常微分方程課件--常數(shù)變易法

1、1.4 線性方程與常數(shù)變易法線性方程與常數(shù)變易法0)()()(xcyxbdxdyxa一階線性微分方程的區(qū)間上可寫成在0)(xa) 1 ()()(xQyxPdxdy的連續(xù)函數(shù)在考慮的區(qū)間上是這里假設(shè)xxQxP)(),(變?yōu)閯t若) 1 (, 0)(xQ)2()(yxPdxdy稱為一階齊次線性方程)2(稱為一階非齊線性方程則若) 1 (, 0)(xQ一 一階線性微分方程的解法-常數(shù)變易法解對應(yīng)的齊次方程01( )(2)dyp x ydx得對應(yīng)齊次方程解常數(shù)變易法求解02) 1 (),(的解使它為的待定函數(shù)變?yōu)閷⒊?shù)xcxc為任意常數(shù)cdxceyxp,)(則的解為令,) 1 ()()(dxxpexcy

2、) 1 ()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(積分得)()()(cdxexQxcdxxp的通解為故 ) 1 (30)3()()()(cdxexQeydxxpdxxp注 求(1)的通解可直接用公式(3)例1 求方程1) 1() 1(nxxenydxdyx通解,這里為n常數(shù)解: 將方程改寫為nxxeyxndxdy) 1(1首先,求齊次方程yxndxdy1的通解從yxndxdy1分離變量得dxxnydy111lnlncxny兩邊積分得故對應(yīng)齊次方程通解為nxcy) 1( 其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線

3、性方程的通解,代入得為原方程的通解令,) 1)(nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc) 1() 1)() 1)() 1()(11即xedxxdc)(積分得)(cexcx故通解為為任意常數(shù)),() 1(ccexyxnndxxndxxpxccecey) 1(1)(例2 求方程22yxydxdy通解.解:，y的線性方程原方程不是未知函數(shù)但將它改寫為yyxdydx22 即yxydydx2，yx為自變量的線性方程為未知函數(shù)它是以,故其通解為)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(22cdyeyedyydyy。ccyy為任意常數(shù)),ln(2例3 求初值問題1) 1 (, 1432y

4、xyxdxdy的解.解:先求原方程的通解)()()(cdxexQeydxxpdxxp) 14(323cdxexedxxdxx)1) 14(323cdxxxx)21ln4(23cxxx3432lnxcxxx代入后得將初始條件1) 1 (y23c故所給初值問題的通解為223ln343xxxxy)1) 14(323cdxxxx方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,稱為伯努利方程.。xxQxP的連續(xù)函數(shù)為這里)(),(解法:方程變?yōu)橐胱兞孔儞Q,110nyz)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz求以上線性方程的通解02變量還原03( 雅各布第一 伯努利 )

5、 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli (1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式, 1695年 猜度術(shù),則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出版了他的巨著這是組合數(shù)學(xué)與概率論史上的一件大事, 此外, 他對雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究.例4 求方程yxxydxdy222的通解.解:, 1,nBernoulli方程這是代入方程得令,2yz 21xzxdxdz解以上線性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2為代入得所給方程的通解

6、將yz 3221xcxy例5 R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動勢E均為常數(shù),試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時間t之間的關(guān)系. 二 線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律:在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 則電流經(jīng)過電感L, 電阻R的電壓降分別為 ,RIdtdIL.ERIdtdIL解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律, 得到 設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后, 電路中在時刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開關(guān)閉合時的時刻為0,. 0)0(I即.LEIL

7、RdtdI得通解為:REcetItLR)(故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為)1 ()(tLReREtI,0)0(得由初始條件IREcREcetItLR)(例2 湖泊的污染設(shè)一個化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時. 開始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時, 湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時, 求該廠排污1年時, 湖泊水中鹽酸的含量.解: 設(shè)t時刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為( ),x t考慮 ,t tt內(nèi)湖泊中鹽酸的變化.( )()( )20 3.081000400000020 x tx ttx tttt 因此有10061.6, (0)0400.0002dxxxdtt該方程有積分因子50100( )exp()(40000.02 )4000002tdttt兩邊同乘以( ) t后,整理得5050 (40000.02 ) 61.6(40000.02 )dxttdt積分得505