《高等數(shù)學(xué)》電子（同濟(jì)第六版）04第十章第4節(jié)重積分的應(yīng)用ppt課件

1、重積分的應(yīng)用第四節(jié)一、二重積分的應(yīng)用二、三重積分的運(yùn)用三、小結(jié)、立體的體積一)(曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積xyz),(yxfz DDdyxfV ),(、一般立體的體積、一般立體的體積2),(yxzz1),(yxzz2D dyxzyxzVD),(),(12一、二重積分的應(yīng)用例例1.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對(duì)稱性, 思索第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為那么所求體積為:dxdyxRVD22822022xRdyxRdxxRR022)(83316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxdxR

2、08222Ryx222Rzx2例例公共部分體積公共部分體積與與求球體求球體RzzyxRzyx22222222:解解求兩球交線的投影求兩球交線的投影zRzzyxRzyx消去消去由由2222222222243Ryx投影柱面方程投影柱面方程D投影域投影域22243Ryx222yxRz222yxRRz dyxRRyxRVD)(222222dRRdR2302220)2(3125R 實(shí)例實(shí)例一顆地球的同步軌道通訊一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相

3、同，即人們看到它在的角速率相同，即人們看到它在天空不動(dòng)若地球半徑取為天空不動(dòng)若地球半徑取為R，問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？(二)、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠?Dd 設(shè)設(shè)小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的的切切平平面面上上過(guò)過(guò)為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d

4、),(yxMdAxyzs o ,面面上上的的投投影影在在為為xoydAd ,cos dAd,11cos22yxffdffdAyx221DyxdffA221曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz22)()(1所以當(dāng)曲面的方程為：所以當(dāng)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠赿xdyxyDyzxz22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .dzdxAzxDxyzy221設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;dydz

5、AyzDzxyx221同理可得同理可得例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圓圓柱柱體體axyx 22內(nèi)內(nèi)部部的的那那部部分分面面積積.由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲曲面面方方程程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzADyx 1221412224Ddxdyyxaacos0220142adada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解 解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周

6、得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队坝驗(yàn)閤y,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaaSxyD222441故dxdyxyD2daada022204122 a).15526(62a(三)、平面薄片的質(zhì)心),(yxxoy12( ,)x y22(,)xy(,)nnxy1m2mnm設(shè)在平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于點(diǎn)，處，質(zhì)量分別為，由力學(xué)知識(shí)知道該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo) 為，11niiyiniim xMxMm11niixini

7、im yMyMm1nyiiim x 1niiMm其中1nxiiiMm y為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)y軸的靜矩。為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的靜矩。當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyyxoyD( , )x yD設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域 ，在點(diǎn)處的面密度為，在上延續(xù)，那么該薄片）yx,(）yx,(的質(zhì)心：例例1. 求位于兩圓求位于兩圓sin2sin4和薄片的重心. oyx42D解：解： 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知0 x而DydxdyAy1Dddsin312dsin4sin

8、22d04sin9562956d204sin295637C。之間均勻0sin31d43212(四)、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量yxoyD( , )x yD設(shè)有一平面薄片占有設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域平上的閉區(qū)域 ，在點(diǎn)，在點(diǎn)處的面密度為處的面密度為，在在上延續(xù)，那么該薄片上延續(xù)，那么該薄片）yx,(）yx,(的對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)到慣量：的對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)到慣量：例例 1 1 設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別 為為a、b，求求這這三

9、三角角形形對(duì)對(duì)其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量. 解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對(duì)對(duì)y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為,2dxdyxIDybabydxxdy0)1(02.1213ba同同理理：對(duì)對(duì)x軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為dxdyyIDx2.1213aboyxba例例 2 2 已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)）的長(zhǎng)）的長(zhǎng)和寬分別為和寬分別為b和和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解解先求形心先求形心,

10、1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)b, 0 x. 0yhDxdxdyyI222222hhbbdxdyy.123 bh DydxdyxI2.123 hb 薄片對(duì)薄片對(duì) 軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222dayxxyxkFDx,)(),(23222dayxyyxkFDy.)(),(23222dayxyxakFDz為引力常數(shù)為引力常數(shù)k(五)、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力xoyD( , )x yD設(shè)有一平面薄片占有設(shè)有一平面薄

11、片占有平上的閉區(qū)域平上的閉區(qū)域 ，在點(diǎn)，在點(diǎn)處的面密度為處的面密度為，在在上延續(xù)，求該薄片上延續(xù)，求該薄片）yx,(）yx,(對(duì)位于對(duì)位于z軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn) 0,0,a處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。例例1 求面密度為常量、半徑為求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形的均勻圓形 薄片：薄片：222Ryx ，0 z對(duì)位于對(duì)位于 z軸上的軸上的 點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力)0( a 解解由積分區(qū)域的對(duì)稱性知由積分區(qū)域的對(duì)稱性知, 0 yxFFdayxyxakFDz23)(),(222dayxaD23)(1k222oyzxFdadaR0222023)

12、(1k.11222aaRka所求引力為所求引力為.112, 0, 022aaRka1. 立體體積立體體積 占有空間有界域 的立體的體積為zdydxdV二、三重積分的運(yùn)用二、三重積分的運(yùn)用oxyZa2例例1.1.求半徑為a 的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)樵谇蜃鴺?biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?那么立體體積為zdydxdVcos202ardrdasincos316033)cos1(3443arMO闡明闡明: 當(dāng)當(dāng)2334aVcos20ar 020時(shí),0sind20drdddrsin2就得到球的體積設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有延續(xù)密度函數(shù),),(),(dx

13、dydzzyxdxdydzzyxxx,),(),(dxdydzzyxdxdydzzyxyydxdydzzyxdxdydzzyxzz),(),(),(zyx那么其重心坐標(biāo)為:當(dāng)),(zyx常數(shù)常數(shù) 時(shí)時(shí), 那么得形心坐標(biāo)：,Vdxdydzxx,VdxdydzyyVdxdydzzzdxdydzV物體的體積2. 物體的重心物體的重心例例2. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形，它的曲面方程為3039222zzzyx,)()(假設(shè)爐內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液，且不計(jì)爐體的自重，試求它的重心。解：利用對(duì)稱性可知重心在解：利用對(duì)稱性可知重心在 z 軸上，故軸上，故0 yx)41229(923hhhzdydxdVhzdz

14、z02)3(9zDhdxdyzd0oxhzVzdydxdzz那么鋼液體積曲面方程為0 yx)41229(922hhhV鋼液體積,)3()(9222zzyxhzdzz022)3(9zDhdxdyzdz0zdydxdzMz)51233(923hhh225409043060hhhhhVMzZ3.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,有延續(xù)分布的密度函數(shù)),(zyx類似于討論物體重心的方法, 先用“大化小,常代變得到質(zhì)點(diǎn)系對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近似值:kkkkkkv),()(22令 ,就得到物體對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0zdydxdzyxyxIz),()(22類似可得:zdydxdzyxIx

15、),( zdydxdzyxIy),( nk 1zI)(22zy )(22zx xyozol例例3. 求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解解: 取球心為原點(diǎn)取球心為原點(diǎn), z 軸為軸為 l 軸軸, 設(shè)所占域?yàn)樵O(shè)所占域?yàn)?222:azyx那么zIzdydxdyx)(22552a5158a ddrdr sin2用球坐標(biāo)xzy132220d34sinrd03sin)sinsincossin(222222rrrdra04問(wèn)題：如何用截面法和柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？問(wèn)題：如何用截面法和柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？222zyxr G 為引力常數(shù)四、物體的引力四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)

16、),(zyx物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)rzxvdyFd引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為),(zyxFFFF vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3Rxyzo例例4. 求半徑求半徑 R 的均勻球的均勻球2222Rzyx對(duì)位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對(duì)稱性知引力分量利用對(duì)稱性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(20

17、0232222)(ddzRaz點(diǎn)zDazyxyx23222)(dd0MazDRRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質(zhì)量幾何運(yùn)用：曲面的面積幾何運(yùn)用：曲面的面積物理運(yùn)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物理運(yùn)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力留意審題，熟習(xí)相關(guān)物理知識(shí)留意審題，熟習(xí)相關(guān)物理知識(shí)三、小結(jié)175410P習(xí)習(xí)題題12,11),1 (98),1 (7 , 5) 1 (4 , 2，181P總總習(xí)習(xí)題題十十12111032865213412,),)(,),)(),)(思索

18、題思索題.)0(cos,cos之之間間的的均均勻勻薄薄片片的的重重心心求求位位于于兩兩圓圓babrar ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對(duì)稱軸對(duì)稱x, 0 y則則 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思索題解答思索題解答一、一、 求錐面求錐面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面積曲面面積. .二、二、 設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域D是 介 于 兩 個(gè) 圓是 介 于 兩 個(gè) 圓 cos,cosbrar )0(ba 之間的閉區(qū)域之間的閉區(qū)域, ,求求均勻薄片的重心均勻薄片的重心. .三、三、 設(shè)有一等腰直角三角形薄片設(shè)有一等腰直角三角形薄片, ,腰長(zhǎng)為腰長(zhǎng)為a, ,各點(diǎn)處的各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 設(shè)均勻薄片設(shè)均勻薄片( (面密度為常數(shù)面密度為常數(shù) 1)1)所占閉區(qū)域所占閉區(qū)域D由拋物由拋物線線xy292 與直線與直線2 x所圍成所圍成, ,求求xI和和yI. .練練 習(xí)習(xí) 題題五、求面密度為常量五、求面密度為常量 的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片: : 0,222221 zyR