數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)學(xué)生版

1、五、數(shù)列一、數(shù)列定義：數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，那么它就必定有開頭的數(shù)，有相繼的第二個(gè)數(shù)，有第三個(gè)數(shù)， ，于是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào)；反過來，每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)于數(shù)列中的一個(gè)數(shù)。因此，數(shù)列就是定義在正整數(shù)集N * ( 或它的有限子集1,2,3,，n) 上的函數(shù) f(n), 當(dāng)自變量從 1 開始由小到大依次取正整數(shù)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值為f(1), f(2), ；通常用 an 代替 f(n) ，于是數(shù)列的一般形式常記為ai ,a2, 或簡記為an,其中 an 表示數(shù)列an 的通項(xiàng)。注意： ( 1)a.與 an 是不同的概念，an表示數(shù)列 ai,a2/ , 而 a.表示的是數(shù)列的第n

2、 項(xiàng);(2 ) 數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù),它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值。( 3) an 和 Sn 之間的關(guān)系： an*35=1) 一Sn4( n 乏 2)如：已知 an 的 Sn 滿足 lg(S n -1) = ng N *)，求 an、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì):等差數(shù)列等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它 的前一項(xiàng)的如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的定義差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列*a*an-ad( n N ,n >2)，或n -q

3、(n 壬 N ,n2) ，或 an)n =公差(比)an + _ a n - d匹勺 ( q 式 o ) ；an已門 =3m +Bn = 9 m通項(xiàng)公式d = =由錯(cuò)項(xiàng)相減法推得由倒序相加法推得 q 式 1 , Sn =-=求和公 式Sn = -=- -q = 1 , Sn =-1 -右 a. 為等差數(shù)列 a*a n+b ，貝 V a = ,b用函數(shù)的思想理解 = ; 通 項(xiàng)公式 等差數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開的一群孤立的點(diǎn)等差數(shù)列 an , Sn =A n2+Bn+C ,則C=;A=;B=;用函數(shù)的若C式0，說明：；思想 理解求 和公式(n,S n)在二次函數(shù)的圖象上，是一群孤立的點(diǎn)。an

4、 為遞增數(shù)列二： an為遞減數(shù)列 =:增減性an 為常數(shù)列二 -。任意兩個(gè)數(shù)a, b 有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即為：兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。*an = a2 *=*an-m= _ =2a 中若 m+n = p+q ，貝 U:特別當(dāng) m + n = 2 p ，則:等差( 比) 數(shù) 列在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的性順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的質(zhì)項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列。女口： aj ,a 3,a5 ,：問公差為ai +a? +a3,a4 +a§+a6,a7 +a $ g若 an為等比數(shù)列 an= ca n，貝 ya =, C

5、 =:若 an 為等比數(shù)列， Sn = Aa n + B ,則 a =:A =:B =:(其中的系數(shù)與為互為相反數(shù)，這是公式一很重要特點(diǎn)，注意前提條件 qH0,q1 。 )若 BH A，說明：等比數(shù)列 an , Sn = 3 n + a，則 a= _； an 為遞增數(shù)列二: an 為遞減數(shù)列二: an 為常數(shù)列二: an 為擺動(dòng)數(shù)列二:兩個(gè)數(shù) a, b 的等比中項(xiàng)為：( ab A0 )a1an = a2 =n ma 亠2=a 中若 m + n = p+q ，貝卩:特別當(dāng) m + n = 2p，則:在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的 項(xiàng)按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列 仍然是等比數(shù)列，剩下的項(xiàng)按

6、原順序構(gòu) 成的數(shù)列也不一定是等比數(shù)列。如: a1 ,a3,a5"': 問公比為印 +a? +a3,a4+a6 ,a7 +a$ +a g是數(shù)列；公差為：是數(shù)列；公比為：-2 -a1 a2 a3, a4 a5 a6, a7 a$ a?是數(shù)列；公比為；Sm ，S2m - S m ，S3m - S 2m ，成等差數(shù)列。a1 + a 4 + a7 ,a 2 + a 5 + a 8,a 3+ a6 + a9a1 + a 4 + a 7,a 2 + a 5 + a8,a 3 + a 6 + a9 是數(shù)是數(shù)列；公比為；列；公差為；右數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，則右數(shù)列a n與bn均為等差數(shù)列

7、，則manbn仍為等比數(shù)列，公比為；ma n +kb n仍為等差數(shù)列，公差為_ ；man仍為等比數(shù)列，公比為bn如：（ 1）在等差數(shù)列an中Sn =10 ,S2n =30 ，則 Ssn 二 _ ；（2）在等比數(shù)列an中Sn =10 ,S2n=30 ，則 二 _；另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（ ）等差數(shù)列a.中，若an 二 m,a m 二 nm = n，則 _am 寸二；（ 2）等差數(shù)列an 中，若Sn二 m, S m _ _ 二 nm =n，則Sm =；（ 3）等差數(shù)列an中，若 Sn =Smm ： n，則 a m 卅 *a m42 +* a n = -； Sm+ =（4）右 Sp =

8、 S q，貝 y n = _時(shí)，Sn 最大。(5 ) 若an與bn均為等差數(shù)列，且前n 項(xiàng)和分別為Sn 與 Tn ,貝 y = S- . ambmT 'b n(6 ) 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2nn a1 a2n n的等差數(shù)列 an , 有 S2n（an 與時(shí)為中=尹屮）間的兩項(xiàng)）S 偶一S奇二項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n -1 的等差數(shù)列an，有 S2nv =2n -1an （ an 為中間項(xiàng)）-3 -_ ； S 奇+ S 偶 =等比數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意:（1 若 an是等比數(shù)列 ,則 n( =0) , | a n |也是等比數(shù)列 ,公比分別 _ ；若 an是等比數(shù)列，則2an 也是等比數(shù)列，公比分別三

9、、判定方法：（ 1）等差數(shù)列的判定方法：定義法：an1 an =d 或 an an =d（ n 亠 2 ） （ d 為常數(shù)）二 an 是等差數(shù)列 中項(xiàng)公式法： 2an 1= a a a是等差數(shù)列nnn 通項(xiàng)公式法： a. = pn ? q（ p,q 為常數(shù)） = a. 是等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和公式法： Sn = An 2 Bn（代 B 為常數(shù)） =an 是等差數(shù)列注意：是用來證明an是等差數(shù)列的理論依據(jù)。（ 2）等比數(shù)列的判定方法：ao 定義法：二 q 或 =d （n _ 2 ） （ q 是不為零的常數(shù)）二an 是等比數(shù)列anan 中項(xiàng)公式法： ani 2 二 an an? 2（anan ?

10、ian.2 =0 ）二an 是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法： an 二 cq n（ c,q 是不為零常數(shù)）= a. 是等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和公式法： Sn =kq 2 -k（ k 二旦是常數(shù)）二 an 是等差數(shù)列q -1注意：是用來證明an是等比數(shù)列的理論依據(jù)。四、數(shù)列的通項(xiàng)求法：（ 1） 觀察法：如：（ 1） 0.2 ,0.22,0.222 , （ 2） 21,203,2005,20007,（ 2） 化歸法：通過對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。遞推式為 an 1 = a n d 及 an* =qa n （ d ,q 為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。-4 - 遞推式為 an .1 = a

11、n ? f (n) : 迭加法1 1如：已知 an 中 ai, an 1 = an2，求 an24n2 1 遞推式為 an q = f (n)a n: 迭乘法n +1、如：已知 an 中 a1 =2 , a* 1an，求 ann 遞推式為 an 彳=pa n ? q (p, q 為常數(shù) ) ：an* = pa n + q構(gòu)造法 ： 1、由 n*H n w 相減得 ( anH2 a n(= p(a an)，則0n_2 =pa +q an % -an 為等比數(shù)列。n、設(shè) (an 1 t p(a n t), 得到 pt -1 = q ,7，則 an為等比數(shù)列。如：已知 a1 =1, a n 勺. =

12、2a n 5，求 an遞推式為an 4 = pa n ' qn (p,q 為常數(shù) ) ：兩邊同時(shí)除去n:： 1 an 1qa n轉(zhuǎn)化為 bn 1 bn再用法解決。如：已知 an 中,a1， an 1= 1 anG) n 1 ，求 an32遞推式為an 2二 pan 1qanp, q 為常數(shù) ) ：(將 anpan 1 qan 變形為an tanHt =s(a n 出 tan)，可得出 丿s,t, 于是 an 1 -ta n是公比為 s 的等比數(shù)列。2 an，求 an如：已知 a* 中， a1 -1,a - 2 ， an 2 an 13S1, n = 1(3 ) 公式法：運(yùn)用 an =j

13、Sn - Sn 4 , n A 2已知 Sn =3n 2 5n 1 ，求 an; 已知 an 中,S3 2a n，求 an ；p-1pqp 解出-5 -2Sn(n_2) ，求 an已知 an 中 , ai =1,a n2Sn -1五、數(shù)列的求和法：( 1) 公式法：等差 ( 比 ) 數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式： 12 n 二 _ ；2& 應(yīng)2 n(n 1)(2n 1),3 心心3n(n 1), 2 123 川 汕 n: 123 川 汕 n 二6 2(2) 倒序相加 ( 乘) 法：女口：求和： Sn =C0 ? 2C 1 - 3Cn ( n ? 1)C ：；已知 a,b 為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若

14、在a,b 之間插入 n 個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以a 為首項(xiàng)， b 為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這n 個(gè)正數(shù)的積 pn ；(3 ) 錯(cuò)位相減法：女口：求和：S = x 2x 2 3x 3 亠 亠 nx n1(4 ) 裂項(xiàng)相消法 :ann(n k)1 1 1如：S=n (n 1)1X22><33X4丄?丄132 4n (n 2)若 an，則 Sn(5) 并項(xiàng)法：如：求 S100 =1 -2 ? 3-4? 99-100(6 ) 拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列 an中， an =10 n 2n T , 求 Sn ，六、數(shù)列冋題的解題的策略:( 1) 分類討論問題：在等比數(shù)列中，用前n 項(xiàng)和公式時(shí)，要對(duì)公比q 進(jìn)行討論；只有 q = 1時(shí)才能用前 n 項(xiàng)和公式， q = 1 時(shí) $ = na 1已知 Sn 求 an 時(shí)，要對(duì) n =1, n 一 2 進(jìn)行討論；最后看a1 滿足不滿足an(n - 2) ，若滿足 an 中的