四種命題四種命題間相互關(guān)系

1、四種命題四種命題間的相互關(guān)系1. 了解四種命題的概念，會(huì)寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題.(重點(diǎn))2. 認(rèn)識(shí)四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的關(guān)系.(難點(diǎn))3. 利用命題真假的等價(jià)性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))教材整理1四種命題閱讀教材P4P6,完成下列問(wèn)題1. 四種命題的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)_ 論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果是另一個(gè)命題條件的 否定和結(jié)論的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題.如果是另一個(gè)命題結(jié) 論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.把第一個(gè)叫做原命題時(shí)，另三個(gè)可分別稱為原命

2、題的逆命題、否命題、逆否命題.2. 四種命題的形式原命題：若P，則q. 逆命題：若q，則p.否命題：若卩，則q.逆否命題：若4，則p.判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“ X”)(1) 有的命題沒(méi)有逆命題.()(2) 四種命題中，原命題是固定的.()(3) “對(duì)頂角相等”的否命題為“對(duì)頂角不相等”.()解：(1)只要原命題確定了，它的逆命題就確定了，故 (1)錯(cuò). 四種命題中原命題具有相對(duì)性，故 錯(cuò).(3) “對(duì)頂角相等”的否命題為“若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等”， 故錯(cuò).答案:(1) X (2) X (3) X教材整理2四種命題間的相互關(guān)系閱讀教材P6P8,完成下列問(wèn)題1. 四種命題之間

3、的相互關(guān)系2. 四種命題的真假關(guān)系四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況原命題逆命題否命題逆否命題直/、直/、直/、直/、直/、假假直/、假直/、直/、假假假假假(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性 兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 對(duì)于一個(gè)命題的四種命題，可以一個(gè)真命題都沒(méi)有.()(2) 兩個(gè)互逆命題的真假性相同.() 命題“若a> 3,則a> 6”以及它的逆命題，否命題，逆否命題中，真命 題的個(gè)數(shù)有3個(gè).()解：(1)若原命題為假命題，則其逆否命題為假命題，逆命題和否命題可都為

4、假命 題，故對(duì)(2) 兩個(gè)互逆命題的真假性無(wú)關(guān)，故(2)錯(cuò).(3) 原命題和逆否命題正確，否命題和逆命題錯(cuò)誤，故(3)錯(cuò).答案:(1) V (2) X (3) X小組合作探究四種命題的概念例1、寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題：(1)如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；如果x> 10,那么x>0;(3) 當(dāng) x = 2 時(shí)，x + x 6= 0.根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題.自主解答：(1)逆命題：如果直線垂直于平面，那么直線垂直于平面內(nèi)的兩條相 交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么直線不垂直于平面； 逆否命題：如果直線不垂直于

5、平面，那么直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線 逆命題：如果x>0,那么x> 10；否命題：如果x< 10,那么x< 0;逆否命題：如果xw 0,那么xw 10. 逆命題：如果x + X 6= 0,那么x= 2;否命題：如果x工2,那么x2+ x 6工0;逆否命題：如果x2 + x一6工0,那么x工2.1. 寫出一個(gè)命題的其他三種命題的步驟(1)分析命題的條件和結(jié)論；將命題寫成“若p,則q”的形式；(3)根據(jù)逆命題、否命題、逆否命題各自的結(jié)構(gòu)形式寫出這三種命題.注意：如果原命題含有大前提，在寫出原命題的逆命題、否命題、逆否命題時(shí)， 必須注意各命題中的大前提不變2. 常見詞語(yǔ)

6、的否定詞語(yǔ)是都是>至少有n個(gè)至多有n個(gè)否定不是不都是w至多有n 1個(gè)至少有n+ 1個(gè)再練一題1. (1)命題“若m>n,則m 1>n2”的逆否命題為 (2)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題： 正數(shù)的平方根不等于0； 若 x2+ y2= 0(x, y R)，則 x, y 全為 0.解：若 m 1w n 2,貝U me n.(2)逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方根不等于0,則這個(gè)數(shù)是正數(shù)；否命題：若一個(gè)數(shù)不是正數(shù)，則這個(gè)數(shù)的平方根等于0；逆否命題：若一個(gè)數(shù)的平方根等于 0,則這個(gè)數(shù)不是正數(shù)逆命題：若x，y全為0,則X2+ y2= 0(x, y R)； 否命題：若x2 + y2工0

7、(x, y R)，則x, y不全為0;逆否命題：若x, y不全為0,則x2+ y2工0(x, y R). 四種命題真假的判斷 例2、把下列命題改寫成“若 p,則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題、 逆否命題，然后判斷它們的真假：(1) 正偶數(shù)不是素?cái)?shù)；(2) 平行于同一條直線的兩條直線平行.把命題改寫成“若P,貝g”的形式依據(jù)定義寫出另外三種命題自主解答：(1)原命題：若一個(gè)數(shù)是正偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)，是假命題； 逆命題：若一個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)，則這個(gè)數(shù)是正偶數(shù)，是假命題； 否命題：若一個(gè)數(shù)不是正偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)，是假命題； 逆否命題：若一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)，則這個(gè)數(shù)不是正偶數(shù)，是假命題 .(2)原

8、命題：若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行，是真命題.逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線平行于同一條直線，是真命題.否命題：若兩條直線不平行于同一條直線，則這兩條直線不平行，是真命題.逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不平行于同一條直線，是真命題在判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，可以有兩種方法：一是分清原命題的條件和結(jié)論， 直接對(duì)原命題的真假進(jìn)行判斷；二是不直接寫出命題，而是根據(jù)命題之間的關(guān)系 進(jìn)行判斷，即原命題和逆否命題同真同假，逆命題和否命題同真同假再練一題2. 下列命題： “若xy = 1,則x、y互為倒數(shù)”的逆命題； “四邊相等的四邊形是正方形”的否命題； “梯形不是平行四邊形”

9、的逆否命題.其中是真命題的是.解：“若xy = 1,則x, y互為倒數(shù)”的逆命題是“若 x, y互為倒數(shù)，則xy 二1”，是真命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；“梯形不是平行四邊形”本身是真命題, 所以其逆否命題也是真命題.所以真命題是.答案：探究共同研討等價(jià)命題的應(yīng)用 探究1我們學(xué)習(xí)了四種命題的關(guān)系，那么在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困 難時(shí)，該怎么辦？【提示】可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題，來(lái)間接地證明原命題為真命題. 探究2根據(jù)互為逆否命題的真假性相同來(lái)判斷命題的真假， 是哪種證明方法的 理論基礎(chǔ)？【提示】是反證法的理論基礎(chǔ).2

10、2例3判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x+ (2a+ 1)x+ a + 2<0 的解集不是空集，則a> 1”的逆否命題的真假.法一:分析已知命題 寫出逆否命題利用求a的范圍判斷命題真假法二： 判斷原命題真假 判斷逆否命題真假【自主解答】法一：原命題的逆否命題：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a<1，則關(guān)于x的不等式x2 + (2a+ 1)x + a2 + 2<0的解集 為空集.真假判斷如下：2 2拋物線 y = x + (2a+ 1)x+ a + 2 開口向上，判別式= (2a+ I)2 4(a2+ 2) = 4a 7，若 a<1，則 4a 7<0.即拋物線

11、y = x2 + (2a+ 1)x+ a2+ 2與x軸無(wú)交點(diǎn).所以關(guān)于x的不等式x2 + (2a+ 1)x + a2 + 2<0的解集為空集. 故原命題的逆否命題為真.法二：先判斷原命題的真假.因?yàn)閍, x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2 + (2a+ 1)x+ a2+ 2<0的解集不是空集，所以= (2 a+ 1) 4(a + 2)0，即 4a 7>0,解得 a>7.4因?yàn)閍>£所以a> 1所以原命題為真.4又因?yàn)樵}與其逆否命題等價(jià)，所以逆否命題為真這種問(wèn)題的解決通常有兩種方法：一是直接法，先寫出逆否命題，后判斷， 如法一；二是間接法，不寫逆否命

12、題，從判斷原命題的真假證明逆否命題的真假， 如法二再練一題3. 證明：已知函數(shù)f (x)是(乂，+x)上的增函數(shù)，a、b R,若f (a) + f (b) >f ( a) + f ( b)，則 a+ b>0.解：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f (x)是(一X，+x)上的增函數(shù)，a, b R, 若 a+ bv0，則 f (a) + f (b) v f ( a) + f ( b). ”當(dāng) a+ bv0 時(shí)，av b，bv a，又 f (x)在(x，+x )上是增函數(shù)， f(a) vf( b) , f(b) vf( a). f (a) + f(b) vf ( a) + f ( b),即逆

13、否命題為真命題.原命題為真命題.1. 命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的相反數(shù)是正數(shù)”的逆命題是()A. “若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)”B. “若一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C. “若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)”D. “若一個(gè)數(shù)的相反數(shù)不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解:若原命題記作“若p,則q”，則A為“若p,則q”； B為“若q,則p”； C為“若卩，則q”； D為“若4,則p” .故B正確.答案：B2. 命題“如果x2 v 1,則1 vx v T的逆否命題是()A. 如果 x2 > 1,則 x > 1,或 x < 1B. 如果一1v xv 1,則 x2v 1

14、2C. 如果 X> 1 或 xV 1,貝U X > 1D. 如果 x> 1 或 x< 1,貝U x2>1解：“ 1 V XV 1 ”的含義是“ X > 1 且 XV 1 ”,故“ 1 V XV 1 ”的否定是 “xl或x< 1”，故選D.答案：D3. 已知命題：“若x>0, y >0,則xy >0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）解：由題意可判斷原命題為真命題,故逆否命題也為真命題,其逆命題為“若 xy >0,則x>0, y>0”，為假命題，所以否命題也為假命題，故四個(gè)命題中， 真命題的個(gè)數(shù)為 2.答案： B4. 有下列四個(gè)命題： 命題“若x + y = 0,則x, y互為相反數(shù)”的逆命題； 命題“面積相等的三角形全等”的否命題； 命題“若1,則x2 2x+ vm= 0有實(shí)根”的逆否命題； 命題“若AH B= B,則A?B”的逆否命題.其中是真命題的是 （填上你認(rèn)為正確的