2021年高中數學人教版必修第一冊：3.2.1《單調性與最大（小）值》精品課件 (含答案)

1、人教人教A版必修第一冊版必修第一冊第三章第三章 函數的概念與性質函數的概念與性質3.2.1 3.2.1 單調性與最大（?。┲祮握{性與最大（小）值課程目標課程目標1、理解增函數、減函數的概念及函數單調性的定義；2、會根據單調定義證明函數單調性；3、理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；4、學會運用函數圖象理解和研究函數的性質.數學學科素養(yǎng)數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：用數學語言表示函數單調性和最值；2.邏輯推理：證明函數單調性；3.數學運算：運用單調性解決不等式；4.數據分析：利用圖像求單調區(qū)間和最值；5.數學建模：在具體問題情境中運用單調性和最值解決實際問題。 自主預習，回答問題自主預習，回答問題閱

2、讀課本閱讀課本76-77頁，思考并完成以下問題頁，思考并完成以下問題1.增函數、減函數的概念是什么？增函數、減函數的概念是什么？2.如何表示函數的單調區(qū)間？如何表示函數的單調區(qū)間？3.函數的單調性和單調區(qū)間有什么關系？函數的單調性和單調區(qū)間有什么關系？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。2單調性與單調區(qū)間單調性與單調區(qū)間 如果函數yf(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，那么就說函數yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)_，區(qū)間D叫做yf(x)的_點睛一個函數出現兩個或者兩個以上的單調區(qū)間時，不能用“”連接，而應該用“,”連接如函數y 在(，0),(0，)上單調遞減，

3、卻不能表述為：函數y 在(，0)(0，)上單調遞減1x1x自主預習，回答問題自主預習，回答問題閱讀課本閱讀課本79-80頁，思考并完成以下問題頁，思考并完成以下問題1.函數最大函數最大(小小)值的定義是什么？值的定義是什么？2.從函數的圖象可以看出函數最值的幾何意義是什么？從函數的圖象可以看出函數最值的幾何意義是什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。點睛最大(小)值必須是一個函數值，是值域中的一個元素，如函數yx2(xR)的最小值是0，有f(0)0.題型分析題型分析舉一反三舉一反三題型一題型一利用圖象確定函數的單調區(qū)間利用圖象確定函數的單調區(qū)間例1 求下列函

4、數的單調區(qū)間,并指出其在單調區(qū)間上是增函數還是減函數:分析:若函數為我們熟悉的函數,則直接給出單調區(qū)間,否則應先畫出函數的草圖,再結合圖象“升降”給出單調區(qū)間.解:(1)函數y=3x-2的單調區(qū)間為R,其在R上是增函數.(2)函數y=- 的單調區(qū)間為(-,0),(0,+),其在(-,0)及(0,+)上均為增函數.解題方法解題方法（利用圖象確定函數的單調區(qū)間利用圖象確定函數的單調區(qū)間）1.函數單調性的幾何意義:在單調區(qū)間上,若函數的圖象“上升”,則函數為增區(qū)間;若函數的圖象“下降”,則函數為減區(qū)間.因此借助于函數圖象來求函數的單調區(qū)間是直觀且有效的一種方法.除這種方法外,求單調區(qū)間時還可以使用定

5、義法,也就是由增函數、減函數的定義求單調區(qū)間.求出單調區(qū)間后,若單調區(qū)間不唯一,中間可用“,”隔開.2.一次、二次函數及反比例函數的單調性:(1)一次函數y=kx+b(k0)的單調性由系數k決定:當k0時,該函數在R上是增函數;當k0時,該函數在R上是減函數.(2)二次函數y=ax2+bx+c(a0)的單調性以對稱軸x=- 為分界線.由圖象可知,函數的單調增區(qū)間為(-,1,2,+);單調減區(qū)間為1,2.題型二題型二利用函數的圖象求函數的最值利用函數的圖象求函數的最值 例2 已知函數y=-|x-1|+2,畫出函數的圖象,確定函數的最值情況,并寫出值域.由圖象知,函數y=-|x-1|+2的最大值為

6、2,沒有最小值.所以其值域為(-,2.解題方法解題方法（用圖象法求最值的3個步驟）(1)畫出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫出該函數的最大值和最小值.解:(1)函數f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.題型三題型三證明函數的單調性證明函數的單調性 例3 求證:函數f(x)=x+ 在區(qū)間(0,1)內為減函數.證明:設x1,x2是區(qū)間(0,1)內的任意兩個實數,且x1x2, 0 x1x20,x1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2).故函數f(x)=x+ 在區(qū)間(0,1)內為減函數.解題方法解題方法（利用定義證明函數單調性的4個步驟）特別提醒特

7、別提醒 作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當原函數是多項式函數時,作差后的變形通常進行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.如本例.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化.跟蹤訓練三跟蹤訓練三1.求證：函數f(x) 在(0，)上是減函數，在(，0)上是增函數21x題型四題型四利用函數的單調性求最值利用函數的單調性求最值 例4 已知函數f(x)=x+ .(1)判斷f(x)在區(qū)間1,2上的

8、單調性;(2)根據f(x)的單調性求出f(x)在區(qū)間1,2上的最值.解:(1)設x1,x2是區(qū)間1,2上的任意兩個實數,且x1x2, x1x2,x1-x20.當1x10,1x1x24,即x1x2-4f(x2),即f(x)在區(qū)間1,2上是減函數.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值為f(1).f(1)=1+4=5,f(x)的最小值為4,最大值為5.解題方法解題方法（單調性與最值的關系） 1.利用單調性求函數最值的一般步驟: (1)判斷函數的單調性;(2)利用單調性寫出最值. 2.函數的最值與單調性的關系: (1)若函數f(x)在區(qū)間a,b上是增(減)

9、函數,則f(x)在區(qū)間a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函數f(x)在區(qū)間a,b上是增(減)函數,在區(qū)間(b,c上是減(增)函數,則f(x)在區(qū)間a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個. (3)若函數f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則函數f(x)在區(qū)間a,b上一定有最值. (4)求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉,若是開區(qū)間,則不一定有最大(小)值.跟蹤訓練跟蹤訓練四四題型五題型五函數單調性的應用函數單調性的應用例5 已知函數f(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數,試比較f(a2-a+1)與f 的大小.

10、解題方法解題方法（抽象函數單調性求參）1.利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在利用函數的單調性解決比較函數值大小的問題時,要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區(qū)間上.2.利用函數的單調性解函數值的不等式就是利用函數在某個區(qū)間內的單調性,去掉對應關系“f”,轉化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.跟蹤訓練五跟蹤訓練五1.已知g(x)是定義在-2,2上的增函數,且g(t)g(1-3t),求t的取值范圍.解題方法解題方法（解函數應用題的一般程序）(1)審題.弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系.(2)建模.將文字語言轉化成數學語言,用數學知識建立相應的數學模型.(3)求模.求解數學模型,得到數學結論.(4)還原.將用數學方法得到的結論還原為實際問題的意義.(5)反思回顧.對于數學模型得到的數學解,必須驗證這個數學解對實際問題的合理性.1. 某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3 000元時,可全部租出,當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛,租出的車每輛每月需要維護費150元,未