實(shí)變函數(shù)(復(fù)習(xí)資料_帶答案)

1、實(shí)變函數(shù)試卷一一、單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）1、下列各式正確的是（ ）（A）; （B）;（C）; （D）;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說(shuō)法不正確的是（ ）(A) 凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)（B）可測(cè)集的任何子集都可測(cè)(C) 開(kāi)集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測(cè)4、設(shè)是上的有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是( )（A）若, 則 (B) 是可測(cè)函數(shù)（C）是可測(cè)函數(shù);（D）若,則可測(cè)5、設(shè)f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)（C）在上L可積 (D) 二.

2、填空題(3分×5=15分)1、_2、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則=_,=_,=_.3、設(shè)是中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集都_，則稱(chēng)是可測(cè)的4、可測(cè)的_條件是它可以表成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù).（填“充分”，“必要”，“充要”）5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對(duì)于的一切分劃，使_,則稱(chēng)為 上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說(shuō)明.(5分×4=20分)1、設(shè)，若E是稠密集，則是無(wú)處稠密集。2、若，則一定是可數(shù)集.3、若是可測(cè)函數(shù)，則必是可測(cè)函數(shù)4設(shè)在可測(cè)集上可積分，若，則四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積

3、，求出積分值?？?生 答 題 不 得 超 過(guò) 此 線2、（8分）求五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）證明上的全體無(wú)理數(shù)作成的集其勢(shì)為2、（6分）設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)是閉集。3、（6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。4、（6分）設(shè)在上可積，則.5、（10分）設(shè)是上有限的函數(shù)，若對(duì)任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定理試卷一 （參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、； ； 3、4、充要 5、成一有界數(shù)集。三、1錯(cuò)誤2分例如：設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則和都在中稠密5

4、分2錯(cuò)誤2分例如：設(shè)是集，則，但c ， 故其為不可數(shù)集 5分3錯(cuò)誤例如：設(shè)是上的不可測(cè)集，則是上的可測(cè)函數(shù)，但不是上的可測(cè)函數(shù)4錯(cuò)誤四、1在上不是可積的，因?yàn)閮H在處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測(cè)度集.3分因?yàn)槭怯薪缈蓽y(cè)函數(shù)，在上是可積的6分因?yàn)榕c相等，進(jìn)一步，8分2解：設(shè)，則易知當(dāng)時(shí)， 2分又因，()，所以當(dāng)時(shí)，4分從而使得6分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有8分五、1設(shè) 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 對(duì)，使對(duì)任意互不相交的有限個(gè)當(dāng)時(shí)，有2分將等分，使，對(duì)，有，所以在上是有界變差函數(shù).5分所以從而，因此，是上的有界變差函數(shù).6分4、在上可積2分據(jù)積分的絕對(duì)連續(xù)性，有.4分

5、對(duì)上述，從而，即6分5存在閉集在連續(xù)2分令，則在連續(xù)4分又對(duì)任意,.6分故在連續(xù).8分又所以是上的可測(cè)函數(shù)，從而是上的可測(cè)函數(shù).10分實(shí)變函數(shù)試卷二一.單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）1設(shè)是兩集合，則 =（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 下列說(shuō)法不正確的是( )(A) 的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(B) 的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)中異于的點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(C) 存在中點(diǎn)列，使，則是的聚點(diǎn)(D) 內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)3. 下列斷言( )是正確的。（A）任意個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集；(B) 任意個(gè)閉集的交是閉集；(C) 任意個(gè)閉集的并是閉集；(D) 以上都不對(duì)；4. 下列斷言中( )是錯(cuò)誤

6、的。（A）零測(cè)集是可測(cè)集； （B）可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；（C）任意個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；（D）零測(cè)集的任意子集是可測(cè)集；5. 若，則下列斷言（ ）是正確的(A) 在可積在可積；(B) (C) ;(D) 二. 填空題(3分×5=15分)1、設(shè)，則_。2、設(shè)為Cantor集，則 ，_，=_。3、設(shè)是一列可測(cè)集，則4、魯津定理：_5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果_則稱(chēng)為上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說(shuō)明原因或舉出反例.(5分×4=20分)1、由于，故不存在使之間對(duì)應(yīng)的映射。2、可數(shù)個(gè)零測(cè)度集之和集仍為零測(cè)度集。3、收斂的函數(shù)列必依測(cè)度收斂。4

7、、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。四.解答題(8分×2=16分)1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求極限 .五.證明題(6分×3+ =34分)1.(6分) 1、設(shè)f(x)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù) c， 是一開(kāi)集.2.(6分) 設(shè)使，則E是可測(cè)集。3. （6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。4.（8分）設(shè)函數(shù)列 在有界集上“基本上”一致收斂于，證明：收斂于。5.（8分）設(shè)在上可積，則對(duì)任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使.（答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A二、1， 2，c ；0 ； 3， 4，設(shè)是上有

8、限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意，存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且。5，對(duì)任意，使對(duì)中互不相交的任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間只要，就有三、1錯(cuò)誤 記中有理數(shù)全體顯然。5分2正確設(shè)為零測(cè)度集， ，所以，因此，是零測(cè)度集。5分3錯(cuò)誤。例如：取作函數(shù)列：顯然當(dāng)。但當(dāng)時(shí)，且這說(shuō)明不測(cè)度收斂到1.5分4錯(cuò)誤2分例如：顯然是的連續(xù)函數(shù)。如果對(duì)取分劃，則容易證明，從而得到5分四、1在上不是可積的，因?yàn)閮H在處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測(cè)度集3分因?yàn)槭怯薪缈蓽y(cè)函數(shù)，所以在上是可積的.6分因?yàn)榕c相等, 進(jìn)一步，8分2設(shè)，則易知當(dāng)時(shí)，2分又4分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的6分故有8分五、1.1分在點(diǎn)連續(xù)，對(duì)當(dāng)時(shí)，有3分，5分因此，從而

9、為開(kāi)集.6分2對(duì)任何正整數(shù)，由條件存在開(kāi)集使1分令，則是可測(cè)集3分又因?qū)σ磺姓麛?shù)成立，因而，即是一零測(cè)度集，所以也可測(cè).5分由知，可測(cè)。6分3、易知是上的增函數(shù)2分令, 則對(duì)于有所以是上的增函數(shù)4分因此，其中與均為上的有限增函數(shù).6分4、因?yàn)樵谏稀盎旧稀币恢率諗坑?，所以?duì)于任意的，存在可測(cè)集，在上一致收斂于，且3分令，則在上處處收斂到5分，k=1,2所以8分5、證明：設(shè)由于在上有限，故.2分由積分的絕對(duì)連續(xù)性，對(duì)任何，使4分令，在上利用魯津定理，存在閉集和在上的連續(xù)函數(shù)使（1）（2）時(shí)，且6分所以.8分實(shí)變函數(shù)試卷三（參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）一、單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）1、設(shè)，

10、則（ B ）(A) （B）(C) （D）2、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則下列各式不成立的（ D ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 3、下列說(shuō)法不正確的是（ C ）(A) 若，則 （B） 有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測(cè)度集之和集仍為零測(cè)度集 (C) 可測(cè)集的任何子集都可測(cè) （D）凡開(kāi)集、閉集皆可測(cè)4、設(shè)是一列可測(cè)集，且，則有（ A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對(duì)5、設(shè)f(x)是上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的（ B ）(A) 在上的一致連續(xù)函數(shù) (B) 在上處處可導(dǎo)（C）在上L可積 (D) 是有界變差函數(shù)二. 填空題(3分×5=15分)1、設(shè)集合，則_2、設(shè)為Cantor集，則 ，_0

11、_，=_。3、設(shè)是中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集都有_，則稱(chēng)是可測(cè)的4、葉果洛夫定理：設(shè)是上一列收斂于個(gè)有限的函數(shù) 的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意存在子集，使在上一致收斂且。5、設(shè)在上可測(cè)，則在上可積的 充要 條件是|在上可積.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說(shuō)明.(5分×4=20分)1、任意多個(gè)開(kāi)集之交集仍為開(kāi)集。解：不成立 2分反例：設(shè)Gn=( ),n=1,2,L, 每個(gè)Gn為開(kāi)集但 不是開(kāi)集. 5分2、若，則一定是可數(shù)集.解：不成立 反例:設(shè)是集，則， 但c ， 故其為不可數(shù)集 .5分3、收斂的函數(shù)列必依測(cè)度收斂。解：不成立 2分例如：

12、取作函數(shù)列：顯然當(dāng)。但當(dāng)時(shí)，且這說(shuō)明不測(cè)度收斂到1 5分4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。解：不成立 2分例如：顯然是的連續(xù)函數(shù)。如果對(duì)取分劃，則容易證明，從而得到 5分四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因?yàn)閮H在處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測(cè)度集 .3分因?yàn)槭怯薪缈蓽y(cè)函數(shù)，在上是可積的 6分因?yàn)榕c相等，進(jìn)一步， 8分2、求極限 解：記則在0,1上連續(xù),因而在0,1上（R）可積和（L）可積. .2分又 4分 .6分且在上非負(fù)可積,故由Lebesgue控制收斂定理得 .8分五、證明題（6分×4+10=34

13、分）.1、（6分）試證證明：記中有理數(shù)全體,令顯然 5分所以 6分2、（6分）設(shè)f(x)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù) c， 是一開(kāi)集.證明: .1分因f（x）連續(xù)，故. .4分即.所以是E的內(nèi)點(diǎn).由的任意性,E的每一個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),從而E為開(kāi)集. 6分考 生 答 題 不 得 超 過(guò) 此 線3、（6分）設(shè)是可測(cè)集的非負(fù)可積函數(shù)，是的可測(cè)函數(shù)，且，則也是上的可積函數(shù)。證明：， 1分是可測(cè)集的非負(fù)可積函數(shù) 是上的可積函數(shù). . 4分同理，也是上的可積函數(shù).是上的可積函數(shù)。 6分4、（6分）設(shè)在上積分確定，且于，則在上也積分確定，且證明：于 在上積分確定，在上也積分確定，且5、（10分）設(shè)在上,而成

14、立,則有證明:記,由題意知由知 2分對(duì)任意,由于從而有 又因?yàn)樵谏?故 8分所以于是: 故在上有 10分實(shí)變函數(shù)試卷四（參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）一.單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）1設(shè)P為Cantor集，則 C（A） À0 (B) (C) (D) 2. 下列說(shuō)法不正確的是( C )(A) 的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(B) 的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)中異于的點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(C) 存在中點(diǎn)列，使，則是的聚(D) 內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)3.設(shè)在上可積,則下面不成立的是( C )(A)在上可測(cè) (B)在上a.e.有限(C)在上有界 (D)在上可積4. 設(shè)是一列可測(cè)集，則有（B ）（A）

15、(B) （C）;（D）以上都不對(duì)5.設(shè)為上的有界變差函數(shù),則下面不成立的( D )(A)在上可積 (B)在上可積(C)在上可積 (D)在上絕對(duì)連續(xù)二. 填空題(3分×5=15分)1、設(shè)，則_（0，2）_。2、設(shè),若則是 閉 集；若，則是 開(kāi)_集；若，則是_完備_集.3、設(shè)是一列可測(cè)集，則4、魯津定理：_設(shè)是上有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意，存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且_，則稱(chēng)為上的有界變差函數(shù)。5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對(duì)于的一切劃分，使成一有界數(shù)集，則稱(chēng)為上的有界變差函數(shù)。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說(shuō)明原因或舉出反例.(5分×4=20分)1、A為

16、可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.解：成立 2分因A可數(shù),所以可設(shè)A=a1,a2,an,又B至多可數(shù),設(shè)B=b1,b2,bn(當(dāng)B有限時(shí)),或B=b1,b2,¼,bn,¼(當(dāng)B可數(shù)時(shí))當(dāng)B有限時(shí),當(dāng)B可數(shù)時(shí),所以可數(shù). 5分(注:可分和討論,沒(méi)討論不扣分,主要考察排序方法).2、若，則.解：不成立. .2分反例：為中的全體有理點(diǎn)集，則有，而5分注：其余例只要正確即可。3、若是可測(cè)函數(shù)，則必是可測(cè)函數(shù)解：不成立.2分例如：設(shè)是上的不可測(cè)集，則是上的可測(cè)函數(shù)，但不是上的可測(cè)函數(shù)5分4設(shè)在可測(cè)集上可積分，若，則解：不成立.2分5分四.解答題(8分×2=16分)1、

17、（8分）設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因?yàn)閮H在處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測(cè)度集.3分因?yàn)槭巧系挠薪缈蓽y(cè)函數(shù)，在上是可積的6分因?yàn)榕c相等，進(jìn)一步，8分2、（8分）求解：設(shè)，則易知當(dāng)時(shí)，.2分又因，()，所以當(dāng)時(shí)，4分從而使得6分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有8分五.證明題(6分×3+ =34分)1、（6分）設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)是閉集。證明：.2分.3分5分.6分2.(6分) 設(shè)使，則E是可測(cè)集。證明：對(duì)任何正整數(shù)，由條件存在開(kāi)集使1分令，則是可測(cè)集 3分又因?qū)σ磺姓麛?shù)成立，因而，即是一零測(cè)度集，所以也可測(cè).5分由知，可測(cè)。 6分3.（6分） 設(shè)為E上可積函數(shù)列，.于E，且，k為常數(shù)，則在E上可積.由于E得于E .1分再由Fatou引理 .4分所以 |f(