數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

1、精品文檔數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ)與高中函數(shù)教學(xué)云南省騰沖縣民族完全中學(xué)李春燕摘要：函數(shù)一直是各國中學(xué)教材中炙手可熱的話題， 函數(shù)內(nèi)容貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)，其重要性不言而喻。 本文介紹了函數(shù)概念的發(fā)展歷史， 對比現(xiàn)代數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)對函數(shù)的定義， 從更高層次理解函數(shù)的本質(zhì)。 本文對函數(shù)的課程內(nèi)容進(jìn)行了分析，并分析了函數(shù)教學(xué)的基本思路。關(guān)鍵詞：函數(shù)；映射；函數(shù)教學(xué)：高觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)課程1 函數(shù)概念的歷史發(fā)展最早提出函數(shù)（ function ）概念的，是 17 世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨。 1718 年，萊布尼茨的學(xué)生、 瑞士數(shù)學(xué)家貝努利把函數(shù)定義為： “由某個變量及任意的一個常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量。 ”意思是凡變量和常量構(gòu)成

2、的式子都叫做的函數(shù) 貝努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示。 歐拉、達(dá)朗貝爾、 傅立葉等幾代數(shù)學(xué)家對函數(shù)概念進(jìn)一步刻畫得到如下概念： “函數(shù)是指一個變量和一些常量，通過任何方式形成解析式。”這一概念任然是不完善的，他把函數(shù)這一廣泛的概念和解析式相混，把一些其他方式給出的函數(shù)排除在外。1755 年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為： “ 如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量， 即當(dāng)后面這些變量變化時， 前面這些變量也隨著變化， 我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù) ”在歐拉的定義中， 就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示了，由于函數(shù)不一定要用公式來表示， 歐拉曾把畫在坐標(biāo)系的曲線也叫函數(shù)，他認(rèn)為： “函數(shù)是隨意畫

3、出的一條曲線 ”1821 年，法國數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義： “ 在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系， 當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值， 其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量， 其他各變數(shù)叫做函數(shù) ” 在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。 而這種對應(yīng)關(guān)系并非一定要有解析式。 他舉出出名的“狄1，是有理數(shù)利克雷函數(shù)”f ( x)來說明。0， x是無理數(shù)19 世紀(jì)， 70 年代，德國數(shù)學(xué)家康托爾集合論的產(chǎn)生，建立了函數(shù)的幾何對應(yīng)定義。即“給定兩個集合A 和 B，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，對A 中的每。1歡迎下載精品文檔一個元素，在 B 中有唯一的元素與之對應(yīng)， 則這種對應(yīng)

4、關(guān)系稱為A 到 B 的函數(shù)?！?0 世紀(jì) 60 年代，人們給出了函數(shù)的關(guān)系定義。現(xiàn)設(shè)f 是 X 與 Y 的關(guān)系，即f ：X×Y，如果 (x, y), (x, z) f 必有 y=z，那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù)綜上所述，對函數(shù)概念的解釋通常有四種方法： 其一，是把函數(shù)定義為具有那種特征的狀態(tài)，而不是函數(shù)本身；其二，吧函數(shù)說成是法則或規(guī)律；其三，是把函數(shù)說成是對應(yīng)；其四，是把函數(shù)說成是一種關(guān)系。十六世紀(jì)后，變量以及函數(shù)概念成為數(shù)百年的研究中心， 函數(shù)概念因此成為近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念?？梢哉f函數(shù)是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。2. 高觀點(diǎn)下的高中函數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步

5、認(rèn)識， 是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)， 也是很多高等數(shù)學(xué)的特例和原型。 因此，從更高觀點(diǎn)看中學(xué)數(shù)學(xué)， 就要把現(xiàn)代數(shù)學(xué)的某些概念和理論和中學(xué)數(shù)學(xué)的特例和原型聯(lián)系起來， 這不僅有助于我們對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且還能準(zhǔn)確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵。函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線， 它和很多內(nèi)容相關(guān)， 是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。下面我們結(jié)合初高中函數(shù)概念，并結(jié)合大學(xué)知識，對函數(shù)再認(rèn)識。（ 1） 笛卡爾集假設(shè) A 和 B 都是集合， A 和 B 的笛卡爾積用AB 來表示，是所有有序偶（ a,b ）的集合，其中aA, bB。AB(a,b) / aA, bB則 A B 所形成的集合就叫笛卡爾集。（ 2） 映射設(shè) A、 B 是兩個

6、非空集合，若f:AB (f為 A,B 的笛卡爾集AB 的子集 ) ，且對任意的xA 存在唯一的yB ，使得 (x, y)f ，則稱f 是 A 到 B的映射。換言之，f 是一個映射，對任意xA ，存在 yB ，使得 ( x, y)f ；如果對于y, zB 有 ( x, y)f 和 (x, z)f ，則 y=z 。（3） 函數(shù)由映射與函數(shù)的關(guān)系可知，特別地，當(dāng)A、 B 是非空數(shù)集時，且對任意。2歡迎下載精品文檔xA ，存在 yB 使得 f ( x)y 此時，映射f:AB 就是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的概念?；仡欀袑W(xué)函數(shù)概念，中學(xué)用“對應(yīng)”和“對應(yīng)法則”來定義函數(shù)；而高等數(shù)學(xué)則是用“關(guān)系”與“笛卡爾集”來定義

7、函數(shù)。映射的概念反應(yīng)了事物運(yùn)動變化的實(shí)質(zhì)，函數(shù)內(nèi)容貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，而映射是函數(shù)的基礎(chǔ)，關(guān)系又是映射的基礎(chǔ)，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的關(guān)系定義來重新認(rèn)識中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)，了解函數(shù)的本質(zhì)：就是量與量之間的相依規(guī)律的抽象。認(rèn)清了函數(shù)的內(nèi)部實(shí)質(zhì)，有助于教師了解所教學(xué)科，遇到問題時可以用更高的觀點(diǎn)、理解來解決問題。中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)（映射）類型：數(shù)集到數(shù)集的函數(shù)，即數(shù)值是自變量的數(shù)值函數(shù)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)主要的函數(shù)類型，所有的初等函數(shù)都是這一類型。數(shù)（有序數(shù)組）集到點(diǎn)集、點(diǎn)集到數(shù)（有序數(shù)組）集，如數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對應(yīng)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對對應(yīng)等。點(diǎn)集到點(diǎn)集的映射，如幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)等）。幾何圖形映到

8、數(shù)集，如幾何量（長度、面積、體積等）。函數(shù)集到函數(shù)集的映射，如求導(dǎo)。中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于函數(shù)的問題有：確定函數(shù)的定義域、值域，求函數(shù)值、極值等。研究函數(shù)性質(zhì)，如奇偶性，單調(diào)性，周期性，凹凸性等。作函數(shù)圖像研究函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)及其性質(zhì)。求初等函數(shù)零點(diǎn) （解方程或方程組），不等式（組）的解集，解函數(shù)方程（以未知函數(shù)為未知元的方程或方程組）3 高中函數(shù)教學(xué)研究3.1 新課標(biāo)對函數(shù)教學(xué)的要求同以往一樣，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn) 仍將函數(shù)基礎(chǔ)知識安排在高中起始年級，但內(nèi)容要求和處理方式上都發(fā)生了比較大的變化。3.2 函數(shù)內(nèi)容處理的分析。3歡迎下載精品文檔強(qiáng)調(diào)函數(shù)背景及其對本質(zhì)的理解。 無論是引入函數(shù)概念還是函數(shù)的

9、三類模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）的學(xué)習(xí)，教材都從實(shí)例出發(fā)，進(jìn)入新課程的學(xué)習(xí)。以往教材中將函數(shù)作為特殊的映射來處理，學(xué)生同時要接受“對應(yīng)” “映射” “函數(shù)”這么多的概念，還要理清他們的思路是很困難的。而從實(shí)例背景出發(fā)，學(xué)生能經(jīng)歷抽象概括的過程，有利于學(xué)生對函數(shù)概念的建立。加強(qiáng)函數(shù)思想方法的應(yīng)用。 函數(shù)是刻畫顯示世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型， 因此函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。 加強(qiáng)函數(shù)的應(yīng)用， 既突出數(shù)學(xué)模型， 又讓抽象的概念有了實(shí)體的支撐。比如，新增加的內(nèi)容“不同函數(shù)的增長模型”和“二分法”。前者通過比較不同增長模型的差異， 理解不同函數(shù)模型。 遇到簡單問題，會選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠斫鉀Q問題。

10、后者充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系， 并提供了一種求方程近似根的方法。 通過學(xué)習(xí)二分法， 使學(xué)生有了將不同知識相結(jié)合起來的意識。3.3 函數(shù)內(nèi)容的編寫函數(shù)的內(nèi)容包括：函數(shù)概念及其性質(zhì)，基本初等函數(shù)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用。函數(shù)概念并非直接給出， 而是從背景實(shí)例出發(fā)， 采用歸納式的教材組織形式引入。由于函數(shù)概念的抽象性， 學(xué)生理解起來需要一定的時間， 需要在不同層次上、從不同角度給學(xué)生提供理解和鞏固函數(shù)概念的機(jī)會。首先，在分析實(shí)例的共同特征的基礎(chǔ)上概括出函數(shù)定義， 通過討論函數(shù)的表示、基本性質(zhì)初步理解函數(shù)。 然后以三類基本初等函數(shù)來鞏固函數(shù)概念， 從一般概念的認(rèn)識到具體函數(shù)的學(xué)習(xí)。體現(xiàn)了“具體

11、抽象具體”的過程，深化了函數(shù)概念的理解。 最好，從應(yīng)用的角度提升對函數(shù)的理解。 教材安排了函數(shù)的應(yīng)用，包括二分法、不同函數(shù)增長模型的增長差異及建立數(shù)學(xué)模型解決問題。3.4 函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)是一個難點(diǎn)， 教材選擇了有一定代表性的實(shí)例， 先用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)分析前兩個實(shí)例， 學(xué)生自主分析第三個實(shí)例， 然后提出思考， 引導(dǎo)學(xué)生歸納三個實(shí)例的共同屬性，建立函數(shù)概念。在這樣一個據(jù)圖到抽象的過程中，讓學(xué)生充分體驗(yàn)得出概念的過程，更能理解函數(shù)的內(nèi)涵。函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的變化規(guī)律，這種規(guī)律最直觀的獲得來自于圖像，比。4歡迎下載精品文檔如圖像的上升、 下降就是單調(diào)性。 問題在于如何幫助學(xué)生從幾何直觀上升到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的定義。 同樣的，二分法也要經(jīng)歷一個由直觀認(rèn)識到數(shù)學(xué)抽象的過程。 因此，就需要將直觀到嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義分為幾次層次， 為學(xué)生搭建認(rèn)識的臺階， 使他們逐步獲得概念。比如介紹單調(diào)性時，首先給出一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，觀察它們的圖像特征，上升或下降；然后用問題“如何描述函數(shù)圖象的上升、下降呢？”引導(dǎo)學(xué)生用自然語言描述出圖像特征； 最后思考 “如何用解析式描述隨著 x 的增大，相應(yīng)的函數(shù)值隨著減小，” ，將自然語言的描述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言的描述，并一般化得到單調(diào)性的數(shù)學(xué)定義。參考文獻(xiàn)：1 維林金等著，中小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ) . 上