建筑力學13超靜定結構內力計算

1、1建筑力學第13章 超靜定結構的內力分析主講：鄒定祺主講：鄒定祺2內容：超靜定結構的次數、特性。內容：超靜定結構的次數、特性。 超靜定結構的內力分析方法超靜定結構的內力分析方法力法、力法、 位移法和力矩分配法。位移法和力矩分配法。重點：掌握超靜定結構的次數、特性。重點：掌握超靜定結構的次數、特性。 掌握超靜定結構的內力分析的原理掌握超靜定結構的內力分析的原理 和方法。和方法。313.1 超靜定結構及其超靜定次數超靜定結構及其超靜定次數13.1.1 超靜定結構的特征超靜定結構的特征1.幾何特征幾何特征：有多余聯(lián)系（約束）的幾何不變體。：有多余聯(lián)系（約束）的幾何不變體。*若去掉某一聯(lián)系（約束）后，

2、結構仍維持幾何不變若去掉某一聯(lián)系（約束）后，結構仍維持幾何不變體，該聯(lián)系（約束）稱為多余聯(lián)系（約束）。體，該聯(lián)系（約束）稱為多余聯(lián)系（約束）。*若去掉某一聯(lián)系（約束）后，結構不能保持幾何不變若去掉某一聯(lián)系（約束）后，結構不能保持幾何不變體，該聯(lián)系（約束）稱為必要聯(lián)系（約束）體，該聯(lián)系（約束）稱為必要聯(lián)系（約束）,不能去掉。不能去掉。2.靜力特征靜力特征：僅由靜力平衡條件不能解出超靜定結構：僅由靜力平衡條件不能解出超靜定結構的所有反力和內力。的所有反力和內力。413.1.2 超靜定結構的超靜定次數超靜定結構的超靜定次數 一一個超靜定結構所具有的多余聯(lián)系的數目個超靜定結構所具有的多余聯(lián)系的數目就是

3、它的超靜定次數，也即，超靜定次數就是就是它的超靜定次數，也即，超靜定次數就是結構的多余未知力的個數。結構的多余未知力的個數。 確定超靜定次數的確定超靜定次數的方法方法，就是把原結構中，就是把原結構中的多余的聯(lián)系去掉，使之變成靜定結構，的多余的聯(lián)系去掉，使之變成靜定結構，去掉去掉的多余聯(lián)系的個數便是超靜定結構的超靜定次的多余聯(lián)系的個數便是超靜定結構的超靜定次數。數。5 去掉多余聯(lián)系的方法有：去掉多余聯(lián)系的方法有：1、去掉一個鏈桿支座或切斷一根鏈桿、去掉一個鏈桿支座或切斷一根鏈桿(二力桿），相二力桿），相當于去掉一個聯(lián)系。當于去掉一個聯(lián)系。2、去掉一個鉸支座或一個單鉸，相當去掉二個聯(lián)系。、去掉一個

4、鉸支座或一個單鉸，相當去掉二個聯(lián)系。63、去掉一個固定端或切斷一個梁式桿，相當去掉三、去掉一個固定端或切斷一個梁式桿，相當去掉三個聯(lián)系。個聯(lián)系。74、在連續(xù)桿上或固定端上加一個單鉸，相當去掉一、在連續(xù)桿上或固定端上加一個單鉸，相當去掉一個聯(lián)系。個聯(lián)系。89 對于具有多個框格的結構，按框格的數目來對于具有多個框格的結構，按框格的數目來確定超靜定的次數是較方便的。一個封閉的無鉸確定超靜定的次數是較方便的。一個封閉的無鉸框格，其超靜定次數等于框格，其超靜定次數等于3 3，故當一個結構有，故當一個結構有n n個個封閉無鉸框格時，其超靜定次數等于封閉無鉸框格時，其超靜定次數等于3n3n。10超靜定次數等

5、于超靜定次數等于3 3* *8=248=24這里有這里有3 3個單鉸，個單鉸，1 1個復鉸個復鉸超靜定次數等于超靜定次數等于3 3* *8-5=198-5=19一個封閉的無鉸框格，一個封閉的無鉸框格，其超靜定次數等于其超靜定次數等于3.3.一個單鉸減少一一個單鉸減少一個超靜定次數。個超靜定次數。 超靜定結構去掉多余聯(lián)系后得到的結構，稱為原超靜定結構去掉多余聯(lián)系后得到的結構，稱為原超靜定結構的超靜定結構的基本結構基本結構（體系）。（體系）。 對于同一個超靜定結構，可用各種不同的方式去對于同一個超靜定結構，可用各種不同的方式去掉多余聯(lián)系而得到不同的靜定結構。因此在力法計算掉多余聯(lián)系而得到不同的靜定

6、結構。因此在力法計算中，同一結構的基本結構可有各種不同的形式。但應中，同一結構的基本結構可有各種不同的形式。但應注意，去掉多余聯(lián)系后。為了保證基本結構的幾何不注意，去掉多余聯(lián)系后。為了保證基本結構的幾何不變性，有時結構中的某些聯(lián)系是不能去掉的變性，有時結構中的某些聯(lián)系是不能去掉的 必須注意，去掉超靜定結構的多余聯(lián)系時，所得必須注意，去掉超靜定結構的多余聯(lián)系時，所得的靜定結構應是的靜定結構應是幾何不變幾何不變的。的。11 如圖如圖 (a)(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處改為鉸接，即相當于去掉一個若將橫梁某處改為鉸接，即相當于去掉一個聯(lián)得到圖聯(lián)得到圖 (b

7、)(b)所示靜定結構；當去掉所示靜定結構；當去掉 B B支座支座的水鏈桿則得到圖的水鏈桿則得到圖 (c)(c)所示靜定結構，它們所示靜定結構，它們都可作為基本結構。但是，若去掉都可作為基本結構。但是，若去掉 A A支座的支座的豎向鏈桿或豎向鏈桿或 B B支座的豎向鏈桿，即成瞬變體支座的豎向鏈桿，即成瞬變體系系 圖圖 (d)(d)所示，顯然是不允許的，當然也所示，顯然是不允許的，當然也就不能作為基本結構。就不能作為基本結構。 1213將橫梁某處改為鉸接，即相當于去將橫梁某處改為鉸接，即相當于去掉一個聯(lián)得到圖掉一個聯(lián)得到圖(b)(b)所示靜定結構所示靜定結構當去掉當去掉 B B支座的水鏈桿則支座的

8、水鏈桿則得到圖得到圖 (c)(c)所示靜定結構所示靜定結構去掉去掉 A A支座的豎向鏈桿或支座的豎向鏈桿或 B B支座的豎向鏈桿，即成瞬支座的豎向鏈桿，即成瞬變體系變體系 圖圖 (d)(d)所示，顯然所示，顯然是不允許的，當然也就不能是不允許的，當然也就不能作為基本結構。作為基本結構。有一個多余聯(lián)系有一個多余聯(lián)系1413.1.3 超靜定結構的計算方法分類超靜定結構的計算方法分類*超靜定結構的基本（精確）方法有超靜定結構的基本（精確）方法有力法力法和和位移位移法法兩種。兩種。 手算時，凡是多余約束多、節(jié)點位移少的結手算時，凡是多余約束多、節(jié)點位移少的結構用位移法，反之用力法。構用位移法，反之用力

9、法。*超靜定結構的計算機解法是超靜定結構的計算機解法是矩陣位移法矩陣位移法。*超靜定結構的近似解法有：超靜定結構的近似解法有：漸近法、分層法、漸近法、分層法、反彎點法、反彎點法、D D值法值法等。等。*漸近法主要有漸近法主要有力矩分配法力矩分配法（適于連續(xù)梁與無側（適于連續(xù)梁與無側移剛架）、移剛架）、無剪力分配無剪力分配法和法和迭代法迭代法。1513.2 超靜定結構的力法計算超靜定結構的力法計算13.2.1 力法的基本思路力法的基本思路1.去掉多余約束，并用相應的多余未知力來去掉多余約束，并用相應的多余未知力來等等效效替換約束條件，得到一靜定結構叫替換約束條件，得到一靜定結構叫基本體基本體系（

10、結構）。系（結構）。2.根據原結構的變形條件，即，按基本結構的根據原結構的變形條件，即，按基本結構的變形必須和原結構相同，來建立變形協(xié)調方變形必須和原結構相同，來建立變形協(xié)調方程程,求解多余約束所對應的多余未知力。求解多余約束所對應的多余未知力。3.按照靜定結構的分析方法計算結構的內力按照靜定結構的分析方法計算結構的內力,并并繪制繪制M、FQ、FN圖。圖。13.2.2 力法的基本原理力法的基本原理 力法是以把超靜定結構去掉多余約束，化為靜力法是以把超靜定結構去掉多余約束，化為靜定結構，定結構，以多余未知力作為基本未知量以多余未知力作為基本未知量，以靜定結，以靜定結構計算為基礎，由構計算為基礎，

11、由變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件建立力法方程求出建立力法方程求出多余未知力，從而把超靜定問題轉化為靜定問題。多余未知力，從而把超靜定問題轉化為靜定問題。16ABLqABqX1(a)原結構 (b)基本體系 qAABBX1 1F 11 (c)荷載荷載q作用在基本結構作用在基本結構 (d)未知反力作用在基本結構未知反力作用在基本結構B=01原結構原結構(a)在在B處豎向的位移處豎向的位移B=0在基本體系在基本體系(b)中，中， B點沿點沿X1方向的位移方向的位移1=B=0 于是，得到基本體系于是，得到基本體系B點點沿沿X1方向的位移方向的位移1=B=0。將基本體系分解為荷載單獨作用在基本結構上和未知反將基

12、本體系分解為荷載單獨作用在基本結構上和未知反力單獨作用在結構上兩部分。力單獨作用在結構上兩部分。 1F表示荷載單獨引起的表示荷載單獨引起的位移，位移，11為多余未知力為多余未知力X1單獨單獨引起的位移。引起的位移。 以以11表示表示X1=1時在時在B點點X1方向方向引起的引起的位移位移，則，則 11= 11X1 。由疊加原理，有由疊加原理，有 1= 11 +1F=0即即 1= 11X1+1F=0 （13-3）這就是這就是力法方程力法方程，可解出，可解出X1 X1=- 1F/ 1117X1=1X1=1(f) M1圖L(g)MF圖 (e) 11qL2/2(h)M圖qL2/8qL2/818qlXEI

13、qLXEILEIqLLqLLEIEILLLLEIMMMMFFFFF83083) 313(843213113322111413111421311111111解得有代入和將圖相乘，于是圖與時為求圖相乘，圖與時為求時可采用圖乘法，和計算X1=1X1=1(f) M1圖L(e) 11(g)MF圖 qL2/2q19 所得未知力所得未知力X1為正號，表示反力為正號，表示反力X1的方向的方向與所設的方向相同。與所設的方向相同。 當多余未知力當多余未知力X1求出后，其余反力和內力求出后，其余反力和內力就可利用靜力平衡條件逐一求出。就可利用靜力平衡條件逐一求出。最后最后繪制彎矩圖，可由疊加原理求得繪制彎矩圖，可由

14、疊加原理求得。即。即 M=M1X1+MF (13-4)即由即由M1圖圖( f)乘以乘以X1后再后再疊加疊加MF圖圖( g)。由由(13-4)算出控制截面上算出控制截面上的彎矩值后，繪出的彎矩值后，繪出M圖，圖，如前面的圖如前面的圖(h)所示。所示。20(f) M1圖X1=1LqqL2/2(g)MF圖 20qL2/8qL2/8(h)M圖13.2.3 力法典型方程力法典型方程 圖圖 (a)(a)所示為一個三次超靜定結構，在荷載作所示為一個三次超靜定結構，在荷載作用下結構的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，用下結構的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，去掉支座去掉支座C C的三個多余聯(lián)系，并以相應的多

15、余力的三個多余聯(lián)系，并以相應的多余力X X1 1 、X X2 2 和和X X3 3代替所去掉的聯(lián)系的作用，則得到圖代替所去掉的聯(lián)系的作用，則得到圖 (b)(b)所所示的基本結構上，它必須與原結構變形相符，在示的基本結構上，它必須與原結構變形相符，在C C點點處沿多余力處沿多余力X X1 1 、X X2 2 和和 X X3 3 方向的相應位移方向的相應位移 1 1 、 2和和 3 3都應等于零。都應等于零。 1=0 2=0 3=0 2122=23 根據疊加原理，可將基本結構滿足的位移條根據疊加原理，可將基本結構滿足的位移條件表示為：件表示為： 111112213310PXXX 221122223

16、320PXXX 331132233330PXXX 其物理意義是：在基本結構中，由于全部多余力和其物理意義是：在基本結構中，由于全部多余力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應與原結構中相應的位移相等與原結構中相應的位移相等 24. 用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。 若結構為若結構為n次超靜定，則有次超靜定，則有n個多余未知力個多余未知力,可根據已知位可根據已知位移條件建立移條件建立n個方程。當原結構在去掉多余約束處的已知位移個方程。當原結構在去掉多余約束處的已知位移為零時，其力法方程

17、稱為為零時，其力法方程稱為力法典型方程力法典型方程： 11X1+12X2+1iXi+ +1nXn+1F=0 21X1+22X2+2iXi+ +2nXn+2F=0 ： (13-7) ： n1X1+n2X2+niXi+ + nnXn+ nF=0 根據位移互等定理有根據位移互等定理有 ij= ji 。 式中系數式中系數ij表示表示Xj=1時，引起基本體系上時，引起基本體系上Xi方向上的位移。方向上的位移。自由項自由項iF表示荷載引起基本體系上表示荷載引起基本體系上Xi方向上的位移。方向上的位移。 在上列方程中，從左上方至右下方的主對角線（自左上方在上列方程中，從左上方至右下方的主對角線（自左上方的的

18、11至右下方至右下方nn）上的系數）上的系數ii稱為主系數，稱為主系數， ij稱為副系數。稱為副系數。 系數系數ijij( (iiii) )可利用可利用M Mi i圖與圖與M Mj j圖圖乘求得。圖圖乘求得。 自由項自由項iFiF可用可用M Mi i圖與圖與M MF F圖圖乘求得。圖圖乘求得。 求得典型方程中的系數和自由項后，即可解得多求得典型方程中的系數和自由項后，即可解得多余力余力XiXi。然后可按照靜定結構的分析方法求得原結構。然后可按照靜定結構的分析方法求得原結構的全部反力和內力?；虬聪率霪B加公式求出彎矩的全部反力和內力?；虬聪率霪B加公式求出彎矩 M=X1M1+X2M2+XnMn+MF

19、再根據平衡條件可求得其剪力和軸力。再根據平衡條件可求得其剪力和軸力。252613.2.4 力法的計算步驟和實例力法的計算步驟和實例1.力法的計算步驟力法的計算步驟（1）選取基本體系選取基本體系。去掉原結構的多余約束以相應的多余未去掉原結構的多余約束以相應的多余未知力代替多余約束的作用。知力代替多余約束的作用。（2）建立力法典型方程建立力法典型方程。根據基本體系在去掉多余約束處的根據基本體系在去掉多余約束處的位移與原結構在此方向上的位移協(xié)調一致（即相同）的條件，位移與原結構在此方向上的位移協(xié)調一致（即相同）的條件，建立一組力法方程。建立一組力法方程。（3）計算力法方程中各系數和自由項計算力法方程

20、中各系數和自由項。為此，需繪出基本體為此，需繪出基本體系在各單位多余未知力作用下的內力圖和荷載作用下的內力系在各單位多余未知力作用下的內力圖和荷載作用下的內力圖，或寫出內力表達式，然后按求位移的方法計算系數和自圖，或寫出內力表達式，然后按求位移的方法計算系數和自由。由。（4）解方程求多余未知力解方程求多余未知力。將各系數和自由項代入力法方程，將各系數和自由項代入力法方程，解出多余未知力。解出多余未知力。（5）繪制原結構的內力圖繪制原結構的內力圖。把各單位未知力圖乘以未知力疊把各單位未知力圖乘以未知力疊加，再疊加上荷載內力圖，繪出內力圖。加，再疊加上荷載內力圖，繪出內力圖。27故，力法的計算，最

21、后都歸結到求基本體系的位移故，力法的計算，最后都歸結到求基本體系的位移(ijij和和iF iF ）。2、對超靜定梁和剛架，力法方程中的系數和自由項：、對超靜定梁和剛架，力法方程中的系數和自由項：)1113()1213()912(2 dsEIMMdsEIMMdsEIMLFiiFljiijliii例題【13-1】、【13-2】、【13-5】見書P220-P223習題：13-1、13-2、13-3補充例題2829例例1 1 分析圖分析圖 (a)(a)所示剛架，繪出內力圖。所示剛架，繪出內力圖。EI=EI=常數。常數。解：解：確定超靜定次數，選取確定超靜定次數，選取基本結構基本結構此剛架具有一個多余聯(lián)

22、系，此剛架具有一個多余聯(lián)系，是一次超靜定結構，去掉是一次超靜定結構，去掉支座鏈桿支座鏈桿C C 即為靜定結構，即為靜定結構，并用并用X X1 1代替支座鏈桿代替支座鏈桿C C 的的作用，得基本結構如圖作用，得基本結構如圖 (b)(b)所示。所示。2.2.建立力法典型方程建立力法典型方程原結構在支座原結構在支座 C C 處的豎向位移處的豎向位移1 1=0=0。根據位移條件可得力法的典型方程如下：根據位移條件可得力法的典型方程如下： 1= 11X1+1F=03.3.求系數和自由項求系數和自由項首先作首先作 X X1 1 =1 =1單獨作用于基本結構的彎矩圖單獨作用于基本結構的彎矩圖 M M1 1圖

23、如圖圖如圖(a)(a)所示，所示，再作荷載單獨作用于基本結構時的彎矩圖再作荷載單獨作用于基本結構時的彎矩圖 M MF F圖如圖圖如圖(b)(b)所示所示. .然后利用圖乘法求系數和自由項然后利用圖乘法求系數和自由項304.4.求解多余力求解多余力 解方程得解方程得（正值說明實際方向與基本結構上假設的（正值說明實際方向與基本結構上假設的X X1 1方方向相同，即垂直向上）。向相同，即垂直向上）。 311F 12561280033XEIEI15Xk N5.5.繪制最后彎矩圖繪制最后彎矩圖各桿端彎矩可按各桿端彎矩可按 M=XM=X1 1M M1 1+M+MF F最后彎矩圖如圖最后彎矩圖如圖 (c)(

24、c)所示。所示。至于剪力圖和軸力圖，在多至于剪力圖和軸力圖，在多余力求出后，可直接按作靜余力求出后，可直接按作靜定結構剪力圖和軸力圖的方定結構剪力圖和軸力圖的方法作出，如圖法作出，如圖 (a) (b)(a) (b)所示。所示。3233例例2 2 試分析圖試分析圖 (a)(a)所示剛架，所示剛架，EI=EI=常數常數解：解： 確定超靜定次數，選取基本結構此剛架是確定超靜定次數，選取基本結構此剛架是兩次超靜定的。去掉剛架兩次超靜定的。去掉剛架B B處的兩根支座鏈處的兩根支座鏈桿，代以多余力桿，代以多余力X1X1和和X2 X2 ，得到圖，得到圖 (b)(b)所示所示的基本結構。的基本結構。342.2

25、.建立力法典型方程建立力法典型方程11112210PXX21122220PXX3.3.繪出各單位彎矩和荷載彎矩圖繪出各單位彎矩和荷載彎矩圖 如圖如圖 (a) (b) (c)(a) (b) (c)所示所示。 35利用圖乘法求得各系數和自由項利用圖乘法求得各系數和自由項 231112233aaaEIEI2322212172236aaaaaEIEIEI231221122aaaEIEI 2311224PaPaPaEIEI23211515322226296PPaaaPaPaaEIEIEI 364.4.求解多余力求解多余力將以上系數和自由項代人典型方程并消去將以上系數和自由項代人典型方程并消去a a3 3

26、/(E/(EI I),), 3aEI得12110324PXX12175302696PXX解聯(lián)立方程，得解聯(lián)立方程，得 1980XP 21740XP375 5、作最后彎矩圖及剪力圖、軸力圖，如圖、作最后彎矩圖及剪力圖、軸力圖，如圖 (d) (e) (f) (d) (e) (f) 所示所示。 3、鉸接排架的力法計算、鉸接排架的力法計算38.EA=排架是工業(yè)廠房常用的排架是工業(yè)廠房常用的一種結構形式。一種結構形式。I1I2I2I1【例例13-4】用力法計算，繪制下圖排架的彎矩圖。用力法計算，繪制下圖排架的彎矩圖?！窘饨狻拷⒘Ψǚ匠探⒘Ψǚ匠?11X1+1F=0繪出繪出M和和MF圖圖,由圖乘法計算

27、系數和自由項由圖乘法計算系數和自由項 11=230.71/EIEI1 1 1F=376.28/EIEI1 1則則 230.71X230.71X1 1+376.28=0+376.28=0解得解得 X X1 1=-1.63kN (X=-1.63kN (X1 1為壓力）為壓力） 39X1ABCDEA=EI1EI12EI12EI11kN/m1kN/m2.2m6.6m(a)原結構(b)基本體系X1=12.28.82.28.82.4238.721.1724.3814.34(c)M(單位:m)(d)MF圖(單位:kN.m)(e)M圖(單位:kN.m)4、超靜定桁架的力法計算、超靜定桁架的力法計算 力法計算桁

28、架時，其系數和自由項的計算公式為力法計算桁架時，其系數和自由項的計算公式為【例例13-5】用力法計算圖示桁架各桿的內力，各桿用力法計算圖示桁架各桿的內力，各桿EA為常數為常數?！窘饨狻繛橐淮纬o定，多余為一次超靜定，多余約束在體系內部。切斷約束在體系內部。切斷BC桿桿代之以多余未知力代之以多余未知力X1，得基本，得基本體系如圖體系如圖(b)。40)1313()1213(,2NFiNiNNFNiiFNjNiijNiiiFXFFEAlFFEAlFFEAlF桁架各桿的最后內力FBCADaaFX1ABCD(a)原結構(b)基本體系建立力法方程建立力法方程 11X1+1F=0分別計算出基本體系在分別計算

29、出基本體系在X1=1和荷載作用下的和荷載作用下的各桿的內力各桿的內力FN1和和FNF，如圖，如圖(c)和圖和圖(d)所示。所示。將以上洗漱和自由項代入力法方程，解得將以上洗漱和自由項代入力法方程，解得 X1=-F/2由疊加法原理由疊加法原理FN=FN1X1+FNF計算出各桿軸力計算出各桿軸力如圖如圖(e)。41X1=1+1+1+1+1+1-2-2(c)FNi圖00F+F+F-2F00(d)FNF圖BF-0.5F+0.5F+0.5F-0.5F+0.7F-0.7FACD(e)FN圖)222(2)2()2(111)222(222112112222111EAFaaFaFaFEAEAlFFEAaaaaE

30、AEAlFNFNFN5、超靜定組合結構的力法計算、超靜定組合結構的力法計算【例例13-6】如圖，如圖，AB梁的梁的EI=1I=1104kN.m2，鏈桿的鏈桿的E1A1=15104kN。繪制。繪制梁的彎矩圖梁的彎矩圖并計算各桿的軸力。并計算各桿的軸力?！窘饨狻恳淮纬o定，切斷一次超靜定，切斷CD桿，以桿，以X1代替代替建立力法方程建立力法方程 11X1+1F=0 計算系數和自由項計算系數和自由項解得解得X1=-60.07kN由由 M=M1X1+MF 和和FN=FN1X1+FNF 得得最后彎矩圖和軸力圖最后彎矩圖和軸力圖(e)4220kN/m3m3m1m(a)原結構ABCX120kN/mX1=1-

31、1.58-1.583.6m90kN.m0.11kN.m94.91kN94.91kN22.45kN.m22.45kN.mDlNFNFFNllEAFFdxEIMMkNmAElFdxEIM4111411212111125 .337/10618. 5(b)基本體系(c)M1、FN1圖(d)MF、FNF圖(e)M、FN圖13.2.5 力法計算中對稱性的利用力法計算中對稱性的利用43 用力法解算超靜定結構時，結構的超靜定次用力法解算超靜定結構時，結構的超靜定次數愈高，多余未知力就愈多，計算工作量也就愈數愈高，多余未知力就愈多，計算工作量也就愈大。但在實際的建筑結構工程中，很多結構是對大。但在實際的建筑結構

32、工程中，很多結構是對稱的，我們可稱的，我們可利用結構的對稱性，適當地選取基利用結構的對稱性，適當地選取基本結構本結構，使力法典型方程中盡可能多的副系數等，使力法典型方程中盡可能多的副系數等于零，從而使計算工作得到簡化。于零，從而使計算工作得到簡化。 當結構的幾何形狀、支座情況、桿件的截面當結構的幾何形狀、支座情況、桿件的截面及彈性模量等均對稱于某一幾何軸線時，則稱此及彈性模量等均對稱于某一幾何軸線時，則稱此結構為結構為對稱結構對稱結構。 44 如圖如圖a a所示剛架為對稱結構，可選取圖所示剛架為對稱結構，可選取圖b b所所示的基本結構，即在對稱軸處切開，示的基本結構，即在對稱軸處切開， 以多余

33、未知力以多余未知力x x1 1, , x x2 2, , x x3 3來代替所去掉的來代替所去掉的三個多余聯(lián)系。三個多余聯(lián)系。 45相應的單位力彎矩圖如圖相應的單位力彎矩圖如圖c,d,ec,d,e所示，所示， 其中其中x1x1和和x2x2為為對稱未知力對稱未知力；x3x3為為反對稱的未知力反對稱的未知力， 46顯然顯然M1 1, ,M 2 2 圖是圖是對稱圖形對稱圖形；M 3 3是是反對稱圖形反對稱圖形。 由圖形相乘可知：由圖形相乘可知： 1313310M M dsEI2323320M M dsEI47故力法典型方程簡化為故力法典型方程簡化為 11 112210Pxx21 122220Pxx3

34、3330Px由此可知，力法典型方程將分成兩組：由此可知，力法典型方程將分成兩組： 一組只包含對稱的未知力，即一組只包含對稱的未知力，即x x1 1, x, x2 2； 另一組只包含反對稱的未知力另一組只包含反對稱的未知力x x3 3。 因此，解方程組的工作得到簡化。因此，解方程組的工作得到簡化。 48非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱的兩種非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱的兩種情況的疊加情況的疊加 （如圖（如圖 f.a.bf.a.b）49（1 1）外荷載對稱時，使基本結構產生的彎矩圖）外荷載對稱時，使基本結構產生的彎矩圖Mp是對稱的，則得是對稱的，則得/330PPM M dsEI從而得從

35、而得x x3 3=0=0。 這時只要計算對稱多余未知力這時只要計算對稱多余未知力x x1 1和和x x2 2。 50（2 2）外荷載反對稱時）外荷載反對稱時 使基本結構產生的彎矩圖使基本結構產生的彎矩圖Mp p是反對稱的是反對稱的 ，則得，則得 /110PPM MdsEI/220PPM MdsEI從而得從而得 X X1 1 = X = X2 2 =0 =0 這時，只要計算反對稱的多余未知力這時，只要計算反對稱的多余未知力X X3.3. 2. 2.結構對稱，若外荷載不對稱時，可將外荷結構對稱，若外荷載不對稱時，可將外荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載，而分別計算然后載分解為對稱荷載和反對稱荷載，而分

36、別計算然后疊加。這時，在對稱荷載作用下，反對稱未知力為疊加。這時，在對稱荷載作用下，反對稱未知力為零，即只產生對稱內力及變形；在反對稱荷載作用零，即只產生對稱內力及變形；在反對稱荷載作用下，對稱未知力為零，即只產生反對稱內力及變形。下，對稱未知力為零，即只產生反對稱內力及變形。51從上述分析可得到如下結論：從上述分析可得到如下結論： 1. 1.在計算對稱結構時，如果選取的多余在計算對稱結構時，如果選取的多余未知力中一部分是對稱的，另一部分是反對稱未知力中一部分是對稱的，另一部分是反對稱的。則力法方程將分為兩組：一組只包含對稱的。則力法方程將分為兩組：一組只包含對稱未知力；另一組只包含反對稱未知

37、力。未知力；另一組只包含反對稱未知力。13.3 超靜定結構的位移法計算超靜定結構的位移法計算位移法基本變形假設：位移法基本變形假設：1 1、各桿端之間的軸向長度在變形后保持不變；、各桿端之間的軸向長度在變形后保持不變；2 2、剛性節(jié)點所連各桿端的截面轉角是相同的。、剛性節(jié)點所連各桿端的截面轉角是相同的。基本未知量基本未知量力法的基本未知量是多余的未知力，力法的基本未知量是多余的未知力，位移法的基本未知量是節(jié)點位移。位移法的基本未知量是節(jié)點位移。( (節(jié)點是指計算節(jié)點節(jié)點是指計算節(jié)點) )。節(jié)點位移分為節(jié)點節(jié)點位移分為節(jié)點角位移角位移和節(jié)點和節(jié)點線位移線位移兩種。兩種。52轉角位移轉角位移角位移

38、以順時鐘轉動為正角位移以順時鐘轉動為正53每一個每一個獨立剛節(jié)點獨立剛節(jié)點有一個有一個轉角位移轉角位移(基本未知量基本未知量)，轉角位移的個數轉角位移的個數是整個結構的獨立剛節(jié)點總數。是整個結構的獨立剛節(jié)點總數。角位移數為角位移數為1 角位移數為角位移數為6 結點線位移結點線位移54獨立節(jié)點線位移數為獨立節(jié)點線位移數為1獨立節(jié)點線位移數為獨立節(jié)點線位移數為2對于對于結點線位移結點線位移，由于忽略桿件的軸向變形。，由于忽略桿件的軸向變形。這兩個節(jié)點線位移中只有一個是獨立的，稱為這兩個節(jié)點線位移中只有一個是獨立的，稱為獨立節(jié)點線位移獨立節(jié)點線位移。 獨立節(jié)點線位移為位移法的一種獨立節(jié)點線位移為位移

39、法的一種基本未知量基本未知量。獨立節(jié)點線位移的數目可采用鉸接法確定獨立節(jié)點線位移的數目可采用鉸接法確定 (即即將所有剛性結點改為鉸結點后，添加輔助鏈桿將所有剛性結點改為鉸結點后，添加輔助鏈桿使其成為幾何不變體的方法使其成為幾何不變體的方法) 。 “限制所有節(jié)限制所有節(jié)點線位移所需添加的鏈桿數就是獨立節(jié)點線位點線位移所需添加的鏈桿數就是獨立節(jié)點線位移數移數”。 桿端相對線位移的正負號規(guī)定：桿端相對線位移的正負號規(guī)定：以桿件兩端的連線順時針方向轉動相對線位移以桿件兩端的連線順時針方向轉動相對線位移為正，反之為負。為正，反之為負。5556基本原理基本原理:(1)以獨立的節(jié)點位移（包括節(jié)點角位移和節(jié)點

40、線位移）以獨立的節(jié)點位移（包括節(jié)點角位移和節(jié)點線位移）為基本未知量。為基本未知量。(2)在各獨立的節(jié)點位移處（包括節(jié)點角位移和節(jié)點線在各獨立的節(jié)點位移處（包括節(jié)點角位移和節(jié)點線位移）附加約束，使各桿成為單跨超靜定梁。位移）附加約束，使各桿成為單跨超靜定梁。(3)以一系列單跨超靜定梁的組合體為基本體系。以一系列單跨超靜定梁的組合體為基本體系。(4)由基本體系在附加約束處的受力應與原結構一致的由基本體系在附加約束處的受力應與原結構一致的平衡條件建立位移方程。先求出節(jié)點位移，進一步平衡條件建立位移方程。先求出節(jié)點位移，進一步計算桿件內力。計算桿件內力。 為此，需先用力法分別計算各種單跨超靜定梁在桿為

41、此，需先用力法分別計算各種單跨超靜定梁在桿端位移或各種荷載作用下的桿端彎矩和剪力，并列成端位移或各種荷載作用下的桿端彎矩和剪力，并列成表（表表（表13-1），以便在第），以便在第(3)步建立位移方程時用。步建立位移方程時用。位移法的桿端內力位移法的桿端內力 位移法中桿端彎矩、桿端剪力正負號規(guī)定：位移法中桿端彎矩、桿端剪力正負號規(guī)定： 桿端彎矩使桿端順時針轉向為正。桿端彎矩使桿端順時針轉向為正。 桿端剪力使桿端順時針轉向為正。桿端剪力使桿端順時針轉向為正。位移法中節(jié)點彎矩正負號規(guī)定：位移法中節(jié)點彎矩正負號規(guī)定： 節(jié)點彎矩使節(jié)點逆時針轉為正節(jié)點彎矩使節(jié)點逆時針轉為正 。桿端彎矩桿端彎矩是荷載或桿端

42、位移引起的固端彎矩是荷載或桿端位移引起的固端彎矩桿端剪力桿端剪力是荷載或桿端位移引起的固端剪力是荷載或桿端位移引起的固端剪力桿端彎矩、桿端剪力可通過查表桿端彎矩、桿端剪力可通過查表13.1獲得獲得 i i稱為線剛度：稱為線剛度：其中：其中：EIEI是桿件的抗彎剛度；是桿件的抗彎剛度；l l 是桿長。是桿長。57EIil5832 1FQBAFQABMBAMAB桿端剪力桿端剪力桿端彎矩桿端彎矩梁的簡圖梁的簡圖序序號號EIil4i2i6il6il6il6il212il212il212ql212ql2ql2ql59654FQBAFQABMBAMAB桿端剪力桿端剪力桿端彎矩桿端彎矩梁的簡圖梁的簡圖序序號

43、號3i03il3il0316Fl516F1116F028ql38ql58ql60位移法的典型方程位移法的典型方程 r11Z1+ r12Z1+r1nZn+R1F=0 r21Z1+ r22Z1+r2nZn+R2F=0 : (3-23) : rn1Z1+ rn2Z1+rnnZn+RnF=0式中系數式中系數rij為基本體系上為基本體系上Zj=1時，附加約束時，附加約束i上的反力上的反力,由反力互等定理有，由反力互等定理有，rij=rji。自由項。自由項RIF為荷載作用在基為荷載作用在基本體系上時，附加約束本體系上時，附加約束i上的反力。上的反力。 當當i=j時，即時，即rii稱為主系數，恒為正數，當稱

44、為主系數，恒為正數，當ij時，即時，即rij，稱為副系數，可為正、為負或為零。自由項稱為副系數，可為正、為負或為零。自由項RIF，也可為正、為負或為零。也可為正、為負或為零。61位移法的計算步驟：位移法的計算步驟：（1）確定基本未知量，形成基本體系。）確定基本未知量，形成基本體系。（2）建立位移法方程。）建立位移法方程。（3）繪出基本體系上的單位彎矩圖）繪出基本體系上的單位彎矩圖M圖和荷載彎矩圖和荷載彎矩圖圖MF圖，利用平衡條件求系數圖，利用平衡條件求系數rij和自由項和自由項RF。（4）解方程求出基本未知量）解方程求出基本未知量Zi(位移）。位移）。（5）由）由M=MiZi+MF疊加繪出最后

45、彎矩圖，進而繪出疊加繪出最后彎矩圖，進而繪出剪力圖和軸力圖。剪力圖和軸力圖。（6）校核。）校核?！纠?3-10】用位移法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。用位移法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。【解解】（1）形成基本體系。此梁有一剛結點，無結點線位移。）形成基本體系。此梁有一剛結點，無結點線位移。因此基本未知量為結點因此基本未知量為結點B的轉角的轉角Z1，基本體系如圖，基本體系如圖(a)。（2）建立位移法方程。有結點）建立位移法方程。有結點B附加剛臂約束力矩總和為零，附加剛臂約束力矩總和為零，建立位移法方程為建立位移法方程為 r11Z1+R1F=062F=20kNq=2kN/mABCEIEIEIEI3m3m3m3

46、mZ1F=20kNq=2kN/m(a)原結構(b)基本體系6m6m（3）求系數和自由項。令）求系數和自由項。令i=EI/6EI/6，由表，由表13-113-1的第的第1 1欄和第欄和第3 3欄欄可求出可求出Z Z1 1=1=1單獨作用于基本體系上時單獨作用于基本體系上時ABAB、BCBC段兩端的桿端彎矩段兩端的桿端彎矩值，值，繪出的繪出的M M1 1彎矩圖，如圖彎矩圖，如圖(c)(c)所示。由表所示。由表13-113-1的第的第7 7欄和第欄和第1414欄欄可求出荷載單獨作用于基本體系上時的彎矩值，繪出可求出荷載單獨作用于基本體系上時的彎矩值，繪出M MF F彎矩圖彎矩圖, ,如圖如圖 (d)

47、 (d)所示。所示。如圖如圖(e)(e)、(f)(f)所示利用結點所示利用結點B B的平衡的平衡條件，可算出系數和自由項：條件，可算出系數和自由項： r r1111=7i , R=7i , RF F=6kN.m=6kN.m63Z1=14ir113i3m3m3m3mEIEIEIEI15kN.mRF9kN.m(c)M1圖(d)MF圖r114i3iRF15kN.m9kN.m(e)(f)6m6m（4）解方程求未知量。將系數和自由項代入位移法方程，得）解方程求未知量。將系數和自由項代入位移法方程，得 7iZ1+6=0解方程得解方程得 Z1=-6/(7i)（5）繪彎矩圖。由）繪彎矩圖。由M=M1Z1+MF

48、 疊加繪出疊加繪出M圖，如圖圖，如圖(g).（6）校核。在位移法計算中，只需作平衡校核。）校核。在位移法計算中，只需作平衡校核。取結點取結點B為隔離體，驗算其是否平衡為隔離體，驗算其是否平衡,即是否即是否圖圖(e)Z1+圖圖(f)=0M=(R11Z1+RF)+(4iZ1+3iZ1)+(15-9)=0+(-24/7-18/7)+6=0表明計算無誤。表明計算無誤。64ABC16.7215.8211.57(g)M圖 單位：kN3m3m6m【例例13-12】用位移法求圖用位移法求圖(a)所示剛架，繪出彎矩圖。所示剛架，繪出彎矩圖?！窘饨狻浚?）形成基本結構。）形成基本結構。此剛架有一剛結點此剛架有一剛

49、結點1和一個鉸結點和一個鉸結點2，結點，結點1和結點和結點2有相同的水平位移。因此，基本未有相同的水平位移。因此，基本未知量為結點知量為結點1的角位移的角位移Z1和結點和結點1、2共同的共同的水平線位移水平線位移Z2。基本體系如圖。基本體系如圖(b)。（2）建立位移法方程。）建立位移法方程。由結點由結點1處附加剛臂約束力矩總和為零、結點處附加剛臂約束力矩總和為零、結點2處附加鏈桿水平約束力總和為零，建立位處附加鏈桿水平約束力總和為零，建立位移法方程為移法方程為 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z2+r22Z2+R2F=0651234Fll/2l/2EI=常數Z1FZ2(b)基本體系(

50、a)原結構66Z1=1r11r21(c)r12Z2=1r22(d)R1FR2FF(e)Z1=1r114i3i2ir113i4i(f)R1FR2FFFl/8Fl/8R1F0Fl/8(h)r12Z2=1r22r120-6i/l-6i/l(g)Z1=1r11r12R1F-6i/l12i/l20-F/203i/l2r21r22R2F123412341234M1圖M2圖MF圖（3）求系數和自由項。）求系數和自由項。 根據表根據表13-1繪出繪出M1、M1、MF圖和桿端剪力。計算各系數圖和桿端剪力。計算各系數和自由項為和自由項為 r11=4i+3i=7i , r12=r21=-6i/l l , r22=1

51、2i/l l2+3i/l l2=15i/l l2 R1F=Fl l/8 , R2F=-F/2（4）解方程求基本未知量。）解方程求基本未知量。 將系數和自由項代入位移法方程，將系數和自由項代入位移法方程，得得 7iZ1-6i/l l Z2+Fl l/8=0 -6i/l l +15i/l l2-F/2=0解方程得解方程得67iFlZiFlZ22155222,5529（5）繪彎矩圖）繪彎矩圖 。 由由M=M1 Z1+M2 Z2 +MF 疊加繪出疊加繪出M圖。如圖圖。如圖(i)所示。進一所示。進一步可繪出步可繪出FQ、FN圖。如圖圖。如圖(j)、(k)所示。所示。 （6）校核。在圖）校核。在圖(i)中

52、，取結點中，取結點1為分離體，有為分離體，有 M1=27Fl l/552kN.m-27Fl l/552kN.m=0 可知計算無誤?？芍嬎銦o誤。6827Fl/55227Fl/552183Fl/55260Fl/552(i)M圖27F/55266F/552486F/55266F/55227F/55227F/552(j)FQ圖(k)FN圖60Fl/55213.4 超靜定結構的力矩分配法超靜定結構的力矩分配法一、力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本概念 力矩分配法是一種漸進法。是在位移法基礎上發(fā)力矩分配法是一種漸進法。是在位移法基礎上發(fā)展起來的一種數值解法，它不必計算節(jié)點位移，也無展起來的一種數值

53、解法，它不必計算節(jié)點位移，也無須求解聯(lián)立方程，可以直接通過代數運算得到桿端彎須求解聯(lián)立方程，可以直接通過代數運算得到桿端彎矩。矩。力矩分配法的力矩分配法的適用對象：適用對象： 是連續(xù)梁和無節(jié)點線位移剛架。是連續(xù)梁和無節(jié)點線位移剛架。內力正負號的規(guī)定：內力正負號的規(guī)定：同位移法的規(guī)定一致。同位移法的規(guī)定一致。 桿端彎矩桿端彎矩使桿端順時針轉向為正，使桿端順時針轉向為正， 固端剪力固端剪力使桿端順時針轉向為正。使桿端順時針轉向為正。6970定義：定義：桿件固定端轉動單位角位桿件固定端轉動單位角位移所引起的力矩稱為該桿的轉動移所引起的力矩稱為該桿的轉動剛度，剛度，(轉動剛度也可定義為使桿轉動剛度也可

54、定義為使桿件固定端轉動單位角位移所需施件固定端轉動單位角位移所需施加的力矩）。加的力矩）。轉動剛度轉動剛度與遠端約束及線剛度有與遠端約束及線剛度有關關 ，對等截面直桿：對等截面直桿：遠端固定：遠端固定： S = 4 i 遠端鉸支：遠端鉸支： S = 3i 遠端雙滑動支座：遠端雙滑動支座： S = i 遠端自由或軸向支桿：遠端自由或軸向支桿： S = 0 i為線剛度：為線剛度：EIilMAB=0MBA=012、傳遞系數、傳遞系數 當端轉動時，當端轉動時，B端也會產生一端也會產生一定彎矩，這好比是近端的彎矩按定彎矩，這好比是近端的彎矩按一定的比例傳遞到了遠端一樣，一定的比例傳遞到了遠端一樣，故將故

55、將B端彎矩與端彎矩與A端彎矩之比稱為端彎矩之比稱為由由A端向端向B端的傳遞系數，用端的傳遞系數，用CAB表示表示,CAB=MBA/MAB 或或MBA=CABMAB 傳遞系數只與遠端的約束有關。傳遞系數只與遠端的約束有關。71遠端為固定支座：遠端為固定支座： C =1/2 遠端為鉸支座：遠端為鉸支座： 遠端為雙滑動支座：遠端為雙滑動支座：遠端為自由或軸向支桿：遠端為自由或軸向支桿：C =0C =0C = -1MAB=0MBA=017200近端固定、遠端自由或軸向支桿近端固定、遠端自由或軸向支桿-1近端固定、遠端雙滑動近端固定、遠端雙滑動0近端固定、遠端鉸支近端固定、遠端鉸支1/2近端固定、遠端固

56、定近端固定、遠端固定傳遞系數傳遞系數C轉動剛度轉動剛度S約束條件約束條件等截面直桿轉動剛度與傳遞系數表等截面直桿轉動剛度與傳遞系數表73力矩分配法得基本思路是：力矩分配法得基本思路是： 把各桿都視為單跨超靜定桿，于是節(jié)點上相連把各桿都視為單跨超靜定桿，于是節(jié)點上相連的各桿的固端彎矩將組成不平衡彎矩。將這不平衡的各桿的固端彎矩將組成不平衡彎矩。將這不平衡彎矩按各個桿的剛度系數進行分配，同時還按各桿彎矩按各個桿的剛度系數進行分配，同時還按各桿的傳遞系數傳遞到桿的另一端。一次分配和傳遞后，的傳遞系數傳遞到桿的另一端。一次分配和傳遞后，若節(jié)點的彎矩仍不平衡，可繼續(xù)進行不平衡彎矩的若節(jié)點的彎矩仍不平衡，

57、可繼續(xù)進行不平衡彎矩的分配和傳遞，直到基本平衡為此。分配和傳遞，直到基本平衡為此。以下圖示剛架來說明里矩分配法得基本原理。以下圖示剛架來說明里矩分配法得基本原理。此剛架用位移法計算時，只有一個未知數即結點轉角此剛架用位移法計算時，只有一個未知數即結點轉角Z1，其位移法方程為其位移法方程為 r11Z1+R1F=0繪出繪出MF即即M1圖，可求得自由項為圖，可求得自由項為 R1F=M12F+M13F+M14F= M1jF74qF2134(a)M21FM14FM12FM41F2i124i123i13i14(b)MF圖(c)M1圖r11R1F R1F是結點固定時附加剛臂上的反力矩，它等于是結點固定時附加

58、剛臂上的反力矩，它等于匯交于結點匯交于結點1的各桿端固端彎矩的代數和的各桿端固端彎矩的代數和 M1jF，亦即，亦即各固端彎矩所不能平衡的查額，故又稱為結點上的不各固端彎矩所不能平衡的查額，故又稱為結點上的不平衡力矩。平衡力矩。 r11=4i12+3i13+i14=S12+S13+S14= S1j式中式中S1j-匯交于結點匯交于結點1的各桿端轉動剛度（勁度系的各桿端轉動剛度（勁度系數的總和。數的總和。解典型方程得解典型方程得按疊加法按疊加法M=MF+M1Z1 計算各桿端的最后彎矩。計算各桿端的最后彎矩。各桿匯交于結點各桿匯交于結點1的一端為近端，另一端為遠端。的一端為近端，另一端為遠端。 75j

59、FjFSMrRZ111111各近端彎矩為各近端彎矩為以上各式右邊第一項為荷載產生的彎矩，即以上各式右邊第一項為荷載產生的彎矩，即固端彎矩固端彎矩；第二項為結點轉動第二項為結點轉動Z1角所產生的彎矩，這相當于把不平角所產生的彎矩，這相當于把不平衡力矩反號后按轉動剛度大小的比例分給各近端，因此衡力矩反號后按轉動剛度大小的比例分給各近端，因此稱為稱為分配彎矩，分配彎矩，而而 1212、 1313、 1414等稱為等稱為分配系數分配系數。76FjFFjjFFjFFjjFFjFFjjFMMMSSMMMMMSSMMMMMSSMM114141114141411313111313131121211121212

60、分配系數分配系數的計算公式為的計算公式為顯然，同一結點各桿的分配系數之和應等于顯然，同一結點各桿的分配系數之和應等于1，即，即 ij ij=1=1。各遠端彎矩為各遠端彎矩為以上各式右邊第一項仍是以上各式右邊第一項仍是固端彎矩固端彎矩，第二項是由結點，第二項是由結點轉動轉動Z Z1 1角所產生的彎矩，它好比是將各近端的分配彎角所產生的彎矩，它好比是將各近端的分配彎矩以傳遞系數的比例傳到各遠端，故稱為矩以傳遞系數的比例傳到各遠端，故稱為傳遞彎矩傳遞彎矩77jiiSS111FjFFjFFjFFjjFMCMMMCMMMCMMSSCMM1141441411131331311121221111212212