一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的若干個(gè)解法

1、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的若干個(gè)解法摘要：在高等數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，微積分的計(jì)算是貫穿整個(gè)學(xué)科的重要知識(shí)點(diǎn)，而其中函數(shù)的求導(dǎo)則是微積分計(jì)算的基礎(chǔ)，由此可見(jiàn)學(xué)會(huì)如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是非常必要的。本文主要介紹了一元函數(shù)求導(dǎo)的幾種常見(jiàn)解法，如定義求導(dǎo)法，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法以及利用萊布尼茨公式等。在這些方法中，定義求導(dǎo)法，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法是屬于基礎(chǔ)的方法，而后幾種方法是需要重點(diǎn)掌握的，并要求能在計(jì)算中靈活運(yùn)用。關(guān)鍵詞：一元函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù) Several derivations of functionsAbstract: In Higher mathematics,the calc

2、ulation of calculus is the key point of the whole subject,and the derivation of function is the base of the calculation,so its very necessary to learn how to derive.This article will recommend some methods of the derivation of unary fuction,such as, the definition of derivative, the four fundamental

3、 operations of arithmetic of derivative,composite function derivation,the derivation of derivatives of higher order and using Leibniz formula and so on.In these methods,the definition of derivation, the four fundamental operations of arithmetic of derivative are basic way.But the other methods must

4、be understood and used flexibly in the calculation. Key words:unary function derivate compound function高等數(shù)學(xué)主要包括了函數(shù)極限，微積分，空間解析幾何與級(jí)數(shù)等幾大部分內(nèi)容。在這門學(xué)科中，微積分的計(jì)算是貫穿整個(gè)學(xué)科的重要知識(shí)點(diǎn)，而其中函數(shù)的求導(dǎo)則是微積分計(jì)算的基礎(chǔ)，其中一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題更是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一類特殊的函數(shù)極限。在幾何上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是曲線的切線斜率，在力學(xué)上路程函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是速度。因此導(dǎo)數(shù)具有鮮明的幾何意義和物理意義，是連接幾何學(xué)科，其它數(shù)學(xué)學(xué)科及物理等的橋梁。所以

5、掌握計(jì)算一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法是非常重要的。本文總結(jié)了幾種比較常見(jiàn)的用來(lái)解決各種形式的一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。1.定義求導(dǎo)法任何問(wèn)題都可以從定義上來(lái)得到解決，因此根據(jù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以求一些比較基本的問(wèn)題。一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義如下：設(shè)函數(shù)=在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若自變量在處的改變量為（0，+)仍在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量=;如果與之比當(dāng)時(shí)，有極限=存在，則稱這個(gè)極限為=在=處的導(dǎo)數(shù)。并且說(shuō)，函數(shù)=在=處可導(dǎo)，記作。例1 若設(shè)函數(shù)=2，則=（ ） A2 B.6 C. D.0分析 該題目就是考察有關(guān)導(dǎo)數(shù)定義的題目，因此觀察這個(gè)極限可以發(fā)現(xiàn)它與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式很是類似。要從定義入手，其解答過(guò)

6、程如下：=3=3=32=6因此正確答案為B。2.四則運(yùn)算求導(dǎo)法2.1利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則為：設(shè)在處可導(dǎo)，有：=， =+，=，。例2 1.=; 2.=; 3.=,;解 1.=；2. =2x+3;3.=;2.2利用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)應(yīng)注意的問(wèn)題 應(yīng)先將函數(shù)簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)形式，這樣可以為下一步求導(dǎo)省去很多的計(jì)算過(guò)程。 在求導(dǎo)運(yùn)算中，加、減、乘比較簡(jiǎn)單，而除法不太方便。因此，對(duì)于類似于根式除法形式的函數(shù)可以先將其改為乘法運(yùn)算形式，更方便做求導(dǎo)運(yùn)算。3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法3.1利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.1.1公式法設(shè)由=,構(gòu)成復(fù)合函數(shù)=。若在處可導(dǎo)，=在處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)=在處可導(dǎo)，且有。若是

7、多層復(fù)合函數(shù)，則可以逐次使用此方法求它的導(dǎo)數(shù)。例3 1. = 2. =解 1.令=，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以得 ，即=； 2令，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得：=3。 3.1.2利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一直以來(lái)都是高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此在復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程中一定要由表及里層層解決，不要漏層： 若是復(fù)合函數(shù)的各層函數(shù)均是基本初等函數(shù)： 正確地分析此復(fù)合函數(shù)有哪些中間變量并依次求導(dǎo)，最后相乘即可； 若在此函數(shù)中包含了四則運(yùn)算，則要按四則運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行。 若是復(fù)合函數(shù)中含有類似于或是分段函數(shù)的形式，應(yīng)先把最終的復(fù)合函數(shù)用分段函數(shù)表達(dá)出來(lái)。當(dāng)在不同區(qū)間上的函數(shù)均為初等

8、函數(shù)時(shí)，在各區(qū)間內(nèi)部可按初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，而在分段點(diǎn)上應(yīng)按分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。 根據(jù)一階微分的不變性可知，可以求出的微分，然后式子兩邊同時(shí)去掉，即可得。由此當(dāng)是復(fù)合函數(shù)時(shí)，可利用一階微分不變性由表及里層層求出的微分，然后得。 在復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程中，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 與的差別：前者為導(dǎo)數(shù)在的值，而后者表示的是一個(gè)常數(shù)（即在處的函數(shù)值）的導(dǎo)數(shù)即為0。 與的另一差別：前者為對(duì)求導(dǎo)后得到的，將代入即可；而后者表示復(fù)合函數(shù)，關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，必須使用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 與的關(guān)系為：。3.2反函數(shù)求導(dǎo)法設(shè)為的反函數(shù)，若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)且，則在點(diǎn)（）可導(dǎo)，且。證 令，由于函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)

9、連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則在的某鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。故由，可得：。對(duì)于一些不能直接求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，可以間接的先求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再由這個(gè)公式求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例4 證明。證明 令，則，。 根據(jù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得：，其中。 因?yàn)椋?所以。3.3參數(shù)方程的求導(dǎo)法設(shè)=是由參數(shù)方程=，=所確定的函數(shù)，其中，在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，且0，則=。若是，在二階可導(dǎo)，則可進(jìn)一步求出二階導(dǎo)數(shù)，即=例5 設(shè)=，=,則=? （2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一的二（9）題）解 利用參數(shù)方程的求導(dǎo)法可得，=-，=,則有=-,= = =故：=0 3.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)有二元函數(shù)，在區(qū)間I

10、上存在函數(shù)=滿足=0，則稱這個(gè)函數(shù)=為方程在區(qū)間I上確定的隱函數(shù)。若可以表示為其顯函數(shù)即=的形式，則要先求出的顯函數(shù)，然后根據(jù)其顯化形式=選擇合適的方法求導(dǎo)；若不能表示為=的形式，在求時(shí)，常用下列方法:要先在方程的兩邊同時(shí)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，則可求得或是所滿足的方程，再解出或即可；將方程兩邊同時(shí)微分，寫成形式，即可求出； 公式法：由二元函數(shù)確定的隱函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為：其中分別是二元函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。例6 已知函數(shù)=由確定，則=？解 方法一：當(dāng)時(shí)，由題目所給的方程得=0。先在此方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，可得：，然后將帶入上式，得=0。方法二：，則利用上述的公式法，可得：，將代入此式，故得：=0。方法一中將看做自變量，

11、則是關(guān)于的一元函數(shù)，而方法二中均是自變量，則是關(guān)于的二元函數(shù)。3.5冪指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)于冪指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，一般是不能直接求出其導(dǎo)數(shù)，經(jīng)常使用的方法有轉(zhuǎn)化形式法和對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。3.5.1轉(zhuǎn)化形式法將表示成的形式，然后求導(dǎo)（其中,均可導(dǎo)）即：=3.5.2對(duì)數(shù)求導(dǎo)法將兩邊分別取對(duì)數(shù),得。然后兩邊對(duì)求導(dǎo)得。因此， 。例7 設(shè)+，求=？解 可先分別求出和的導(dǎo)數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求出， 令，將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則：，然后兩邊對(duì)求導(dǎo)，即：， 。故：在這兩個(gè)方法中，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法不僅適用于冪指數(shù)函數(shù)，而且還便于計(jì)算函數(shù)連乘積、函數(shù)乘方、函數(shù)開方等形式的導(dǎo)數(shù)。它是簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化求導(dǎo)的一種方法，但在有加減運(yùn)算時(shí)慎用。例

12、8 設(shè)，求。解 這是個(gè)連乘積的求導(dǎo)，應(yīng)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法更方便。因?yàn)楹瘮?shù)可以取負(fù)值，故先取絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù)，得：，對(duì)求導(dǎo)，得：，因此：。3.6變限積分的求導(dǎo)法設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，則在可導(dǎo)，且：例9 設(shè)連續(xù)，則（ ）。（1998年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一的一（3）題） A. B. C. D.解 令，則，故： 即答案為A. 在求變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意：若被積函數(shù)中含有積分上限變量，一般先把提到積分號(hào)外才能求導(dǎo)，若是不能直接提出積分號(hào)，則可考慮用換元法將變換成積分的上下限，再求導(dǎo)。4.分段函數(shù)的求導(dǎo)法當(dāng)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是求連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。求連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定要按左右導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算

13、，只有當(dāng)左右導(dǎo)數(shù)相等時(shí)，才認(rèn)為函數(shù)在連接點(diǎn)處可導(dǎo)；若是不相等，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在連接點(diǎn)處是沒(méi)有定義的。對(duì)非連接點(diǎn)處的求導(dǎo)就是通常的非分段函數(shù)的求導(dǎo)，那如何求連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)？ 不同的情形可分三種：按求導(dǎo)法則分別求出連接點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)； 設(shè)，為某常數(shù)，若，又。按定義求出連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或左右導(dǎo)數(shù)；設(shè)，其中為某常數(shù)，在處無(wú)定義，則可按定義求:,.若上述極限均存在且相等，記為，則。連接點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)在連接點(diǎn)處的極限值。設(shè)的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且在處連續(xù)。若存在極限，則。例10 確定常數(shù)a和b,使得函數(shù) ，處處可導(dǎo)。解 這是一個(gè)分段函數(shù)，根據(jù)題目可知，由于在處可導(dǎo)，可知在 處連續(xù)。由函數(shù)的表達(dá)式可知，在右連

14、續(xù)，故在連又因?yàn)樵诳蓪?dǎo).則： ，.因此在處可導(dǎo)，故當(dāng) 時(shí)處處可導(dǎo)。5.高階導(dǎo)數(shù)的求法在解決高階導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題時(shí)，可以使用的方法是有多種的，而常用的方法依次為下：5.1歸納法對(duì)于一些函數(shù)可以先逐一求出的一、二、三階導(dǎo)數(shù)，若是觀察出其規(guī)律性，就可以寫出的公式，然后利用歸納法證明。例11 設(shè)函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)且，則？（>2）分析 將兩邊分別求導(dǎo)，得，再求導(dǎo)，得：=。由此可歸納證明的：5.2分解法通過(guò)恒等變形將某些比較復(fù)雜函數(shù)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)之和，常有的情形如下：有理函數(shù)和無(wú)理函數(shù)的分解:在求分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可先將有理假分式用多項(xiàng)式除法變?yōu)檎脚c有理真分式之和，再將有理真分式寫為部

15、分分式之和，利用公式求出所給函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；求由的和、差、積所組成函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，可以利用三角函數(shù)中積化和差與倍角公式把函數(shù)的項(xiàng)數(shù)逐次降低變?yōu)橹突虿畹男嗡疲倮霉?，求出所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可。例12 求下列 1. 2.解 1.因?yàn)?，則：= =2. 利用 故：5.3利用萊布尼茨公式若存在，則乘積的階導(dǎo)數(shù)可用萊布尼茨公式=（其中）。例10 設(shè)，求？解 在使用萊布尼茨公式求解該題時(shí)，有， 得：= =5.4利用泰勒公式的展開式求導(dǎo)數(shù)若函數(shù)能夠展開成的冪級(jí)數(shù)，則必是函數(shù)的泰勒展開式：=。因此，若是得到展開式=，則知：例12 設(shè)，求解 根據(jù)上述所說(shuō)的方法，可以先求出帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式： 令，則由

16、 ,得 則可得 。上述主要總結(jié)了五種不同類型函數(shù)的求導(dǎo)方法，其中的公式法可以適用于任何類型的函數(shù)，但有時(shí)解題過(guò)程很復(fù)雜。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法需要重點(diǎn)掌握，并能夠靈活運(yùn)用。此外求解一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法還有很多，本文只是介紹了幾種比較常用并易于掌握的方法，而且只是給出了一元函數(shù)的求導(dǎo)方法，對(duì)二元函數(shù)甚至是多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題可以由一元函數(shù)的求導(dǎo)方法類推，其中一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于求解多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題尤為重要。因此一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題至關(guān)重要，對(duì)于如何求出各種形式一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題仍需要進(jìn)一步深入探討的，在學(xué)習(xí)中善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)出新的方法。參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2王建福.高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解（第五版）M.徐州:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版,2006.3李正元，李永樂(lè)，袁蔭棠, 等.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書（數(shù)學(xué)一）M.北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社,2009.4同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)（第五版）M.北京：高等教育出版社,2007.5陳文燈.考研數(shù)學(xué)10年真題點(diǎn)評(píng)（數(shù)學(xué)一）M.北京：北京理工大學(xué)也出版社,2010.6錢吉林，等.數(shù)學(xué)分析題解精粹（第二版