二維雙曲型方程的隱格式解法

1、 本科畢業(yè)論文設(shè)計(jì) 題 目 二維雙曲線型方程的交替方向隱格式解法 院系 數(shù)學(xué)系 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名 周玲玲 學(xué) 號(hào) 10022156 指導(dǎo)教師 陳淼超 職稱 講師 論文字?jǐn)?shù) 9500 完成日期: 2014年6月8日 / 巢湖學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))誠信承諾書本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要奉獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承當(dāng)。本人簽名： 日期： 巢湖學(xué)院本科畢業(yè)論文

2、(設(shè)計(jì))使用授權(quán)說明本人完全了解巢湖學(xué)院有關(guān)收集、保存和使用畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì))的規(guī)定，即：本科生在校期間進(jìn)行畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))工作的知識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬巢湖學(xué)院。學(xué)校根據(jù)需要，有權(quán)保存并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì))被查閱和借閱；學(xué)?？梢詫厴I(yè)論文(設(shè)計(jì))的全部或局部內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編畢業(yè)，并且本人電子文檔和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。保密的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))在解密后遵守此規(guī)定。本人簽名： 日期： 導(dǎo)師簽名： 日期： 巢湖學(xué)院2013屆本科畢業(yè)論文設(shè)計(jì)二維雙曲型方程的交替方向隱格式解法摘要在解決偏微分方程中二維雙曲線型

3、方程的問題求解初邊值問題時(shí)，顯示格式的穩(wěn)定性是有條件的，并且多維的穩(wěn)定性條件更嚴(yán)，為得到穩(wěn)定性好的格式，隱式格式受到重視。用隱式格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚便利，采用交替方向隱式ADI格式可以防止此問題。本文以根本概念和根本方法為主，同時(shí)結(jié)合算例實(shí)現(xiàn)算法。第一局部介紹二維雙曲線型方程的交替方向隱格式解法的根本概念，引入本文的研究對(duì)象二維波動(dòng)方程： ，第二局部介紹上述方程的二維雙曲線型方程的交替方向隱格式及這種格式的存在性、收斂性與穩(wěn)定性。第三局部通過算例檢驗(yàn)二維雙曲線型方程的交替方向隱格式的可行性。關(guān)鍵詞：二維雙曲型方程；交替方向隱格式；存在性；收斂性；穩(wěn)定

4、性Alternating direction implicit method for 2-D hyperbolic equationAbstractIn solving partial differential equations to solve the two-dimensional hyperbolic equation in the initial boundary value problem, the stability of the display format&

5、#160;is conditional, and the stability conditions of multidimensionalmore strict, in order to get the good stability of thescheme, implicit attention. By using implicit scheme for solving the two-dimensional problem of linear equations

6、whose coefficient matrix is a broad band, thus solving thenot very convenient, using the alternating direction implicit(ADI) scheme can avoid this problem. In this paper, the basic concepts and basic method, at the same timealgorithm&#

7、160;with an example.The first part is the introduction of two dimensionalhyperbolic equation of alternating direction implicit methodbasic concept - two-dimensional wave equation, the object of study is introduced in this paper:,The second part introduces

8、 the existence and stability oftwo dimensional hyperbolic equations, the convergence of the above equation alternating direction implicit schemeand this format.Feasibility of alternating direction implicit scheme third part through the examples

9、to test two-dimensionalhyperbolic equation. Keywords: hyperbolic equation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stabilityI目 錄摘要IAbstractII1.前言12.差分格式的建立22.1差分格式的求解42.1.1算例63.差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式84.差分格式解的存在性、收斂性和穩(wěn)定性94.1存在性94.2收斂性104.3穩(wěn)定性12參考文獻(xiàn)13致謝14附頁15 巢湖學(xué)院2013屆本

10、科畢業(yè)論文設(shè)計(jì)1.前言微分方程有著廣泛的自然科學(xué)與工程技術(shù)的背景，例如熱傳導(dǎo)問題，流體力學(xué)問題，波動(dòng)問題都可以用微分方程來刻畫。然而，實(shí)際的運(yùn)用中，大局部偏微分方程的解很難以解析形式表示出來，人們將研究的重心逐漸的向偏微分方程的數(shù)值解方向轉(zhuǎn)移，眾多科研家在研究偏微分方程的數(shù)值解方面做出了巨大的奉獻(xiàn)， 。 變分法，有限差分法與有限元方法是目前運(yùn)用最為廣泛的偏微分方程的數(shù)值解法。其中，有限差分法以其 的特點(diǎn)被廣闊研究者所認(rèn)可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的時(shí)也會(huì)有諸多的缺乏之處，比方不同步長情況下的穩(wěn)定性與精度相差很多，因此，經(jīng)過幾代科學(xué)家的不懈努力，眾多穩(wěn)定性好，精度高的差分格式被

11、提出，比方 。在差分格式中，解決偏微分方程中二維雙曲線方程的問題求解初邊值問題時(shí)，顯示格式的穩(wěn)定性是有條件的，并且多維的穩(wěn)定性條件更嚴(yán)，為得到穩(wěn)定性好的格式，隱式格式受到重視。用隱式格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚便利，采用交替方向隱式ADI格式可以防止此問題。本文將從根本概念和根本方法入手，通過簡單的二維波動(dòng)方程，介紹二維雙曲線型方程的交替方向隱格式解法及其簡單的實(shí)際應(yīng)用，起到初步介紹偏微分方程數(shù)值解法的目的。 12.差分格式的建立作為模型，考慮二維波動(dòng)方程的初邊值問題 5.16-1 (5.16-2), (5.16-3)其中在結(jié)點(diǎn)處考慮方程5.16-1.由泰勒

12、展開式可得= (5.17-1) (5.17-2)= (5.17-3) , (5.17-4)其中 .且存在常數(shù)使得 5.18-1 5.18-2 (5.18-3) (5.18-4) (5.18-5)對(duì)定解問題5.16-1(5.16-3)建立如下差分格式= (5.19-1) (5.19-2)= (5.19-3) , (5.19-4)(5.19-4)等價(jià)于 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的結(jié)點(diǎn)圖式見圖5.5.圖5.5. 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的結(jié)點(diǎn)圖2.1差分格式的求解注意到=可將(5.19-1) (5.19-4)寫為或=+， 5.20令，那么有+， 5.21-1=.

13、5.21-2當(dāng)?shù)趯?、第層的值時(shí)，由5.21-1求出過渡層上的值：對(duì)任意固定的，取邊界條件， ， 5.22-1求解 +， ， 5.22-2得到.當(dāng)已求出時(shí)，由 5.21-2求出第層上的值：對(duì)固定的，取邊界條件 ， 5.23-1求解=. ， 5.23-2得到，.最后由 得到. 5.22-1和5.22-2是關(guān)于方向的隱格式，5.23-1和 5.23-2是關(guān)于方向的隱格式.它們均是三對(duì)角線性方程組，可用追趕法求解.我們把 5.21-1和5.21-2稱為交替方向隱格式.2.1.1算例用交替方向隱格式5.22-1和5.22-2計(jì)算定解問題， ， ， ， ， ， ， ，該定解問題的精確解為.表3.2給出了取

14、時(shí)計(jì)算得到的局部數(shù)值結(jié)果.表3.3給出了取不同步長時(shí)數(shù)值解的最大誤差從表3.3可以看出，當(dāng)空間步長和時(shí)間步長同時(shí)縮小到原來的1/2時(shí)，最大誤差約縮小為原來的1/4.圖3.5和圖3.6分別給出了t=1時(shí)精確解得曲面圖和取步長所得數(shù)值解的曲面圖；圖3.7給出了t=1時(shí)取不同步長所得數(shù)值解的誤差曲面圖.(圖與編程見附頁)表3.2算例3,1局部結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解，精確解和誤差的絕對(duì)值(x,y,t)數(shù)值解精確解|精確解-數(shù)值解|(0.25,0.25,0.25)1.0000061.0000005.753e-6(0.75,0.25,0.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.25,0.75,0

15、.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.75,0.75,0.25)1.6487311.6487219.737e-6(0.25,0.25,0.50) 0.7788050.7788014.162e-6(0.75,0.25,0.50)1.0000041.0000003.961e-6(0.25,0.75,0.50)1.0000041.0000003.961e-6(0.75,0.75,0.50)1.2840291.2840253.515e-6(0.25,0.25,0.75) 0.6065343 0.60653073.677e-6(0.75,0.25,0.75)0.77880360.

16、77880082.794e-6(0.25,0.75,0.75)0.77880360.77880082.794e-6(0.75,0.75,0.75)1.00000201.00000001.898e-6(0.25,0.25,1.00)0.47236140.47236665.194e-6(0.75,0.25,1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.25,0.75,1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.75,0.75,1.00)0.77879660.77880084.166e-6 表3.3 算例3.1取不同步長時(shí)數(shù)值解的最大誤差1/101/10

17、1.274e-31/201/203.540e-43.5991/401/409.519e-53.7191/801/802.493e-53.8181/1601/1606.414e-63.8873.差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式定理3.1 設(shè)為差分方程組= 5.24-1， ， 5.24-2， ， 5.24-3， 5.24-4的解，那么對(duì)任意步長，有，其中.證明 用乘以5.24-1的兩邊，并對(duì)求和，得到 +=， 5.24-5注意到=，=，=， ，由5.25得， 或， 當(dāng)時(shí)，有， 由Gronwall不等式，可得， 定理完畢.4.差分格式解的存在性、收斂性和穩(wěn)定性4.1存在性定理5.2.2差分格式 (5.19-1

18、)(5.19-4)是唯一可解的.證明 差分格式(5.19-1)(5.19-4)是線性的.考慮其齊次方程組= ， ， ， ， ， 由定理5.2.1，有.，易知 .因而差分方程組是(5.19-1)(5.19-4)唯一可解的.4.2收斂性定理5.2.3設(shè)為定解問題(5.16-1)(5.16-3)的解，為差分格式(5.19-1)(5.19-4)的解.記， ，那么對(duì)任意的步長比有,其中由(5.18-1)(5.18-5)定義.證明 將(5.17-1)(5.17-4)的分別與(5.19-1)(5.19-4)相減，可得誤差方程 ， ， ， ， ， 由定理5.2.1有 應(yīng)用(5.18-1)(5.18-5)可得,

19、定理證畢.4.3穩(wěn)定性定理5.2.4差分格式(5.19-1)(5.19-4)對(duì)任意的步長s在下述意義下對(duì)初值和右端函數(shù)是穩(wěn)定的：設(shè)為差分方程組= ， ， ， ， ， 的解，那么有，證明直接應(yīng)用定理5.2.1.參考文獻(xiàn)1陸金甫，關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法M北京：清華大學(xué)出版社.2004 2LeVeque R JNumerical Methods for Conservation Law sBasel： Birkhauser Velag ，19903徐長發(fā)，李紅偏微分方程數(shù)值解法M. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社.20004李榮華. 偏微分方程數(shù)值解法M. 北京: 高等教育出版社.2010.5 孫志忠

20、，李雪玲. 反響擴(kuò)散方程的緊交替方向的差分方法. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2005, 27(2):209224.6RAAdamsSobolev SpacesMNew York：Academic Press，(1975)7 張志躍. 一類非線性開展方程的交替分段顯隱并行數(shù)值方法. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào), 2002,19(2):154158.8 Deng D, Zhang Z. A new high-order algorithm for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theor., 2016, 41:015202.9JCXu an

21、d JZouSome nonoverlapping domain decomposition methodsJSIAM- Rev，40(4)，(1998)，857-91410WZDaiCompact ADI method for solving parabolicDifferential equationsJNumerMethods for PDE，18(2002)，129-142致謝 在我的論文設(shè)計(jì)過程中，陳淼超老師從選題指導(dǎo)、論文框架到細(xì)節(jié)修改，都給予了我細(xì)致的指導(dǎo)，提出了很多珍貴的意見與建議，老師以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神、兢兢業(yè)業(yè)、孜孜以求的工作作風(fēng)和大膽創(chuàng)新的進(jìn)取精神對(duì)我

22、產(chǎn)生重要影響。同時(shí)也感謝和我同組的組員，在設(shè)備上和技術(shù)上都給了我很大的幫助。另外，在校圖書館查找資料的時(shí)候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過我的各位老師表示最衷心的感謝！這篇論文是在老師的精心指導(dǎo)和同組的伙伴們以及學(xué)校圖書館的工作人員的大力支持下才完成的感謝所有授我以業(yè)的老師，沒有這些年知識(shí)的積淀，我沒有這么大的動(dòng)力和信心完成這篇論文。感恩之余，誠懇地請(qǐng)各位老師對(duì)我的論文多加批評(píng)指正，由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有缺乏之處，懇請(qǐng)各位老師和學(xué)友批評(píng)和指正！謹(jǐn)以此致謝最后，我要向百忙之中抽時(shí)間對(duì)本文進(jìn)行審閱的各位老師表示衷心的感謝。附頁算例2.1.1的編程：取，那么，滿足穩(wěn)定性條件另取，那么，亦滿足穩(wěn)定性條件另取，那么，亦滿足穩(wěn)定性條件format long