積的計算問題一般將它轉(zhuǎn)化為若干基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關(guān)系，問題便得到解決.常用的基本方法有：一、 相加法：這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個基本規(guī)則圖形，分別計算它們的面積，然后相加求出整個圖形的面積.例如，右圖中，要求整個圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了. 二、 相減法：這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個基本規(guī)則圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰

11、影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可. 三、 直接求法：這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁右上圖，欲求陰影部分的面積，通過分析發(fā)現(xiàn)它就是一個底是2，高為4的三角形，面積可直接求出來。四、 重新組合法：這種方法是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設(shè)法求出這個新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時采用相減法就可求出其面積了.五、 輔助線法：這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即

12、可.如右圖，求兩個正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡便. 六、 割補法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半. 七、 平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積.例如，如右圖，欲求陰影部分面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個陰影部分恰是一個正方形。八、 旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個新的基本規(guī)則的圖形，便于求出面積.例如，欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.九、 對稱添補法：這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)則圖形.原來圖