工程斷裂力學(xué)第三章(礦大)new

1、第三章 應(yīng)力強(qiáng)度因子 斷裂發(fā)生時(shí)在裂紋端點(diǎn)要釋放出多余的能量，因此，裂端區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)必然與此裂端的能量釋放率有關(guān)。若裂端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的強(qiáng)度（intensity）足夠大，斷裂即可發(fā)生，反之則不發(fā)生。因此，得到裂端區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的解析解是個(gè)關(guān)鍵。 近代斷裂力學(xué)是用彈性力學(xué)的解析方法來(lái)完成這一工作的，而這些解析法需要用高深的數(shù)學(xué)工具，這對(duì)于初次接觸斷裂力學(xué)的讀者來(lái)說(shuō)，是比較困難的。因此，本章只給出一些主要的概念和結(jié)果，并介紹一些工程近似方法。 3-1 裂紋的基本型一般將裂紋問(wèn)題分為三種基本型，如圖所示 張開(kāi)型張開(kāi)型 滑移型滑移型 撕裂型撕裂型 裂紋基本型 第一種稱為張開(kāi)型（opening mode

2、）或拉伸型（tension mode），簡(jiǎn)稱I型。其裂紋面的位移方向是在使裂紋張開(kāi)的裂紋面法線方向(y方向)。它通常發(fā)生在載荷和幾何形狀對(duì)稱于裂紋平面的情形，例如Griffith裂紋是I型裂紋，其裂紋的擴(kuò)展方向是正前方（x方向）。若物體是均勻厚度的平板，裂紋貫穿板厚，則問(wèn)題是二維的（平面問(wèn)題）；若物體不是平板或者裂紋沒(méi)有貫穿板厚，則是三維問(wèn)題。許多工程上常見(jiàn)的斷裂都是I型裂紋的斷裂，這也是最危險(xiǎn)的裂紋類型。 裂紋基本型 第二種裂紋型稱為同平面剪切型（inplane shear mode）或者滑移型（sliding mode），簡(jiǎn)稱II型。裂紋上下表面的位移方向剛好相反，一個(gè)向正x方向，另一個(gè)向

3、負(fù)x方向。在板厚均勻和裂紋貫穿板厚的情況下，此裂紋問(wèn)題也是二維的，屬?gòu)椥粤W(xué)平面問(wèn)題。 裂紋基本型 第三種裂紋型稱為反平面剪切型（antiplane shear mode），簡(jiǎn)稱III型。裂紋面上下表面的位移方向也是剛好相反，但一個(gè)向正z方向，另一個(gè)向負(fù)z方向。這里的z方向是板厚方向，屬?gòu)椥粤W(xué)空間問(wèn)題。 除了這三種基本型外，尚有復(fù)合型裂紋（mixed mode crack），它是兩種以上基本型的組合。3-2 裂端的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng) 下面考慮二維的I型裂紋問(wèn)題。圖給出一個(gè)以裂紋端點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，此坐標(biāo)系x方向是裂紋正前方，y方向是裂紋面的法線方向，z方向則是離開(kāi)紙面的方向?？紤]一個(gè)離裂端很近，

4、位置在極坐標(biāo)(r，）的單元，其應(yīng)力狀態(tài)可以用x、y和xy三個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示。 裂紋前沿的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)究竟是怎樣的？I型裂紋的應(yīng)力場(chǎng) 由彈性力學(xué)（橢圓孔口問(wèn)題）的解析解，得裂端的應(yīng)力場(chǎng)恒為 高次項(xiàng) 在裂端區(qū)，即r足夠小的情形下，式中r的高次項(xiàng)比首項(xiàng)小得多，因而可以忽略 。23cos2cos2sin223sin2sin12cos223sin2sin12cos2rKrKrKIxyIyIxI型裂紋的應(yīng)變場(chǎng) 從上式可見(jiàn)，裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)的形式恒定，其強(qiáng)度完全由KI值的大小來(lái)決定，因此就稱KI為I型裂紋的。裂端區(qū)的應(yīng)變場(chǎng)可以由彈性力學(xué)公式求得為： 我們的興趣不在于得到精確的應(yīng)變場(chǎng)形式，而在于知道應(yīng)變分量也只由應(yīng)

5、力強(qiáng)度因子來(lái)確定。 yxjifrKijIij,),(2I型裂紋的位移場(chǎng) 通過(guò)應(yīng)變一位移關(guān)系，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算，可以得到裂端區(qū)的位移場(chǎng)為： 這里u和v分別為x和y方向的位移分量，是剪切模量，與泊松比的關(guān)系為： 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變2sin2cos2) 1(222cos2sin2) 1(2222/122/1rKvrKuII1343II型和III型裂紋 對(duì)于II型和III型裂紋，裂端區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的形式也是恒定的，而且其表達(dá)式與I型裂紋相似。II型和III型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子分別用KII和KIII表示。由于II型裂紋也是平面問(wèn)題，可采用上面的坐標(biāo)系來(lái)描述，而且只有應(yīng)力分量x、y和xy 存在。III型

6、裂紋問(wèn)題是反平面剪切問(wèn)題，位移分量?jī)H有z方向的w，應(yīng)力分量?jī)H有xz 和yz 。II型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)23sin2sin12cos223cos2cos2sin223cos2cos22sin2rKrKrKIIxyIIyIIx2cos2sin2) 1(222sin2cos2) 1(2222/122/1rKvrKuIIIIIII型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)2cos22sin2rKrKIIIzyIIIxz2sin222/1rKwIII思考題 如圖所示的坐標(biāo)系，I型和II型裂紋的裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)在裂紋表面有何特點(diǎn)？在裂紋正前方又分別有何特點(diǎn)？裂端區(qū)位移分量在裂紋表面和正前方又有何特點(diǎn)？3-3 應(yīng)力奇異性和應(yīng)力強(qiáng)

7、度因子 三種基本裂紋型的裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)給出的裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即r0時(shí)，即在裂紋端點(diǎn)，應(yīng)力分量均趨于無(wú)限大。這種特性稱為應(yīng)力奇異性（stress singularity）。 為何會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力奇異性呢？這是因?yàn)榱鸭y端點(diǎn)是幾何上的不連續(xù)點(diǎn)的緣故。 應(yīng)力奇異性 圖示帶有圓孔、橢圓孔和裂紋的無(wú)限大平板。它們分別受到無(wú)窮遠(yuǎn)處y方向的均勻拉應(yīng)力的作用。對(duì)于圓孔，此時(shí)A和B兩點(diǎn)有應(yīng)力集中現(xiàn)象，其應(yīng)力集中系數(shù)(stress concentration factor)已廣為人知。對(duì)于橢圓孔，應(yīng)力集中仍發(fā)生A點(diǎn)和B點(diǎn)，其應(yīng)力集中系數(shù)為： a為橢圓的長(zhǎng)半軸，為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的曲率半徑。 aKt21應(yīng)力奇異性

8、由于a大于，所以Kt恒大于3，即橢圓應(yīng)力集中的程度比圓孔問(wèn)題嚴(yán)重。若是短軸長(zhǎng)趨于零，則也將趨于零，此時(shí)應(yīng)力集中系數(shù)Kt將趨于無(wú)限大。在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，斷裂力學(xué)所指的裂紋，其裂端的曲率半徑是為零的；在不受力的情況下，上下兩個(gè)裂紋面是互相接觸的。因此，裂紋即裂端曲率半徑趨于零時(shí)的橢圓孔，其裂端有無(wú)限大應(yīng)力。 應(yīng)力是看不見(jiàn)的，它是個(gè)抽象的概念，然而位移過(guò)程是可以看到的。物體上個(gè)別點(diǎn)（無(wú)限遠(yuǎn)處除外）具有無(wú)限大的應(yīng)力并不會(huì)使該點(diǎn)的位移趨于無(wú)限。因此，裂端具有無(wú)限大應(yīng)力是允許的。同時(shí)可以證明，這并不影響裂端區(qū)應(yīng)變能的有界。 三種基本裂紋型裂端區(qū)某點(diǎn)的應(yīng)力值、應(yīng)變值、位移值和應(yīng)變能密度值都由應(yīng)力強(qiáng)度因

9、子及其位置來(lái)決定。因此，只要知道應(yīng)力強(qiáng)度因子，裂端區(qū)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和應(yīng)變能密度就都能求得。由于有這一特點(diǎn)，應(yīng)力強(qiáng)度因子可以作為表征裂端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的參量。近代斷裂力學(xué)，就是Irwin在五十年代中期提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念，認(rèn)識(shí)到它的意義后才開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的。 習(xí)題 當(dāng)應(yīng)力奇異性是由r-n來(lái)決定時(shí)，n就稱為應(yīng)力奇異性的指數(shù)。當(dāng)線彈性體的裂紋端點(diǎn)具有指數(shù)n為1/2的應(yīng)力奇異性時(shí)，試由量綱分析著手，證明裂端區(qū)的應(yīng)變能將是有界的。若要裂端區(qū)的應(yīng)變能有界，能否反過(guò)來(lái)從數(shù)學(xué)上證明應(yīng)力奇異性指數(shù)不得大于或等于1？3-4 常見(jiàn)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 應(yīng)力強(qiáng)度因子可以用來(lái)表征裂紋端點(diǎn)區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的參量，因此

10、，在工程應(yīng)用前，首先要計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子有解析法和數(shù)值法兩種，前者包括應(yīng)力函數(shù)法、積分變換法、契合問(wèn)題解法等等；后者包括有限單元法、邊界元法、邊界配置法等。 從五十年代中期以來(lái)，已建立了許多的計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法，對(duì)很多常見(jiàn)裂紋問(wèn)題的應(yīng)力強(qiáng)度因子已匯集成手冊(cè)。因此，可以根據(jù)手冊(cè)的結(jié)果，作一定的簡(jiǎn)化和近似后，來(lái)解決工程問(wèn)題。 裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 應(yīng)力強(qiáng)度因子的值由載荷、裂紋數(shù)目、長(zhǎng)度和位置以及物體的幾何形狀等共同決定。它的單位是力長(zhǎng)度- 3 / 2。常用單位為制的百萬(wàn)牛頓米-3/2(MN/m3/2)或用公制的公斤力毫米-3/2。 由于I型裂紋是最主要的裂紋型，下面介紹一些標(biāo)準(zhǔn)裂

11、紋問(wèn)題，給出實(shí)驗(yàn)室常用試件和工程零構(gòu)件最常見(jiàn)I型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子（用K表示）。Griffith裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子aK無(wú)限大平板有中心裂紋，裂紋表面受到均勻拉伸應(yīng)力作用的應(yīng)力強(qiáng)度因子aK無(wú)限大平板有中心裂紋，裂紋表面某處受到一對(duì)集中拉力P（單位厚度集中力）作用 的應(yīng)力強(qiáng)度因子babaaPKbabaaPKBA有限寬的長(zhǎng)條板有中心裂紋，受到無(wú)窮遠(yuǎn)處的均勻拉伸的應(yīng)力強(qiáng)度因子haaKsec有限寬的長(zhǎng)條板有單邊裂紋，受到無(wú)窮遠(yuǎn)處的均勻拉伸的應(yīng)力強(qiáng)度因子aKhahahahahahafhafaK12. 138.3071.216 .1023. 012. 1432有限寬的長(zhǎng)條板有單邊裂紋，受到無(wú)窮遠(yuǎn)處的純彎曲的

12、應(yīng)力強(qiáng)度因子設(shè)則2/6hMhafaKaKhahahahahahaf12. 10 .1408.1333. 740. 112. 1432圓孔萌生的單邊裂紋工程近似解的應(yīng)力強(qiáng)度因子 無(wú)限大平板的圓孔萌生了一條穿透板厚的裂紋，裂長(zhǎng)為L(zhǎng)。若平板受到無(wú)窮遠(yuǎn)處的均勻拉伸，當(dāng)LR時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的上限為: 若裂紋較長(zhǎng)，則下限用 :LK)3(12. 1)2/(LRK圓孔萌生的雙邊裂紋工程近似解的應(yīng)力強(qiáng)度因子)2/ )(21LLRK圓裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 又稱為錢幣裂紋（penny-shaped crack），是三維的I型裂紋問(wèn)題，裂紋表面呈圓形。假設(shè)受到垂直裂紋表面的拉伸應(yīng)力，當(dāng)彈性體的體積遠(yuǎn)大于圓裂紋尺寸，且拉

13、伸應(yīng)力為均布時(shí)，圓周上每一點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子（精確解）為 ：aK2橢圓裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子為第二類橢圓積分：在短軸的端點(diǎn)，K有最大值。在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，K有最小值。 4/12222cossincaaKdcac2/12/02222sin1半橢圓形表面裂紋 aFKA0)(38.30)(71.21)(6 .10)(23. 012. 10)()5 . 0(2 . 510. 14328 . 1/5caBaBaBaBacaBaFcaca當(dāng)當(dāng)形狀因子 從上述例子可見(jiàn)，強(qiáng)度因子總是與載荷成正比（這里指單向加載的拉伸應(yīng)力或集中力），而且在均勻拉伸下，恒有 的形式。這里Y是與載荷無(wú)關(guān)，而與幾何變數(shù)（裂紋長(zhǎng)度或位置、物體形

14、狀等）有關(guān)的量，故稱為幾何因子或形狀因子（geometric factor）。aYK3-5 疊加原理及其應(yīng)用 線彈性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系是線性的，因此，裂紋問(wèn)題的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以利用疊加原理來(lái)求得。下面舉例介紹疊加原理在求應(yīng)力強(qiáng)度因子方面的幾種應(yīng)用。 1.同型裂紋的疊加 兩個(gè)以上的外載荷同時(shí)作用于一個(gè)帶裂紋的物體，若此時(shí)的裂紋問(wèn)題與每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)是同一型裂紋，則應(yīng)力強(qiáng)度因子為每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子之和。 aPaK2.復(fù)合型裂紋的分解 如果幾種載荷或是特殊載荷的作用，產(chǎn)生了復(fù)合型裂紋，則復(fù)合型裂紋的各型應(yīng)力強(qiáng)度因子是把載荷分解后各型裂紋問(wèn)題的應(yīng)力強(qiáng)度因子。 aKaKaKIIIIII,3.把裂紋問(wèn)題化為同型的另一個(gè)裂紋問(wèn)題 當(dāng)一個(gè)裂紋問(wèn)題的應(yīng)力強(qiáng)度因子很大易求得時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)疊加原理，改求另一個(gè)較簡(jiǎn)單裂紋型的應(yīng)力強(qiáng)度因子，而此兩裂紋問(wèn)題的應(yīng)力強(qiáng)度因子是相等的 。4.Green函數(shù)的應(yīng)用集中力的解可作為格林函數(shù)，然后用積分來(lái)得到分布力的解。 babaaPKbabaaPKBAbabaadbdKdbbaba