圓錐曲線單元測試

1、圓錐曲線單元質(zhì)量評估（120分鐘 150分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知橢圓x225+y216=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點的距離為()A.2B.3C.5D.72.橢圓x2m2+y23-m=1的一個焦點為(0,1),則m的值為()A.1B.-1±172C.-2或1D.以上均不對3.(2013·瀏陽高二檢測)如圖,共頂點的橢圓,與雙曲線,的離心率分別為e1,e2,e3,e4,其大小關(guān)系為()A.e1<e2<e4<e3B.e1<e2<e3&l

2、t;e4C.e2<e1<e3<e4D.e2<e1<e4<e34.(2012·福建高考)已知雙曲線x24-y2b2=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于()A.5B.4C.3D.55.(2013·大理高二檢測)若直線l過點(3,0)與雙曲線4x2-9y2=36只有一個公共點,則這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條6.已知兩點M(-2,0),N(2,0),點P滿足PM·PN=12,則點P的軌跡方程為()A.x216+y2=1B.x2+y2=16C.y2-x2=8D.x2+y2=8

3、7.拋物線y=x2的一組斜率為2的平行弦中點的軌跡是()A.圓B.橢圓C.拋物線D.射線(不含端點)8.(2012·新課標全國卷)等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y2=16x的準線交于A,B兩點,|AB|=43,則C的實軸長為()A.2B.2C.4D.89. (2013·天津高考)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,AOB的面積為3,則p=()A.1 B.32 C.2 D.310.已知拋物線y2=4px(p>0)與雙

4、曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有一個相同的焦點F,點A是兩曲線的交點,且AFx軸,則雙曲線的離心率為()A.5+12B.22+12C.3+1D.2+111.(2012·山東高考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為()A.x28+y22=1B.x212+y26=1C.x216+y24=1D.x220+y25=112.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內(nèi)接矩形的最大面積的取值范圍是3b2,4b2,則

5、該橢圓的離心率e的取值范圍是()A.33,22B.53,32C.22,53D.33,32二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.(2012·天津高考)已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與雙曲線C2:x24-y216=1有相同的漸近線,且C1的右焦點為F(5,0),則a=,b=.14.(2013·南昌高二檢測)若橢圓x2a2+y2b2=1過拋物線y2=8x的焦點,且與雙曲線x2-y2=1有相同的焦點,則該橢圓的方程為.15.(2013·遼寧高考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>

6、;b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=45,則C的離心率e=.16.(2013·安陽高二檢測)直線y=x+3與曲線y29-x|x|4=1交點的個數(shù)為.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知橢圓的頂點與雙曲線y24-x212=1的焦點重合,它們的離心率之和為135,若橢圓的焦點在x軸上,求橢圓的方程.18.(12分)(2013·汝陽高二檢測)k代表實數(shù),討論方程kx2+2y2-8=0所表示的曲線.19.(12分)(2012

7、·北京高考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為22,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.(1)求橢圓C的方程.(2)當AMN的面積為103時,求k的值.20.(12分)(2013·嘉峪關(guān)高二檢測)設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過M(2,2),N(6,1)兩點,O為坐標原點.(1)求橢圓E的方程.(2)若直線y=kx+4(k>0)與圓x2+y2=83相切,并且與橢圓E相交于A,B兩點,求證:OAOB.21.(12分)(2012·廣東高考)在平面直角坐標系xOy

8、中,已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程.(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.22. (12分)(2013·山東高考)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為22.(1)求橢圓C的方程.(2)A,B為橢圓C上滿足AOB的面積為64的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P, 設(shè)OP=tOE,求實數(shù)t的值.答案解析1.【解析】選D.根據(jù)定義可知|PF1|+|PF2|=2a=10,P到另一焦點

9、的距離是10-3=7.2.【解析】選C.橢圓一個焦點是(0,1),3-m-m2=1,即m2+m-2=0,解得m=1或m=-2.3-m>m2>0,m=1或m=-2均符合題意.【誤區(qū)警示】解答本題容易習慣性地認為m>0而把m=-2舍去.應(yīng)該代入驗證,確保不漏解.3.【解析】選A.由橢圓、雙曲線的離心率的定義知,e3,e4(1,+),e1,e2(0,1),再根據(jù)橢圓的扁平程度知e2>e1,而雙曲線的開口越大離心率就越大,e3>e4,故選A.4.【解題指南】利用拋物線的標準形式求出焦點.對于雙曲線的標準方程,只需注意到c最大,同時也滿足一個平方關(guān)系式即可.同時要熟知漸近線

10、的方程,焦點在x軸上時,方程是y=±bax.【解析】選A.y2=12x的焦點為(3,0),由題意知,4+b2=9,b2=5,取雙曲線的一條漸近線為y=52x,即5x-2y=0,所以雙曲線的焦點到其漸近線的距離為d=|3×5|5+4=5.【變式備選】(2012·山東高考)已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為()A.x2=833yB.x2=1633yC.x2=8yD.x2=16y【解題指南】利用離心率求出漸近線方程,而拋物線

11、焦點到兩條漸近線的距離相等,再利用點到直線的距離公式求出p.【解析】選D.因為雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以e=ca=2,所以c=2a,所以c2=a2+b2=(2a)2,b=3a,雙曲線的漸近線為y=±bax,即y=±3x.拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(0,p2)到雙曲線C1的漸近線y=3x的距離為d=|p2|(3)2+(-1)2=2,所以p=8,所以拋物線C2的方程為x2=16y.5.【解析】選C.因點(3,0)恰是雙曲線4x2-9y2=36的右頂點,所以過(3,0)與雙曲線只有一個公共點的直線有3條,

12、其中一條是切線,另外兩條是平行于漸近線的直線.【舉一反三】若把本題中點(3,0)改為(3,2),其他條件不變,這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條【解析】選B.因為點(3,2)在雙曲線的一條漸近線上,且右頂點為(3,0),所以過該點與雙曲線只有一個公共點的直線只有兩條,一條為x=3,另一條為y=-23x.6.【解題指南】根據(jù)曲線方程及平面向量的定義,直接求軌跡方程.【解析】選B.設(shè)P(x,y),PM=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y).由PM·PN=12得x2-4+y2=12即x2+y2=16.【舉一反三】本題中,若把PM·PN=12改為|PM|=2|P

13、N|,點P的軌跡如何?【解析】令P(x,y),則(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2整理得(x-103)2+y2=649.點P的軌跡是以(103,0)為圓心,以83為半徑的圓.7.【解析】選D.設(shè)弦的中點為(x,y)且兩端點設(shè)為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=2x,由y1=x12,y2=x22,得y1-y2=(x1+x2)(x1-x2),k=y1-y2x1-x2=x1+x2=2x=2,即x=1(在拋物線內(nèi)的部分)【一題多解】設(shè)直線的方程為y=2x+b且弦的中點為(x,y),由y=2x+b,y=x2,得x2-2x-b=0,x1+x2=2.即x=x1+x22=1,故軌跡為直線x=

14、1在拋物線內(nèi)的部分.8.【解題指南】可先設(shè)出等軸雙曲線C的方程,然后利用|AB|的長及拋物線的準線方程,得到A,B兩點的坐標,代入所設(shè)的曲線C方程,可求得曲線C的方程,最后求得實軸長.【解析】選C.設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2a2=1,拋物線的準線為x=-4,且|AB|=43,故可得A(-4,23),B(-4,-23),將點A坐標代入雙曲線方程得a2=4,故a=2,實軸長為4.9.【解析】選C.如圖,A,B兩點是雙曲線的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線的交點,其坐標分別為A(-p2,bp2a),B(-p2,-bp2a),故AOB的面積為bp24a=3.又因為雙曲線的離心率

15、為2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=3a,所以p=2. 10.【解題指南】利用點A在兩條曲線上,找出A的橫縱坐標之間的關(guān)系建立等式求出離心率.【解析】選D.由條件可知,點A的坐標可以為(p,2p),又A在雙曲線上,坐標又可表示為(c,b2a).故b2a=2c,整理得e2-2e-1=0,解得e=2+1.【變式備選】(2012·成都高二檢測)設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為F1,F2,若曲線上存在點P滿足|PF1|F1F2|PF2|=432,則曲線的離心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32【解題指南】根據(jù)|PF1|F1F2|PF2|=432,設(shè)出|PF1|,|F

16、1F2|,|PF2|,然后按曲線為橢圓或者雙曲線,利用定義求離心率.【解析】選A.|PF1|F1F2|PF2|=432,設(shè)|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,其中|F1F2|=2c=3k,c=3k2.若圓錐曲線為橢圓,則|PF1|+|PF2|=2a=6k,a=3k,e=ca=32k3k=12;若圓錐曲線為雙曲線,則|PF1|-|PF2|=2a=2k,a=k,e=ca=32kk=32,e的取值為12或32.11.【解題指南】利用橢圓的對稱性及雙曲線x2-y2=1的漸近線為y=±x找出雙曲線x2-y2=1的漸近線y=±x與橢圓C的四個交點的特點,然后加上條件

17、離心率為32,即可求得橢圓C的方程.【解析】選D.由雙曲線x2-y2=1的漸近線為y=±x,以及橢圓的對稱性可知以漸近線與橢圓的四個交點為頂點的四邊形為正方形,因為四邊形面積為16,所以邊長為4,所以橢圓過點(2,2).所以4a2+4b2=1,ca=32,解得a2=20,b2=5,所以橢圓C的方程為x220+y25=1.12.【解題指南】利用基本不等式求出S的最值,然后通過解不等式求得e的范圍.【解析】選B.設(shè)橢圓上一點P坐標為P(x0,y0),則以P為一個頂點的內(nèi)接矩形面積S=4|x0y0|,又x02a2+y02b2=1,S=4|x0|y0|=4ab·|x0a|y0b|4

18、ab·x02a2+y02b22=2ab,由3b22ab4b2,知12ba23,e=1-(ba)253,32.13.【解題指南】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式求解.【解析】由題意可得ba=42,a2+b2=5,解得a=1,b=2.答案:1214.【解析】雙曲線x2-y2=1的焦點為(-2,0),(2,0),由條件知a2-b2=2,又拋物線的焦點為(2,0),由條件知a=2,a2=4,b2=2,故橢圓方程為x24+y22=1.答案:x24+y22=115.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF,又|AB|=10,|AF|=6,co

19、sABF=45,解得|BF|=8.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點為F',連接AF',BF',根據(jù)橢圓的對稱性可得四邊形AFBF'為矩形,則其對角線|FF'|=|AB|=10,且|BF|=|AF'|=8,即焦距2c=10.又據(jù)橢圓的定義,得|AF|+|AF'|=2a,所以2a=|AF|+|AF'|=6+8=14.故離心率e=ca=2c2a=57.答案:57【拓展提升】拋物線定義的應(yīng)用“給焦點,看準線;給準線,看焦點”,充分顯示了拋物線中的解題規(guī)律,

20、即拋物線上的點到焦點的距離等于它到準線的距離.焦半徑公式:|PF|=x0+p2(以y2=2px(p>0)為例);過焦點弦長(以y2=2px(p>0)為例):|AB|=xA+xB+p.16.【解題指南】采用數(shù)形結(jié)合法.【解析】當x0時,方程y29-x|x|4=1化為y29-x24=1;當x<0時,y29-x|x|4=1化為y29+x24=1,曲線y29-x|x|4=1是由半個雙曲線和半個橢圓組成的圖形,結(jié)合圖象可知(如圖),直線y=x+3與曲線y29-x|x|4=1的公共點的個數(shù)為3.答案:3【拓展提升】直線與圓錐曲線位置的判斷判斷直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系,一般用數(shù)形結(jié)合法.

21、當直線的斜率不存在或為0時,用圖形易判定直線與圓錐曲線間的關(guān)系;當直線的斜率存在且不為0時,可聯(lián)立方程用判別式確定方程根的個數(shù),進而確定直線與圓錐曲線間的關(guān)系,做題時要特別注意下面幾點:(1)若直線過橢圓內(nèi)一點,則直線與橢圓一定相交.(2)直線與雙曲線相交有兩種情形,一是兩交點在雙曲線的一支上,二是兩交點分居兩支.直線與雙曲線只有一個公共點也有兩種情形,一是直線與雙曲線相切(對應(yīng)判別式為0),二是直線與雙曲線相交只有一個交點(對應(yīng)方程二次項系數(shù)為0).(3)直線與拋物線只有一個公共點,也有兩種情形,一是直線與拋物線相交,(此時直線與對稱軸平行或重合),二是直線與拋物線相切(對應(yīng)判別式為0).1

22、7.【解析】設(shè)雙曲線y24-x212=1的焦距為2c1,離心率為e1,則有:c12=4+12=16,c1=4.雙曲線的焦點為F1(0,-4),F2(0,4)且e1=c12=2.橢圓的焦點在x軸上,設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),其離心率為e,焦距為2c,e=135-2=35,即ca=35又F1(0,-4),F2(0,4)為其頂點,b=c1=4又a2=b2+c2由可得a2=25,b2=16,所求橢圓方程為x225+y216=1.18.【解析】當k<0時,曲線y24-x2-8k=1為焦點在y軸上的雙曲線;當k=0時,曲線2y2-8=0為兩條平行于x軸的直線y

23、=2或y=-2;當0<k<2時,曲線x28k+y24=1為焦點在x軸上的橢圓;當k=2時,曲線x2+y2=4為一個圓;當k>2時,曲線y24+x28k=1為焦點在y軸上的橢圓.19.【解題指南】第(1)問,利用橢圓中a,b,c與e的關(guān)系即可求出橢圓方程;第(2)問,AMN的面積等于x軸上下兩個小三角形面積之和.【解析】(1)a=2,e=ca=22,c=2,b=2,橢圓C:x24+y22=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由y=k(x-1),x24+y22=1,消y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.直線y=k(x-1)過橢圓內(nèi)點(1,0),>

24、0恒成立,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,SAMN=12×1×|y1-y2|=12×|kx1-kx2|=|k|2(x1+x2)2-4x1x2=|k|216+24k21+2k2=103.即7k4-2k2-5=0,解得k=±1.【變式備選】(2012·安徽高考)如圖,F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓C的頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,F1AF2=60°.(1)求橢圓C的離心率.(2)已知AF1B的面積為403,求a,b的

25、值.【解題指南】(1)由F1AF2=60°a=2ce=ca=12.(2)根據(jù)橢圓的定義設(shè)|BF2|=m,則|BF1|=2a-m,由余弦定理求出m,結(jié)合三角形的面積公式即可求出a,b的值.【解析】(1)F1AF2=60°a=2ce=ca=12.(2)設(shè)|BF2|=m(m>0),則|BF1|=2a-m,在BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°,即(2a-m)2=m2+a2+am,m=35a.AF1B的面積S=12×|F2F1|×|AB|×sin60&#

26、176;12×a×(a+35a)×32=403a=10,c=5,b=53.20.【解析】(1)因為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過M(2,2),N(6,1)兩點,所以4a2+2b2=1,6a2+1b2=1,解得1a2=18,1b2=14,所以a2=8,b2=4.橢圓E的方程為x28+y24=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得:41+k2=263,k=5.聯(lián)立y=5x+4,x28+y24=1,化簡得11x2+165x+24=0,有x1+x2=-16115,x1x2=2411.x1x2+y1y2=x1x2+(5x1+4)

27、(5x2+4)=6x1x2+45(x1+x2)+16=0,OAOB.21.【解題指南】(1)根據(jù)題意可知c=1,b=1,從而可解出a的值,進而得橢圓C1的方程.(2)由題意得:直線的斜率一定存在且不為0,設(shè)出直線方程,分別與橢圓方程和拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)直線與橢圓和拋物線相切時滿足判別式等于0,可求得直線l的方程.【解析】(1)由題意得c=1,b=1,a=b2+c2=2,橢圓C1的方程為x22+y2=1.(2)由題意得:直線的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,因為橢圓C1的方程為x22+y2=1,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,直線l與橢圓C1相切,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,即2k2-m2+1=0 直線l與拋物線C2:y2=4x相切,則y=kx+m,y2=4x,消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1 由解得k=22,m=