《非線性控制系統(tǒng)B》ppt課件

1、 xxx; y xx kx; ym00sgn 齒輪間隙b ; ; bk; bkmii0sgn020200 xxx-kxysgn0 0 x , max ; b- 0 x , max ; b max ; bsgnx 0 x , axma- ; 0 0 x , maxa- ; 0y01xxx tBtAtBtAAy2cos2sincossin2211011111sincossintYtBtAyttdyBttdyAABBAYcos1sin1arctan,20120111121211 efef11 11212111arctanABXBAXYXN ttdyAtAtYty20111sin4sinsin 式中t

2、tdkSttdtkXsinsinsin4 20 21211arcsin21arcsin2arcsinsinsinXSXSXSkXAX N XSXSXSkX AXSXSSX ,代入上式故由于cossin2 kX XMXAXNtMyMttdMABA4sin44sin2, 0, 0, 01101110于是得 ttdtXkttdtyttdtyAtAtyBAttttttXktttytsinsin4 sin4 sin1 sin 0, 0, 0 0sin002202011111011111式中 2121111arcsin2 1arcsin22 arcsin,sinXXXkkXAXNXXXkXAXttX得代入

3、上式,其中 在分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，常用描畫函數(shù)的負倒在分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，常用描畫函數(shù)的負倒特性曲線，或者稱為負倒描畫函數(shù)。飽和特性的特性曲線，或者稱為負倒描畫函數(shù)。飽和特性的負倒特性為負倒特性為 可見，當(dāng)可見，當(dāng)X X為定值時，為定值時， 為一負實數(shù)。在復(fù)平面為一負實數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)繪內(nèi)繪 出飽和特性的負倒特性曲線如圖出飽和特性的負倒特性曲線如圖8-158-15所示，所示，圖中箭頭表圖中箭頭表 示示X X增大時，負倒特性曲線的變化方增大時，負倒特性曲線的變化方向。向。 )(1)(sin21)(121XSASXSkXN)(1XNIm0圖圖8-15 飽和特性負倒特性飽和特性負倒特性k1XS

4、 SX X Re)(1XN三、描畫函數(shù)的負倒特性曲線三、描畫函數(shù)的負倒特性曲線下面進一步討論繼電特性的幾種特殊情況下面進一步討論繼電特性的幾種特殊情況 1 1理想繼電器特性理想繼電器特性(m=0) (m=0) 理想繼電特性的描畫函數(shù)：理想繼電特性的描畫函數(shù)： 它是一個實函數(shù)，其負倒特性為它是一個實函數(shù)，其負倒特性為 負倒特性曲線如圖負倒特性曲線如圖8-168-16所示所示 MXXN4)(1XMXN4)(Im0圖圖8-168-16 理想繼電器特性理想繼電器特性0XXRe)(1XN)(tx)(teMM0(a) 靜特性靜特性(b) 負倒特性負倒特性2 2具有死區(qū)的單值繼電器特性具有死區(qū)的單值繼電器特

5、性m=1m=1 它也是一個實函數(shù)，其負倒特性為它也是一個實函數(shù)，其負倒特性為 負倒特性曲線如圖負倒特性曲線如圖8-178-17所示所示 2)(14)(1XabXXN2)(14)(XaXbXNIm0圖圖8-178-17 具有死區(qū)的單值繼電器特性具有死區(qū)的單值繼電器特性Xa XRe)(1XN)(tx)(tebb0( (a) a) 靜特性靜特性( (b) 負倒特性負倒特性aaaX2ba23 3具有滯環(huán)的繼電器特性具有滯環(huán)的繼電器特性m=-1m=-1 它是一個復(fù)函數(shù)，其負倒特性為它是一個復(fù)函數(shù)，其負倒特性為 可見，負倒特性的虛部是一負常數(shù)，實部是隨可見，負倒特性的虛部是一負常數(shù)，實部是隨A A變化的負

6、實數(shù)。負倒特性曲線如圖變化的負實數(shù)。負倒特性曲線如圖8-188-18b b所示所示 224)(14)(XabjXaXbXNbajaXbXN44)(122Im0圖圖8-188-18 具有滯環(huán)的繼電器特性具有滯環(huán)的繼電器特性XRe)(1XN)(tx)(tebb0( (a) 靜特性靜特性( (b) 負倒特性負倒特性aaaX ba4 自振蕩的條件則得 如果XNjGXNjGyytYXNjGy1 01 , sin11-r=0c)(jG)(XNx XN1 jG XN1 1y jGXN1被被 XN1 jG 假設(shè)系統(tǒng)處于自持振蕩形狀，即系統(tǒng)的輸出是近似的正弦波。假設(shè)在干擾作用下，自持振蕩的幅值和頻率堅持不變，那

7、么稱為穩(wěn)定的自持振蕩。假設(shè)在干擾作用下，系統(tǒng)的輸出發(fā)散或收斂，或者自持振蕩的幅值和頻率改動，那么稱為不穩(wěn)定的自持振蕩。 留意，自持振蕩的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是完全不同的概念。自持振蕩穩(wěn)定性可以從振蕩幅值添加時，負倒特性軌跡的挪動方向判別。當(dāng)負倒特性軌跡從不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū)時，交點處的自持振蕩是穩(wěn)定的自持振蕩。反之，當(dāng)負倒特性軌跡從穩(wěn)定區(qū)進入不穩(wěn)定區(qū)時，交點處的自持振蕩是不穩(wěn)定的自持振蕩 。 自持振蕩振幅和頻率確實定 自持振蕩可以用正弦振蕩近似表示，其幅值和頻率分別為交點處負倒特性軌跡上的X值，和 軌跡上對應(yīng)的值。即:)(jGXXNjGXNjG,)(1)()(1)(或或:XXNjGXNjG,)

8、(1Im)(Im)(1Re)(Re 2212902arctanarctan180arctan2arctan90 1jKG - XN求交點的頻率令 1XX11X1X1arcsin21X1XN12 23K 132321K 1jKG ,0 j , 1jKG21 21 對應(yīng)的K值應(yīng)滿足下式狀態(tài)即系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界點,曲線通過當(dāng) 解得 5 . 2X9,166. 035 . 0KXN ,21XN 2323X11X1X1arcsin2XN1 s21XN1jKG3K21 查得由圖8即而振幅X由下式求得,其振蕩頻率為產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩,系統(tǒng)在相交點處,軌跡相交于負實軸,曲線與時,當(dāng) 例例8-2 圖圖8-22所示

9、控制系統(tǒng)，其非線性元件為理所示控制系統(tǒng)，其非線性元件為理想繼電器特性，確定系統(tǒng)自持振蕩的振幅和頻率。想繼電器特性，確定系統(tǒng)自持振蕩的振幅和頻率。 ) 12 . 0)(11 . 0(15 sss)(te)(tc圖圖8-228-22 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng))(tx1-1解解:繪出繪出 和和 曲線如圖曲線如圖(a)所示所示 0:)(1,0:4)(1XNXXXN502 . 01 . 01112 . 01 . 02 . 01 . 015212121TTTTTKT與實軸的交點：與實軸的交點： )(jG)(1XN)(jG由于相交點由于相交點B處描畫函數(shù)負處描畫函數(shù)負倒特性曲線當(dāng)?shù)固匦郧€當(dāng)X增大時是從增大時是

10、從不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū),所以交所以交點點B處的自持振蕩是穩(wěn)定的處的自持振蕩是穩(wěn)定的自持振蕩。自持振蕩。B圖圖(a) X 0 Re Im G(j) )(1XN 由由: 得得 :)(1)(XNjG27. 141450121XXTT0,xxxbxxxax x xx ,xx ,xx ,x21222212 , xxxxxxxxxnn則有,為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量 令0kxx fxm 02 2xxxnn 相軌跡的斜率方程 則上式改寫為若令 則得,上式等號兩邊同除以 令22112210 x,xxf-dxdx , xx,xxxxx,f-dtxd dtdxxxx,-fdtxd xx,fx 它表示系統(tǒng)

11、的平衡狀態(tài)的點稱為奇點,具有002122,xxfx ,x22222 0 ,Axxxdxxdxdxxdxx 積分 則上式變?yōu)橐驗? 2xx 22222112Axx , xx,xx 則得若令 tAtxtAtxtxxAsin cos 2121的下列關(guān)系式后求得對和分別解出上述結(jié)果也可以由方程數(shù)是由初始條件確定的常式中,2121222112, , xxfxdxdxxxxfdxdx則上式改寫為常量,令12n1n2n222n12n122n12n22121x1 . 121. 1x , 1 . 1, 5 . 0 x2 xxx2xdxdx x2xx xx , xx, xx 則例為當(dāng)線,就得到不同斜率的等傾取不同

12、值時,當(dāng) 或?qū)懽鲃t得令10022其中的相軌跡圖,xxxnn 軸值時的等傾線求得不同據(jù)此,12121212121212x, 0 x , ;x504. 0 x , 5 . 3- ; x344. 1x , 2- ;x1 .12x , 2 . 1- ; x1 .12x , 1- ;x576. 0 x 1, ; x1 . 1x 0, : 0, txxfx Cxxdxxxdx,sxxdxxxx,txx,txxtxxxxtxxxxxtxxftxxxtxxfxxdef21212121212222222 1 0 , , , , :于是得考慮到 :這樣上式又可改寫為表示,并用近似地視為一個常量,則變化都很小,和如

13、果變量 則有 定義 先把上式改寫為在應(yīng)用法作圖時,.0 ,0 ,26 , ,111120102221111212121222212121RABRxxAxxRxtxxfRxxxxxxRC和徑分別為圓弧的圓心位置和半來表示,為半徑所作的小圓弧為圓心,似地用以跡可近則通過A點附近的相軌,的相平面上任取一點例如在圖8式中則上式變?yōu)榱罾?-5 知非線性系統(tǒng)的微分方程為知非線性系統(tǒng)的微分方程為: 相軌跡法繪制起始于初始點的試用,00, 100 3xxxxx 解解: 將微分方程改寫為將微分方程改寫為:xxxxxxxxxxx232232321 則,令圖圖8-27 用用法繪制相軌跡法繪制相軌跡方法作出.相軌跡

14、其余圓弧用相同.0 x0.12,x圓心的位置PAB從而確定了第一段圓弧求出精確的值,平均值,x和取這段圓弧上的x為了提高作圖的精度,據(jù)此作一圓弧,1,R0,由初始條件求得1 11圖圖8-29 x(t)與與t的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線圖圖8-28 x-x平面上的相軌跡平面上的相軌跡 所示為圖8據(jù)此作出瞬態(tài)響應(yīng)曲線 的時間同理可求出由B到C點的時間到點從相軌跡上點即平均速度,的來代替該區(qū)間內(nèi)的平均值區(qū)間內(nèi)可近似用和對于小增量的所示,-設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖829, ,28txxxtxxtBAxxtxxxxtxBCBCBCABABABavav 為了研討系統(tǒng)在奇點附近的行為，或者說了解系統(tǒng)在奇點附近的相軌跡特征

15、，需求先把系統(tǒng)的微分方程在奇點處作線性化處置。設(shè)系統(tǒng)的微分方程式設(shè)系統(tǒng)的微分方程式Axxxaxaxxaxaxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfffxxfxxxfx 2! 212! 21,. 00 , 0, 00 , 0, , 22212122121111220 , 02222210 , 0212210 , 0212220 , 02210 , 0122220 , 02212210 , 0211220 , 0211220 , 02110 , 01112122112122112121222111于是得項,略去二次項及以后的各即有數(shù),在原點

16、附近展開泰勒級和將為解析函數(shù)和即假設(shè)坐標原點為奇點, 平面上的相軌跡方程且和的特征值為為非奇異矩陣,則有,令Z - zCzzzdzdz zz zzAPzz00zz Pzxxfa,xfa,xfa,xfa,aaaaA211221211222211121212121210,022220,012210,021120,0111122211211 v 二、奇點的分類二、奇點的分類平面上的穩(wěn)定節(jié)點在平面上的穩(wěn)定節(jié)點在特征值的分布2121, , )xxc)zzb)a圖圖8-301) 節(jié)點節(jié)點 假設(shè)系統(tǒng)的兩個特征根為相異的負實數(shù)，對應(yīng)的奇點稱穩(wěn)定節(jié)點。此時 221121212112122121121212121

17、212121212121212t21t121211k12zzzzxx xxxx1xxPzz 11P Pzxxx10 xx xx, xx0 xxx x,x0zez0zezz,z, 0kzCz 211 或?qū)懽?于是得 其中,若令則上式改寫為,記寫出系統(tǒng)的微分方程為和線性變換由則需進行下列平面上的相軌跡,若要畫出在來確定,和方向要能過考察相平面上相軌跡的運動在 假設(shè)系統(tǒng)的兩個特征根為相等的正實數(shù)，假設(shè)系統(tǒng)的兩個特征根為相等的正實數(shù)，那么對應(yīng)的奇點稱不穩(wěn)定節(jié)點。其相軌跡見圖那么對應(yīng)的奇點稱不穩(wěn)定節(jié)點。其相軌跡見圖8-31。平面上的鞍點在 平面上的鞍點在 特征值的分布2121, , )xxc)zzb)a

18、對應(yīng)的相軌跡方程為對應(yīng)的相軌跡方程為: 0 xxx x,xtzzzb31z,z0kCzz zCz 212121221211222k1k1222 平面上的相軌跡可畫出在經(jīng)過非線性變換后,不穩(wěn)定的.鞍點表示的平衡狀態(tài)是這種奇點稱為鞍點,的增長而遠離奇點.隨著時間其余所有的相軌跡都將外,分隔線4個不同的區(qū)域.除了且它們將相平面分隔成本身也是相軌跡,和坐標軸在特定的初始條件下,所示,相平面上相軌跡為圖8在,或221121212112122121121212121212121 1 11 10 zzzzxxxxxxxxPzzPPzxxxxx, xx,xx或?qū)懽饔谑堑闷渲?若令則上式改寫為記3) 焦點焦點假

19、設(shè)系統(tǒng)的特征根是一對位于假設(shè)系統(tǒng)的特征根是一對位于S左半平面的共軛復(fù)根，左半平面的共軛復(fù)根，對應(yīng)的奇點稱穩(wěn)定焦點；反之，為不穩(wěn)定焦點。對應(yīng)的奇點稱穩(wěn)定焦點；反之，為不穩(wěn)定焦點。 是由初始條件確定.和初相角系數(shù)式中,令 AeAeeAezz zzj00jzz j tjttjt2121212,1 , , 2121平平面面上上的的不不穩(wěn)穩(wěn)定定焦焦點點在在平平面面上上的的穩(wěn)穩(wěn)定定焦焦點點在在yyb)yya) 穩(wěn)穩(wěn)定定焦焦點點相相軌軌跡跡均均卷卷離離奇奇點點為為不不如如果果定定焦焦點點相相軌軌跡跡均均卷卷向向奇奇點點為為穩(wěn)穩(wěn)如如果果則則其其中中令令0;0Ae2yy tsinAe2tcosAe2zzjj11

20、Pzyy yy2j212j21j00jjj11yPAPy jj11P yPzt2221tt212111 假設(shè)系統(tǒng)的特征根為一對共軛虛根，即假設(shè)系統(tǒng)的特征根為一對共軛虛根，即1,2=j對應(yīng)的對應(yīng)的奇點稱為中心點。奇點稱為中心點。積分常數(shù)C為與初始條件有關(guān)的式中,即 由于2212211222112122212121 00 Cyydyydyyyydydyyyyyyyyy 平面上的中心點在 平面上的中心點在2121, , xxb)yya)非線性系統(tǒng)的運動除了具有線性系統(tǒng)的發(fā)散和收斂兩種方非線性系統(tǒng)的運動除了具有線性系統(tǒng)的發(fā)散和收斂兩種方式外，還有一種運動方式式外，還有一種運動方式自持振蕩，自持振蕩在相

21、平面自持振蕩，自持振蕩在相平面上表觀為一個孤立的封鎖軌跡線上表觀為一個孤立的封鎖軌跡線極限環(huán)。極限環(huán)。下面以范德波爾下面以范德波爾van der pol方程為例闡明方程為例闡明極限環(huán)的穩(wěn)定性。知方程極限環(huán)的穩(wěn)定性。知方程 不穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán) b)a)時的極限環(huán).相當(dāng)于最后相軌跡進入值也隨之減小,的減小,值x動.隨著振幅不斷衰減的阻尼運作使方程所描述的系統(tǒng),若初始值求得相比較,方程把上式與下列線性微分00, 11202 01 22xxxxxxxxxx 是一個不穩(wěn)定的極限環(huán)可推出對應(yīng)該方程的,用上述相同的分析方法如范德波爾方程改為反之為不穩(wěn)定極限環(huán).限環(huán);這種極限環(huán)稱為穩(wěn)定極它,側(cè)的相軌跡若均

22、趨向極限環(huán).極限環(huán)內(nèi)外兩都卷向使極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡越來越大,相應(yīng)系統(tǒng)使x的幅值,若初始值0 01 0, 12mxxxxx 于1) 當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程可解析的，可根據(jù)其線性化方程當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程可解析的，可根據(jù)其線性化方程式根的性質(zhì)去確定奇點的類型，然后用圖解法或解析法式根的性質(zhì)去確定奇點的類型，然后用圖解法或解析法畫出奇點附近的相軌跡。畫出奇點附近的相軌跡。例例8-6 求以下方程所描畫系統(tǒng)的相軌跡圖，求以下方程所描畫系統(tǒng)的相軌跡圖，并分析系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性。并分析系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性。025 . 02xxxx 2) 當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程非解析的，那么經(jīng)過將非線性元件的特征當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程非解析的，

23、那么經(jīng)過將非線性元件的特征作分段線性化處置，即把相平面分成假設(shè)干個區(qū)域，每一個區(qū)域作分段線性化處置，即把相平面分成假設(shè)干個區(qū)域，每一個區(qū)域有一個相應(yīng)的微分方程和奇點。只需把各個區(qū)域內(nèi)的相軌跡有一個相應(yīng)的微分方程和奇點。只需把各個區(qū)域內(nèi)的相軌跡依次銜接起來，就可得到系統(tǒng)完好的相軌跡圖。依次銜接起來，就可得到系統(tǒng)完好的相軌跡圖。解解: 奇點為奇點為0，0和和-2，0在原點附近，線性化后的方程為在原點附近，線性化后的方程為該奇點為穩(wěn)定焦點.由此可知,特征方程39.125.0022 .0 025 .0 2, 12jxxx 在奇點-2，0附近，對方程作如下改寫對應(yīng)的奇點為鞍點由此可知,特征方程上式近似表

24、示為附近,在則原方程變?yōu)?令69. 1,19. 1025 . 0025 . 00, 0025 . 022122yyyyyyyyyxy 圖圖8-35 例例8-6的相軌跡的相軌跡假設(shè)形狀的初始點位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，假設(shè)形狀的初始點位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，那么相軌跡均收斂于坐標原點，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。那么相軌跡均收斂于坐標原點，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，初始形狀假設(shè)位于陰影區(qū)域外，相軌跡均趨向于反之，初始形狀假設(shè)位于陰影區(qū)域外，相軌跡均趨向于無窮遠，系統(tǒng)不穩(wěn)定。無窮遠，系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始形狀有關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始形狀有關(guān)。例例8-7 一非線性系統(tǒng)如圖一非線性系統(tǒng)如圖8-3

25、6所示，試求在階躍輸所示，試求在階躍輸入入r(t)=R01(t)和斜坡輸入和斜坡輸入r(t)=vt(v0)時的相軌跡。時的相軌跡。 輸出特性飽和非線性的輸入非線性控制系統(tǒng)b)a) 圖圖8-362 . 0, 2 . 0, 4,10MeKsT圖中解：由圖得解：由圖得37所示的三個區(qū)域圖8把相平面分割特點,根據(jù)飽和非線性特性的所以上式改寫為,因為r為rrTKmeeTceKmccT 圖圖8-37 相平面的區(qū)域劃分相平面的區(qū)域劃分 0000e-erTKMeeTeerTKMeeTeerTKeeeT e-eMeeMeeemrrr 的方程三區(qū)不同的區(qū)域所對應(yīng)得b36由圖8 0000e-e eee-e0KMee

26、Tee0KMeeTTKMeTKMeeeKeeeTtee11 20 0, 0,100 或?qū)懽飨到y(tǒng)的方程為在飽和區(qū)域和內(nèi),飽和區(qū)域節(jié)點只能為穩(wěn)定焦點或穩(wěn)定0,0所以奇點正值,由于方程各項系數(shù)均為線性區(qū)域當(dāng)當(dāng) 時的相軌跡.當(dāng)圖8a跡見圖8區(qū)域和部分的相軌則得即等傾線的斜率,若令相軌跡的斜率等于為一簇水平線.它們相軌跡的等傾線都點存在,在區(qū)域和內(nèi)沒有奇tbKMeKMedeed123838 000e-eee圖圖8-38 的相軌跡)階躍信號作用下系統(tǒng)范圍內(nèi)的相軌跡ba)0ee 000000eeeee-eVKMeeTeeVKMeeTeeTKMVeTKMVeeeeKVKVVKeeeTeVKmeeTVVtt11

27、 20 , 1 00 或?qū)懽黠柡蛥^(qū)還是小于的值是否大于這取決區(qū)域外,也可以在本,此奇點可以在本區(qū)域內(nèi)奇點為則原方程改寫為常數(shù),其中令 統(tǒng)又一明顯不同之處.系這是非線性系統(tǒng)與線性條件有關(guān),它的大小與系統(tǒng)的初始來表示,OP系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由線段的相軌跡可知,由圖8當(dāng)其值但有穩(wěn)態(tài)誤差,輸入,系統(tǒng)的輸出能跟蹤斜坡可知,由圖8內(nèi),位于區(qū)域故奇點由于軸的下方,位于漸近線,當(dāng)誤差是無窮大這種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)由相軌跡圖可知,而是落在區(qū)域不位于區(qū)域內(nèi),由,即,當(dāng)三種情況的漸近線有對于區(qū)域漸近線cTeTedeedTeeeTKVeeKMVKVebKVeKVeKMVeeKMVeKVKeVKMVKMVeKMVess391, 0, 01 01 0 , 0,)3.390 ,0,)2,39a-8)