極坐標系中的圓弧插補方法

1、極坐標系中的圓弧插補方法上海機床廠磨床研究所責金城胡瑞素郭武飛提要木文分析了一種釆用三軸聯(lián)動加工2維極處標系工件的運動規(guī)律，發(fā)現(xiàn) 以輪廓1山線的法線轉角為參變量，可以對極坐標平血屮的任意圓弧曲線建立個同 ll<J參數(shù)方程，從而可以構造一個極坐標數(shù)控系的圓弧插補器對圓弧進行摘補運算。 應用本文根出的方法，編制了一個軟件描補運算程序,在我廠生產(chǎn)的MK8532 CNC 數(shù)槍M線磨床I：進彳f了試驗，結果證實了本文論點的正確性。1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House, All rights reserved. ht

2、j>/wwki.ncl1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House, All rights reserved. htj>/wwki.ncl對TH-/1何轉屮心的平板曲線型面工 件，釆用極坐標方式進行數(shù)控加工，有著明 顯的優(yōu)點?？梢院芎玫乇３只剞D中心的正確 位置，不受對偏卑的彫響。同時，在2維 械坐標系數(shù)控加工屮，采用“直線”插補的 給杲.或是以阿基米德曲線逼近刀具中心的 理論紈跡（二軸聯(lián)動加工情況,如圖1所 示），或是以類漸開線逼近工件的理論廓形 （三軸聯(lián)動加工借況,如圖2所示），程序 的分段數(shù)溝比采用直角

3、坐標系的肓線插補少但是，對于具有圓弧曲線型面的工件， 若采用極坐標方式進行數(shù)控加工時，由于“ 般圓弧曲線的極坐標方程比較復雜，很少有 人探忖釆用圓弧插補的可能性，歷來只考慮 采用直線插補。在這種憎況下，極坐標加工 的程序分段數(shù)目將比直角坐標加工的多，程 編計算也比較復雜，往往非手工計算所能勝 任。因此，盡管極坐標方式數(shù)控加工有保持 冋轉中心正確位置等很多優(yōu)點，其應用仍然 不及直角坐標數(shù)控加工來得普遍。如果對圖2所示的極坐標加工方式的運 動規(guī)律加以仔細分析，仍然可以建立一個圓 弧插補的數(shù)學模型，從而可以構造-個極坐 標數(shù)控加工的圓弧摘補器。這樣，對于具有 冋轉中心的平板圓弧曲線型面工件，采用極

4、坐標方式進行數(shù)控加工，依然出用直角坐標 方式具有明顯的優(yōu)越性。在生產(chǎn)實踐中釆用 極處標系圓弧插補的數(shù)控;加工將會產(chǎn)生較 大的技術經(jīng)濟效益，同時，對于數(shù)控轉臺， 這個實現(xiàn)極坐標數(shù)控加工的主要機床部件， 可以展龜其在數(shù)控加工中將會發(fā)揮更大的作 用。二、2維極坐標系中三軸聯(lián)動加工的運動規(guī)律2維極坐標系的數(shù)控加工，可以釆用圖 1所示的二軸聯(lián)動方式，亦可釆用圖2所示 的三軸聯(lián)動方式，后者有下述特點，(1 )計算刀具位置的方程中不包存刀具 半徑這個參數(shù)，因而刀具半徑的變化對加工 精度沒有影晌。這對于刀具半徑難以準確測 笛和柱加工過程中刀具半輕較易變化的磨削 加工(例如由于修整而改變砂輪尺寸)，尤 具重大意

5、義。(2可以加工外壞形工件，亦可加工內 廓形工件(例如，轉子發(fā)動機的缸體，油嗎 達的定子圈等)。正確選擇刀具和工件的回 轉方向，內外廓形可以采用同一套數(shù)據(jù)加 工。(3對于外廓中直線部分和凹稱部分 也可以加工。圖3麥示用極坐標方法加工偏心岡弧的 狀況。刀具運動規(guī)律為，(C » 0 + 0,! x = Ri + ejcosCO + Oi)y =- et sinCO + e.)式中Ci偏心圓孤的偏心叭即從岡弧中 心Oi至冋轉申心0的距離。出偏心岡弧的半徑。0：加工起點和偏心向量00,的初始相角0在加工過程中，刀具與工件的接 觸點P變化時，與其相應的岡弧法線轉角。 通過P點的圓弧法線的方向，

6、應選取使其與 向量0P的夾角在一般情況下小于90。即規(guī) 定凸圓弧的法線方向為0.P,從圓弧中心指 向圓刪凹圓弧的法線方向為POi,從惻周 指向圓弧中心。式(1 )可以改寫成泊數(shù)部分和變化部分 的迭加，即i/c = c + c = 0t + 01 x = x + x = Ri + e. cos(0+ 0；)( 2 )I| y = y + y =O-*ej sin(O + &)在加工中我們往往對變化部分感興趣。I c = 0.x = e. cos(0 + 0()(3 )y = - 5 sin(O + Oi)式3正是以0為參變量的圓的參數(shù)方程。這 個圓是在一個特殊的“行星坐標系"%

7、?中 定義的，其圓心與行星坐標系的原點相輩 合，半徑為e；。將式(3)進行微分町你“de = dO.5dx - - Ci sin<0 + OjdO = y (19i(4)、dy = - ei cos(0 + 6j)d0 = - x dO 式(4 )即為2維極坐標系圓弧插補的基本公 式。這里長和疔的汲達式相常見的直角坐 標系中所推導的結果，符號恰好相反，這說 明當?shù)毒咭阅鏁r針方向圍繞工件運動時， dB>0, :和F二軸應進行順圓插補運算。 反之，當?shù)毒咭皂槙r針方向圍繞工件運動 時，dO<0, 7和F二軸應進行逆圓描補運1994-2012 China Academic Journ

8、al Electronic Publishing House, All rights reserved. htj>/wwki.ncl應該指出，xoy坐標系是一個與刀具系 統(tǒng)有看某種網(wǎng)定聯(lián)系的坐標系，它和刀具系 統(tǒng)一起圈繞希工件的中心0 （我們稱其為恒 星坐標系原點）作“行足”運動，其轉用以c 度量,運動軌遒為-個半徑等丁乩的圓。行 星坐標系灼X軸，始終位于00連線上。刀 具與工件的接觸點，即切削點，可以被看作 為一顆衛(wèi)星，它刖綴看行星坐標系的原點0 旋轉，其轉角以-C度量。衛(wèi)星的軌道平面與行 星軌道平面重合，軌逍形狀是一個半徑為e： 的圓。顯然，衛(wèi)星運動周期和行星運動周期 完全相同，旋轉

9、方向剛好相反。結果，在恒 星坐標系中，衛(wèi)星（即切削點）的軌跡形成 一個偏心為5,半徑為Ri的偏心圓。從而可 以加工出所期望的倫心圓弧廓形。（0）Rl>e;>0（d）ei>-Ri>0圖4 行星軌逍A,衛(wèi)星相對行!1的軌iSB,以及衛(wèi)見 的絕對軌3®c,表示極坐猱系圓瓠曲銭加工的運動規(guī)律.氏中ei = 00. I Rr | -00圖4表示行星坐標系的軌道A,衛(wèi)星在 行星坐標系中的軌道B,以及衛(wèi)星在恒星坐 標系中的軌跡c的圖形。其中（a）、（b）表示 加工凸圓弧的情況；（c）. （d）表示加工凹圓 弧的情況，這時Ri應取為負值。在實際情況下，xoy坐標系往往是固定

10、不轉動的，而代之以將工件安裝在一個數(shù)控 轉臺上轉動,其轉角以&度Jt，且J = -7。 x軸建過數(shù)控轉臺的回轉中心0,和刀具系 統(tǒng)的主進給方向平行,y軸和刀具系統(tǒng)的側 進給方向平行。xoy坐標系的原點0與數(shù)控 轉臺回轉中心0的距離為Ri。因而，當?shù)毒?法喬坐標系中作半徑為ei的圓弧插補運動 時，工件在轉臺上作相應的同步旋轉，即刀 具完成一個全圓插補運動時，工件以同樣的 旋轉方向恰好同步旋轉360%結果，切削點 在工件平面占的跡線即形成偏心為賈，半徑 為Ri的偏心圓。三、2維極坐標系圓弧插補器的結構原理按照式（4）,顯然可以采用DDA原理 來設計2維極坐標系的圓弧插補器。同直角 坐標系中

11、所使用的DDA圓弧插補器相比較, 這里只是多了一項控制行星坐標系轉角c的 要求。首先，我冊可以將式（4）改寫成，! de = kcd0_ dx = yd9（ 5 ）dy p - xdO對式5）進行積分，并改寫成累加的形 式f=Jdx« Sy<AO + x0 ( 6 )rm I J dy = S ( - xi)A9 + yo式；（6 ）的運算可以采用三個數(shù)字積分器來實現(xiàn)，每個數(shù)字積分器包含一個累加器和 1個寄存器；圖5就是這種2維極坐標系圓弧摘補飜 的結構框圖。計數(shù)器cc用來計數(shù)&實現(xiàn)播 補運算的終點判別。另一個比例積分器Iv和 分頻器D則用于控制插補運算速度。在克角坐標

12、系中，厶0只涉及插補運算 的節(jié)拍，對x軸和y軸上的運算結果毫無影 響，因而可將其看成時鐘控制脈沖。但在2 維極坐標系中，x軸和y軸的圓弧插補運動必 須和行星坐標系的轉角c嚴格保持一定的同 步關系。.因而，必須考慮c軸上的脈沖當量 和所選用的A0值之間的函數(shù)關系。'計算弧長S的公式fR*dO=SRA0 + soJ1(7)將R放在N位累加器中累加，則相當 于2n弧度。kc = A9/Ac = (1/Ac ) 2*n田5 2維扱雖標系插補器的第構榷圖N>log2(l/Ac) N為正整數(shù)。例如，上海機床廠的MK8532數(shù)控'曲線 暦床:軸脈沖當量為】59 "NKc= -

13、/c 0.0174532925 X 1 .5/60士(2291 83M8)2-n于是耍求N>12.在圖5中，比例積分器Ic字長取N + M 位，高N位中計算kc值的整數(shù)部分，低M位 中計算kc值的小數(shù)部分。例如M=8 (相當 于一個字節(jié),則通過一個全圓插補后，c 軸只提前001個脈沖到達終點，所引起的插 補謀差在弧長方向上只為：A000000136ei當 ei= 100mm,謀差0.0C0436mm = 0.436|im,結果已相當Oo數(shù)字積分舉2和Iy字長均取N位，并令 最高位為符號位。N的選擇應適應最大可能 處理的圓弧偏心值Emax,并兼顧Ic中kc值的 整數(shù)部分。例如，當選取N&q

14、uot;6時，E細x = 32767脈沖當量。應當指出，圖5所示的DDA圓弧描補 器的結構并不是很理想的。如將式(5)后二 式改寫成迭代形式，則'x#+i = x0 + yn A9I yn>i = y0- xB AO(9)亦即：Xn", Yn+O-CXjt A0 1 J式(iO)中2X2行列式之值為1 + (A譏 故向 S S 的?？偸巧源笥谙蜃顇,yj 的模，這樣根據(jù)圖5権圖運算的結果，插補 圓ei的值不能保持恒定，而按對數(shù)螺線的規(guī) 徉不斷增人，其增大疑約為3個脈沖當盤/ 轉'幸好在實際場合，這類偏心圓弧段所 昨施的角度是農(nóng)限度的，不致造成過份大的 淚差。&#

15、169; 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House, All rights reserved. h®/Akij若把式(9)改寫如下' zi =xi>+y八 A9I y“i =x.AG (ID亦即*g y小gy呱仁鈿 則可保證插補圓弧在行星坐標系中閉合，因 而可以應用于跨越角度較大的圓弧。$式(11)的結構梶圖如圖6所示，其中SD 為時序脈沖分配器，汝保證Ah出現(xiàn)在們 之后。五、2維極坐標系圓弧插補法的軟件采用小型計算機的CNC系統(tǒng)或采用微 機的MNC系統(tǒng)，可以用軟件方式實現(xiàn)上述 的2維極坐標

16、系的圓弧插補。其程序流程框 圖如圖7所示。四、2維極坐標系圓弧插 補的速度控制控制A6的頻率G就可控制運算節(jié)拍， 從而控制刀具沿c軸M軸、y軸的運動速度。 當h保持恒定時，懇骨刀具沿x軸、y軸的 運動速度會隨著圓孤偏心率e：的不同而改 變，但不影響刀具沿工件圓弧表面的相對運 動速度保持恒定。因為在2維坐標系的圓弧 插補中，所桶補的圓并非工件上的真正廓 形，而是行星坐標系中一個想象的圓。如圖 4所示，刀具沿工件表面的相對運動速度Vs 取決于偏心圓弧本身的半徑Ri和圓弧法線轉 處的變化率b即設尼賀則條井 .Ce-CcrCCc KeRc*> Ac yo-*Ry*Ai XoR%f Ay Sign

17、 (cc>->Si£A(Ac>ds 二 dsdt dOdO D. dt=Rl*d9=Ri 7(12)衣圖5中，利用一個比例積分器Iv,其中的 奇存器存放比例常數(shù)Vs,對某一高頻時鐘脈 沖進行分頻，得到dtg然后再通過一個分 頻系數(shù)為Ri的分頻器對dt進行分頻，這樣 得到的控制脈沖dO就保證刀具沿工件圓弧的 相對運動速度為Vs。y期時卜運算，(中 KMfi>AyRyf Ay*Ju(Rr> (-1否M否？圖7極坐標圓孤摘補褂遅輯據(jù)圖六.程序編制舉例對于2維極坐標系中的偏心圓弧段采用© 199工2012 China Academic Journal

18、Electronic Publishing House, All rights reserved. htlp；/wwu 上述插補方法進行數(shù)控加工時，程編工作非 常簡單。每段程序只需計算四個鼠。即C.圓弧起點法線相對于偏心向量的 夾角。C<圓弧終點法線相對于偏心向薩的 夾角。5 一圓弧起點在行星坐標系中的坐 標值。顯然，如果該段圓弧的偏心率為C,則x0= e cos(co)y0= -e sin(co)例1,如圖8所示的由六段圓弧所組成 的工件，各段圓弧半徑均為r = 20mm,從A 點開始加工，刀具繞工件作順時針方向運 動。由于對稱關系，我們只需考慮1/3部分 的工件廓形，即從A點起經(jīng)B.

19、 C到D點止。圖8-個由六段餛心擁弧組成的工件由圖8的幾何關系可得，001 =00j = r/cos30° = 23.094mm002 = 200i = 46.188mm對于凸圓弧心c = 00i = 23t094mmc° = 0°c.= -90°1994-2012 China Academic Journal Electro:Ce- Cc= - 90。x0= e cosO° - 23.094mmy°= - e sin0° = 0對于凹圓弧氏e = 00； * 46.188mmc0= -30°Ce30°c

20、t- c.= 60°x0= e cos( - 30°) = 40t000mm y°=e. sin(-30°) = 23.094mm 對于凸圓弧&)e = OO3 二 23.094mmc0 =90°Ce=0°ce- c0= - 90°x0= e cos90° = 0y0= - e sin90° = - 23.094mm假設C軸脈沖當量為J.5S X軸和y軸的脈沖 當量為0.002mm,并假定2維極坐標系圓弧 插補機能為G12。則匕述三段可寫成下列數(shù) 控程序：NOH G12C- 3600 xH547y

21、0 (EOB)；N012 G12 C2400x20000y 11547(EOB),N013 G12 C- 3600 xO y-11547(EOB),例2：圖9是一個由9段圓弧組成廉形 的平板凸輪。在數(shù)控程序中采用Di機能作為 第二種速度機能，D機能值為偏心圓弧的半 徑以控制刀具沿工件輪廓的相對運動速度的 均勻性。這9段圓弧的數(shù)控程序可寫成下列 形式：NOH GOJ C-4313 I)45(EOB)jN012 G12 C593x31500y0D19(EOB)；,N013 G12C- 1480xl0700y - 8064 D21 (EOB)jPublishing House. All rights

22、 reserved. Irtl甲Aki.nclN018 G12C- 2632x13867 y - 7831D16 (EOB),N019 G12C654x30225 y8872 D19 (EOB), .七.試驗及結論用上述方法在我廠生產(chǎn)的MK8532 X 1500CNC曲線磨床上編制了一個軟件插補 運算子程序，對幾種多段偏心圓弧凸輪進行 了畫線和加工試驗，'試驗結果證實了上述方 法的正確性。1994-2012 China Academic Journal Electronic Publi 一 House, All rights reserved, http;/1994-2012 China Academic Journal Electronic Publi 一 House, All rights reserved, http;/- ABBCCDzxDE此外.還蠱采用FORTRAN語言對上 述極坐標系圓孤插補法編寫了一個模擬程Ri44.5-18.52147,8序，用圖8作為例子在通用計算機上進行了