數(shù)列解答題練習(xí)答案

1、13-14學(xué)年度上學(xué)期高三理數(shù)綜合練習(xí)高三理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)數(shù)列答案1. 在等差數(shù)列an中，a3 + a4 + a5= 84, ag= 73.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；對(duì)任意m N*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求 數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.解(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列，所以 a3 + a4 + a5= 3a4= 84,即 a4 = 28.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則5d = a9-d = 73 28= 45,故d= 9.由 a4= a1 + 3d 得 28= a1 + 3 x 9 ,即卩 a1 = 1.*所以 an= a1 + (n 1)d= 1 + 9(n 1) = 9

2、n 8(n N ).(2)對(duì) m N*，若 9mv anV 92m,則 9m+ 8V 9nv92m + 8,因此 9m_1 + 1< nW 92m 1,故得 bm= 92m1 9m 1.于是 Sm= b1+ b2 + & + bm32m 1m1、=(9 + 9+ 9) (1 + 9+ 9)=9x(1 81m)1 9m=1 81 1 9=92m+1 - 10X 9m+ 1= 80 .解 (1)由 a2 6, a3 18,得公比 q 3, 因此a1 2,故 an 2 3n1.因?yàn)?bn an+ ( 1) In an2 3n1 + ( 1)n|n(2 3n 1)2 3n1 + ( 1)

3、nln 2 + (n 1)ln 32 3n1 + ( 1)n(ln 2 In 3) + ( 1)n nln 3,所以 Sn 2(1 + 3+-+ 3n1)+ 1+ 1 1 + -+ ( 1)n (In 2 In 3)+ 1 + 2 3+-+ ( 1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n亠 1 3 n n nSn 2X +-ln 3 3* ln 3 1;1 3 2 2 ' 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，專-n ln 31 3nSn 2X (l n 2 ln 3) +1 3n13 2ln 3 ln 2 1.3n+ nln 3 1, n為偶數(shù)，綜上所述，Sn n13n-ln 3 ln 2 1, n為奇數(shù).an

4、 + an+14.已知數(shù)列an滿足 a1 1, a2 2, an+2 "', n N .(1) 令bn an+1 an,證明：bn是等比數(shù)列；(2) 求an的通項(xiàng)公式.(1)證明 b1 a2 a1 1.an-1 + an當(dāng) n2 時(shí)，bn an+1 an2 an1是以1為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列.班-12 ，解 由(1)知 bn an+1 an2(an一 an_1)= ?bnT，二 bn當(dāng) n2 時(shí)，an ai + (a? ai) + (a3 a2)+ (an an-1) 1 + 1 + ? + 2nT 221+1!1-1 n-1221-1= 1 = a1,11 +1-1

5、n-15 2=3-3 2.當(dāng)n= 1時(shí),5 21 nc Sin_3-35. 設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.已知 a1 = a(a 3), an+1 = Sn+ 3n, n N.(1) 設(shè)bn = Sn-3n,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2) 若an+1>an, n N*，求a的取值范圍.解(1)依題意，S+1 Sn= an + 1 = Sn+ 3“，即 Sn+1= 2Sn+ 3",由此得 Sn+ L 3“ + 1 二 2(Sn-3,又S1-31 = a- 3(aM3),故數(shù)列Sn-3n是首項(xiàng)為a-3,公比為2的等比數(shù) 列，*因此，所求通項(xiàng)公式為bn = Sn- 3n= (a -

6、 3)2n 1, n N .(2)由(1)知 Sn= 3n + (a- 3)，-1, n N*,于是，當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn - Sn-1 = 3n + (a- 3)2n-1 - 3n-1- (a- 3)2n-2= 2X 3n 1n-21+ (a-3)2n 2,當(dāng)n = 1時(shí)，a1 = a不適合上式，a, n= 1,2X3n-1+ a-3 2n-2, n2.an+1 an= 4 X 3“ 1 + (a 3)2n 22n-2 12 卽-2+ a- 3 ,i3'n- 2當(dāng) n2 時(shí)，an+1an? 12*2+ a 30? a一9.又 a2= a1 + 3>a1.綜上，所求的a的取

7、值范圍是-9,+x).(二)數(shù)列綜合問(wèn)題(數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的綜合問(wèn)題)31*16. 在數(shù)列an中，a1 = Q an= 2(n2, n N ),數(shù)列bn滿足 bn=二;5an-1an I(n N *).(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.1 * 1證明Tan= 2(n>2, n N), bn=3anTan 11 1 nA 2 時(shí)，bn bn 1=；an1an 1 an 1 1=1.an 1 1 an 1 1an 1 112 一 一 1'、一 an-1 又 b1=aH=|.a1 125數(shù)列bn是以一5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.712解

8、 由(1)知，bn= n 2，貝U an= 1 +1 + 2n 7，2設(shè)函數(shù)f(x)= 1+-，2x 7易知f(x)在區(qū)間i x，2和2，+*內(nèi)均為減函數(shù).結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得，當(dāng)n = 3時(shí)，an取得最小值一1;當(dāng)n= 4時(shí)，an 取得最大值3.7將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9已知表中的第一列數(shù) a1，a2，a5，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為bn，且b2 4，b5= 10.表中每一行正中間一個(gè)數(shù) a1，a3，a7，構(gòu)成數(shù)列6，其前 n項(xiàng)和為Sn.(1) 求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2) 若上表中，從第二行起，每一行中

9、的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù) 列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且a13= 1. 求Sn； 記M = n|(n+ 1)cnA A，n N*，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3,求實(shí)數(shù)入的 取值范圍.解得jb1 = 2,4 = 2，解(1)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，b1+ d= 4， 則b + 4d= 10，所以bn= 2n.設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q.由于前 n 行共有 1 + 3+ 5+ (2n 1) = n2個(gè)數(shù)，且 32<13<42, a10= b4 = 8,n2n_ 2，所以 ai3= aioq3 = 8q3,又 ai3= 1,所以解得 q = 由已知可得 Cn= bnqn 1 ,因此

10、Cn= 2n £) 1 22.所以 Sn= Cl + C2 + C3+ Cn =1 1 2n1 n20+刁+ 三7+21,11111 n ,1 n , n+2因此 2$ = 21 + 2°+ 刁 + + 221 = 4 2 21 = 4,解得 Sn= 8 22.由知Cn 2*-2，不等式(n + 1)6入可化為n 2,入設(shè) f(n) n 2+21 ,15 計(jì)算得 f(1) 4, f(2) f(3) 6, f5, f(5)4.因?yàn)?f(n+ 1)f(n) n + ；n廠 n ,所以當(dāng)n3時(shí)，f(n+ 1)<f(n).因?yàn)榧螹的元素個(gè)數(shù)為3,所以入的取值范圍是(4,5.

11、8.已知正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a2 Sn+ Sn-1(n2), a1 1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；*設(shè)bn (1 an) a(1 an)，若bn+ 1>bn對(duì)任意n N恒成立，求實(shí)數(shù)a的 取值范圍.解(1)因?yàn)?a2 Sn+ Sn-1(n2),所以 an-1 Sn-1+ Sn-2(n3),兩式相減得 a? ain-1 Sn Sn-2 an+ an-1,所以 an an-1 1(n3).又 a2 S2+ Si,且 a1 1,得 a2 a2 2 0,由 a2>0，得 a2 2,所以 an an-1 1(n2).所以 an n.法 一bn (1 n)2 a(1 n)+ (

12、a 2) n+ 1 a,令 g(t) t2+ (a 2)t+ 1 a,2 a 3當(dāng)廠<2時(shí)，即a> 1時(shí)，g(t)在2,+x)上為增函數(shù)，且g(1)<g(2)，所 以 b1<b2<b3<；當(dāng)2-a>2時(shí)，即 aw 1 時(shí)，g(1)g(2),從而b2= bi不合題意.所以a> 1.法- 令 bn+1 bn 2n+ 1 + a 2>0,所以a>1 -2n,對(duì)任意n N*恒成立，所以a> 1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一1,+).*9.已知數(shù)列an滿足 a1 1, an+1 2& + 1(n N ). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

13、(2)證明:n 1<a1+ a2+ +23<a2+a3+anan + 1n *<2(n N ).解：(1)°.an+1 2an+ 1(n N ),-an+1 + 1 2(an + 1),an+ 1是以a1+ 1 2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列'an+ 1 2 .即 an 2n 1(nN*)2k 12k 111<2 k1,2,，n,2證明：旦ak+2 2ka1 a2an n"+kak2 一1111111 1 =_一 =_一 一_ < ak+12k+1 122(2k+1 1 ) 2 32k+2k2 2 3 2k1,2,，n,a1 a2an n

14、 1 1 11 n 1 .壇+尹+二12一 3Q+尹+段尸23vn1 a1a2ann*： < + +S( nN).23 a2a3an+123 21_110.已知函數(shù)f(x) ax ?x的最大值不大于1，又當(dāng)x -(1)求a的值；1 * 1設(shè) 0<a1<, an+1 f(an), n N，證明：an<.2八n+12+ a!十6.11 n31一"11-4 213,1f(x)1.(1)解 由題意，知 f(x) ax = 2 x 3 '，所以唸羊三6.1又 f(X)maxW 6 所以a2w 1.1 1 _時(shí)，f(x)>又當(dāng)x188'所以f18,解

15、得a > 1.又因?yàn)閍2w 1,所以a = 1.(2)證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n= 1時(shí)，0<ai<3，顯然結(jié)論成立.因?yàn)楫?dāng)x 0, 2時(shí),of) < 6,1 1所以 0<a2= f(a“w6<3故n = 2時(shí)，原不等式也成立.1假設(shè)當(dāng)n= k(k>2, k N)時(shí)，不等式0<ak<成立.k+ 13因?yàn)閒(x)= ax 2x2的對(duì)稱軸為直線1 10<ak<-,得 O<f(a0<fk+13所以由x = f,所以當(dāng)x 0 宀k+ 1 .o, 3時(shí)，f(x)為增函數(shù).十冃.131111k+ 41于疋，0<ak+1

16、= f(ak)< 2 +=2<k+ 1 2 (k+ 1) k + 2 k+ 2 k+ 2 2(k+ 1 f(k+ 2 ) k+ 2所以當(dāng)n= k+ 1時(shí)，原不等式也成立.* 1根據(jù)，知對(duì)任何nN ,不等式an<成立.n+ 111.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1 = a2Sn+自，其中a2工0.(1)求證：an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；若32 > 1,求證：Sn< 2(a1 + an)，并給出等號(hào)成立的充要條件.證明 由 S2 = a2S1 + a1,得 a1+ a2 = a2a1+ a1,即 a2= a2a1.a2因 a2 工 0,故 a1 = 1,得=a2,a

17、1又由題設(shè)條件知 Sn+ 2= a2Sn + 1 + a1, Sn+1 = a2Sn+ a1,兩式相減得 Sn+ 2 Si+1 = a2(Si +1 Sn),即 an+ 2= a2an+1,由 a2工0,知 an+1 0,因此= a2.an+1綜上，號(hào)丁= a2對(duì)所有nN *成立.從而an是首項(xiàng)為1,公比為a2的等比an數(shù)列.當(dāng)n= 1或2時(shí)，顯然Sn = 2件an),等號(hào)成立. 設(shè) n3, a2> 1 且 a2工0,由(1)知，ai= 1, an = a5T1, 所以要證的不等式化為：1 + a2 + £+ a21< 殳(1 + a21)( n3),n + 1即證：1

18、+ a2 + 矗+ a2w(1 + a2)( n2),當(dāng)a2= 1時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立.當(dāng)一1 va2< 1 時(shí)，a2 1 與 a2一 1, (r= 1,2,n 1)同為負(fù); 當(dāng) a2> 1 時(shí)，a2 1 與 a2 r 1, (r= 1,2,n1)同為正； 因此當(dāng) a2> 1 且 a2工 1 時(shí)，總有(a2 1)(a2r 1)>0, 即 a2 + a2rv 1 + £, (r = 1,2,，n 1).上面不等式對(duì)r從1到n 1求和得2(a2 + a2+-+ a2一1) v (n 1)(1 + a2).由此得 1 + a2 + a2+ a2v 門；1(1 +

19、 a2).綜上，當(dāng)a2> 1且a2工0時(shí)，有 SiW + an), a2 1時(shí)等號(hào)成立.12.如下圖，已知點(diǎn)Q1的橫坐標(biāo)為a1(0：a1 :a)。從曲線C： y = 作直線平行于C于點(diǎn)Q n 1 ,(1 )當(dāng)且僅當(dāng)n= 1,2或x2上的點(diǎn)Qn(N ) x軸，交直線I: y =ax于點(diǎn)Pn彳，再?gòu)狞c(diǎn)Pn彳作直線平行于y軸，交曲線 點(diǎn)Qn = (n = 1,2,3，)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 ©n仁求數(shù)列Sn 1的通項(xiàng)公式；(2)(3)1 當(dāng)a -1 , &1時(shí)，證明2nn 1(ak - ak 1)ak 2 ：:： 32 ； k 132解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)Qn(n. N“)在曲線C：

20、y =x2上，所以 Qn(an，a2)因?yàn)橹本€QnPn .1平行于X軸，且交直線I : y =ax于點(diǎn)Pn .1 , 所以 Pn id a2，a：)a因?yàn)橹本€Pn 1Qn ,平行于y軸，且交曲線C: y =x2于點(diǎn)Qn 1 , 所以Qn1聶丄a4)a a1因此點(diǎn)Qn 1的橫坐標(biāo)為an 1 =-公a1anan-1ab)2a a11 2 二 aa品)12(2/a az 1 1 2 22 23 -()a*a22 n _211 .2 .22 - 2n =()a1 2n2n 1=()a2a1a1即 an =a(32a(2)證明：由(1)知 an =a (也)"a而a=1，所以an1因?yàn)? : a22n1二 a 1所以易判斷數(shù)列 £ n 是遞減正數(shù)列,所以當(dāng)k _1時(shí),23 丄41 4刖1詢珥?)161所以 ' ©kF 1 1= (a1an1)ad232"氓kF1)(3 )由(2)知數(shù)列是遞減正數(shù)列所以 an 2 =an 1 =T (an 1 ' 3n 1 ' 3n 1 )31 2 2運(yùn)(丸斗 +an 半an +a