第四章向量組的線性向關(guān)性

1、章節(jié)4課題向量組的線性相關(guān)性計(jì)劃課時(shí)數(shù)16授課班級(jí)04級(jí)計(jì)算機(jī)系專升本10-13教學(xué)目的理解線性組合與線性表示的概念；理解表示矩陣；能對(duì)具體的問題求解組合系數(shù)；線性相關(guān)的定義；初步掌握線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；最大無關(guān)組、秩及其求法；三秩相等定理；齊次線性方程組的解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系；齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理、系數(shù)矩陣的秩與解空間維數(shù)之間的關(guān)系；非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理。向量空間的概念；生成子空間及其性質(zhì)；基、維數(shù)與坐標(biāo)；基（坐標(biāo)）變換公式。教學(xué)重點(diǎn)線性相關(guān)的概念；最大無關(guān)組、秩及其求法；基礎(chǔ)解系及其求法；生成子空間、過渡矩陣。教學(xué)難點(diǎn)線性相關(guān)；最大無關(guān)組；基礎(chǔ)解系及其求法；過渡矩陣。

2、教學(xué)方法和手段 講授、習(xí)題、答疑備注教 學(xué) 內(nèi) 容批注§1向量組及其線性組合在空間解析幾何中，我們通過建立坐標(biāo)系使一個(gè)矢量與它的坐標(biāo)（是一個(gè)三元有序數(shù)組）一一對(duì)應(yīng)起來，從而把矢量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有序數(shù)組（即坐標(biāo)）的代數(shù)運(yùn)算這種思想的推廣在線性代數(shù)中極為重要在此首先將三元有序數(shù)組推廣到一般的元有序數(shù)組，建立元向量的概念一、維向量的概念定義 個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，其中稱為這元向量的第i個(gè)分量，常用或等表示元向量通常，一個(gè)向量可寫成一列也可寫成一行并稱為元列向量而稱為元行向量以后若不加聲明，本書中提到的元向量均指元列向量二、維向量的運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)元向量，若它們的各分量都對(duì)應(yīng)相等，即

3、，則稱與相等，記作教 學(xué) 內(nèi) 容批注定義 設(shè)有兩個(gè)元向量 k為數(shù)，則元向量 分別稱為與的和及k與的數(shù)量乘積，分別記作及k三、維向量的運(yùn)算律 為維向量，為實(shí)數(shù)，0為零向量 四、維向量的實(shí)際意義 我們稱維向量的全體組成的集合 為維向量空間。維向量空間有著廣泛的實(shí)際意義。例如為確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要6個(gè)參數(shù)（構(gòu)成6維向量）。表示飛機(jī)重心在空間的位置需要三個(gè)參數(shù)， 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 還有三個(gè)參數(shù)是：1） 機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角2） 機(jī)身的仰角3） 機(jī)翼（以機(jī)身為軸）的轉(zhuǎn)角例題 計(jì)算五、維向量組定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合叫做向量組例如： 一個(gè)矩陣的全體列向量是一個(gè)含有個(gè)維列向量的向量組，它

4、的全體行向量是一個(gè)含有個(gè)維行向量的向量組；又如線性方程的全體解當(dāng)時(shí)是一個(gè)含有無限多個(gè)維列向量的向量組。矩陣的列向量組和行向量組都是只含有有限個(gè)向量的向量組；反之，一個(gè)含有有限個(gè)向量的向量組總可以構(gòu)成一個(gè)矩陣。例如：個(gè)維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣, 個(gè)維行向量所組成的向量組，構(gòu)成一個(gè)矩陣 教 學(xué) 內(nèi) 容批注六、線性組合定義：給定向量組，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)，向量：稱為向量組的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。 線性表示：給定向量組和向量，如果存在一組數(shù)使得：則向量是向量組的線性組合，這時(shí)稱向量能由向量組線性表示。 定理1 向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。 七、等

5、價(jià)向量組定義：設(shè)有兩個(gè)向量組及，若組中的每個(gè)向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示。若向量組和向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。把向量組和所構(gòu)成的矩陣依次記作和，組能由線性表示，即對(duì)每個(gè)向量存在數(shù)，使教 學(xué) 內(nèi) 容批注從而 這里，矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣。 由此可知，若，則矩陣的列向量能由矩陣的列向量線性表示，為這一表示的系數(shù)矩陣：同時(shí)，的行向量組能由的行向量組線性表示，為這一表示的系數(shù)矩陣： 綜合上面的討論，我們得出矩陣經(jīng)過初等行變換變成矩陣，則的每個(gè)行向量都是的行向量的線性組合，即的行向量組能由的行向量線性表示，由于初等變換可逆，則矩陣亦可經(jīng)處等行變換變?yōu)椋?/p>

6、從而的行向量組也能由的行向量組線性表示，于是的行向量組與的行向量組等價(jià)。 同理可知，若矩陣經(jīng)過初等列變換變成矩陣，則的列向量組與的列向量組等價(jià)。 等價(jià)矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組是同 解方程組。 根據(jù)定義，向量組能由向量組線性表示，其含義是存在矩陣，使，也就是矩陣方程有解。 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 定理：向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩，即 推論 向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是 其中和是向量組和所構(gòu)成的矩陣。 定理 ：設(shè)向量組能由向量組線性表示，則 （講書上的例子）§2向量組的線性相關(guān)性一、定義定義：給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)，使則稱向量組是線性相關(guān)的，否

7、則稱它線性無關(guān)。1） 一個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是。2） 兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量成比例。3） 三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三個(gè)向量共面。4） 一個(gè)向量是線性無關(guān)的充分必要條件是。5） 兩個(gè)向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量不成比例。 例題： 判斷下列向量組的線性相關(guān)性。 教 學(xué) 內(nèi) 容批注二、線性相關(guān)的基本定理 定理：向量組線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余的個(gè)向量線性表示。 證明：充分性，不妨設(shè)可由其余的向量線性表示，即有 從而 必要性，設(shè)線性相關(guān)，即有不全為零的數(shù)，使： 不妨設(shè)，從而有 討論向量組的線性相關(guān)性。定理： 設(shè) 線性無關(guān)，而

8、線性相關(guān)，則能由線性表示，且表示法是唯一的。三、 線性相關(guān)性的判定1、方程組矩陣向量組的關(guān)系教 學(xué) 內(nèi) 容批注 即： （2）將按列分塊，由（2）得到 顯然由（3）式知道，若能由線性表示，則線性方程組（1）有解，若不能由線性表示，則線性方程組（1）無解。 當(dāng)時(shí)，（3）式變?yōu)?顯然由（4）可知，若線性相關(guān)，則它所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組有非零解，若線性無關(guān)，則僅有零解。 綜上所述，向量能不能由線性表示，則說明它所對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組有沒有解的問題；向量組 線性相關(guān)性，則說明它所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組有什么樣的解的問題。 例如：向量組 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 顯然，所以線性方程組 向量組 由于線性無關(guān)，所以

9、不能由線性表示，即線性方程組 2、線性相關(guān)性的判定定理：向量組，線性相關(guān)的充要條件是矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)向量組線性無關(guān)的充要條件是證 由定義可知，元向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，取決于向量方程教 學(xué) 內(nèi) 容批注有非零解還是只有零解記，即有 這是一個(gè)齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解的充要條件是，只有零解的充要條件是從而結(jié)論成立 特別當(dāng)時(shí)，為階方陣，因此元向量組線性相關(guān)的充要條件是0 （講書上的例子） 定理：（1）向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)。反言之，若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)。（2）個(gè)維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)小于向量組個(gè)數(shù)時(shí)一定線性相關(guān)，特別地個(gè)維向量一定線性相關(guān)。

10、67;3向量組的秩一、向量組的秩的概念定義： 設(shè)有向量組，如果中能選出個(gè)向量，滿足（1） 向量組線性無關(guān)（2） 向量組中任意個(gè)向量（如果中有 個(gè)向量教 學(xué) 內(nèi) 容批注的話）都線性相關(guān)。那么稱向量組是向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組），最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記作.1、 零向量組的秩為02、 一個(gè)向量組的秩通常不唯一定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組秩。 例如 設(shè)向量組 把向量組拼成矩陣，即 顯然，知線性無關(guān)；由知道線性相關(guān)。因此是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 此外， 及可知和都是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 性質(zhì)1 向量組是線性無關(guān)的充分必要條件是向量組

11、的秩數(shù)等于向量組的個(gè)數(shù)。 性質(zhì)2 向量組與其最大無關(guān)組等價(jià)。 例題：全體維向量組構(gòu)成的向量組記作，求的一個(gè)最大無教 學(xué) 內(nèi) 容批注關(guān)組和的秩。 例題 設(shè)矩陣 求矩陣的列向量的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不是最大無關(guān)組用最大無關(guān)組線性表示。定理 設(shè)向量組能由向量組線性表示，則向量組的秩不大于向量組。§4線性方程組的解結(jié)構(gòu)一、 齊次線性方程組 稱為齊次線性方程組。 若為方程的解，則稱為 方程組的解向量。 性質(zhì)1：齊次方程組的兩個(gè)解的和仍是方程組的解。即：教 學(xué) 內(nèi) 容批注性質(zhì)2： 把方程組的全體解組成的集合記作。如果能求得的一個(gè)最大無關(guān)組：則方程組的全部解就是這稱為方程組的通解。 定義：若齊次方

12、程組的有限個(gè)解滿足： 線性無關(guān) 方程組的任意解都可由線性表示；則稱是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。也就是說，我們將解空間的基稱為基礎(chǔ)解系，此時(shí)通解就是基礎(chǔ)解系的線性組合，即為： 二、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 1、行最簡形 ，設(shè) ，,且不妨設(shè) 中最左上角的 r 階子式不為零。則經(jīng)有限次行初等變換，矩陣 A 化為：顯然：，教 學(xué) 內(nèi) 容批注 真未知量，自由未知量構(gòu)成一向量空間，其中含有個(gè)向量，最簡單的一組為：教 學(xué) 內(nèi) 容批注線性無關(guān) 方程組的任意解都可由線性表示；是解空間的一組基，也就是一組基礎(chǔ)解系。從推導(dǎo)過程可以看出：基礎(chǔ)解系不惟一，但所含向量個(gè)數(shù)相等，都等于 n - r(A). 定理：若齊次

13、線性方程組的系數(shù)矩陣的秩則它有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為。注意：基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為：未知數(shù)個(gè)數(shù)減系數(shù)矩陣的秩。 推論1：對(duì)齊次線性方程組，有 若則方程組有唯一零解； 若，則方程組有無數(shù)多解，其通解為：是解空間的一組基礎(chǔ)解系。例1：求方程組的通解 例2：求方程組的例題證明推論2：n 元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系 數(shù)行列式為零。教 學(xué) 內(nèi) 容批注三、非齊次線性方程組（方程組的矩陣形式）（非齊次方程組的導(dǎo)出組）非齊次線性方程組的有解判定定理：方程組有解線性表示 非齊次線性方程組的解法1、 非齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1：非齊次方程組（1）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組的解性質(zhì)

14、2：非齊次方程組（1）的一個(gè)解與其導(dǎo)出組的一個(gè)解的和是 非齊次方程組（1）的解。2.非齊次線性方程組的通解定理：設(shè)為非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出教 學(xué) 內(nèi) 容批注組的解，則非齊次線性方程組的通解為：為任意常數(shù)， 推論：，方程組有唯一解。 ，方程組有無窮多個(gè)解，方程組無解例1：求解方程組例2：求方程組的通解非齊次方程組的求解步驟（1） 寫出，將化為階梯形陣；從而求出以判斷是否有解；（2） 在有解時(shí)，進(jìn)一步將化為行最簡形，確定真未知量與自由未知量，并寫出同解方程組；（3） 先令自由未知量為零，求出真未知量的值，從而求出特解，再給自由未知量取值，以求基礎(chǔ)解系；并寫出通解。§5 向量空間1、 定義設(shè)是維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法以及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么稱集合為向量空間。（舉書上的例子 2.子空間 設(shè)有向量空間及，若，就稱為的子空間。教 學(xué) 內(nèi) 容批注3.基、維數(shù)和坐標(biāo) 設(shè)為向量空間，如果個(gè)向量且滿足： （i）線性無關(guān) （ii）中任意一個(gè)向量都可由線性表示那么，向量組就稱為向量空間的一個(gè)基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間。 如果在向量空間中取定一個(gè)基，那么中任意一