數(shù)值分析-期末復(fù)習(xí)整理版

1、Chapter 1 誤差誤差限計(jì)算、有效數(shù)字分析relativeerror相對逞差說r為進(jìn)確慎.v為x的一個(gè)近似值稱為近似值/的相對誤薯可簡召為二絕對誤差設(shè)工為準(zhǔn)確值為兀的-個(gè)近似值，稱e（x* = T X為近似值丁的絕對誤差簡稱誤差可簡記為£|£（V）同 X* -T|< S（X）藪值列x ）稱九T的絕對誤差限或誤差限,有效數(shù)字若F作為H的近似值，其絕對倶差的絕對值不 超過某一位數(shù)字的半個(gè)單it而該位數(shù)字到的第 一拉非零數(shù)字共有用矩則稱用”近饑r時(shí)具有用位 電效數(shù)字簡稱F有川位有效數(shù)妾Chapter 2插值法 差值條件（唯一性）1、拉格朗日差值a）插值基函數(shù)b）差值余

2、項(xiàng)(f = 0丄加/*2.2 拉格朗巧描值2.2.1基函數(shù)考慮最簡単、最棊本的插值問題.或“次插值弟項(xiàng)式/A）（/=0丄 申h 便其滿足插值條件bg、=* J 7:（7 = 0,1,- *,«）P，J = l可知，除弋慮外,其余都是人©）的零點(diǎn)，故珂設(shè)<（-*：） = -Xoy（X 曲一（土一 Aa>1>何 =乂（斗_%）_斗_1）兀_兀屮）叫耳_耳）其中H為常數(shù)*由於滬1可得A= 七）血-1）（斗 _-vi+i）T-_An）亡如二Cv 曲_JCv 兀譏） -（龍二斗）（曲竝）（叫巴工聞卜叫斗斗稱之為拉格朗日基甫數(shù),都是川衣多項(xiàng)式“2,2.2竝格明日插值名

3、項(xiàng)式利用拉格朗曰基函麹低h構(gòu)造決數(shù)用超過肝的多項(xiàng)式 匚（耳）=片百（對十片韓”町+-+j;Ux）=Sr/j<A）可知其満足、. ni“Jgh/=g丄齊為拉格朗插倚雪項(xiàng)式.再由插值多項(xiàng)式的唯一憶 得（A）=ZJX）特別地，當(dāng)打=1時(shí)又叫線性插俺耳幾何意義為 過繭點(diǎn)的自線.當(dāng)"4時(shí)又叫拋物（線）插值，其兒 何意義為過三點(diǎn)的拋物線.所以這是因?yàn)槿羧?(")=+伙=0,1,丿),由插值多項(xiàng)式的唯 一性有工厶(x)x； =x*=0,1,/Z=4)特別當(dāng)防0時(shí),就得到 加)三1/=0例1已知)=丘科=：4心=9,用線性插值(即一次插 值多項(xiàng)式)求歷的近似值。解兒=2,” =3,基

4、函數(shù)分別為：v 91V _4 13=匕=一尹-9)心)=釘=尹-4)插值多項(xiàng)式為A(x)=兒 d) + M(x)= 2 x(x-9) + 3 x|(x-4) QJ= -|(a9)+|(.v-4)(=|(a+6)L13衙a厶仃)二一= 265則拉格朗日的三次插值多項(xiàng)式為3( v) = Fo/o(*)十( r) +nZ2( v)十旳厶(*)=(-2)x=l(x-l)(x-3)(x-4)+0xl(x+lXx-3)(x-4)+()x(x + l)(x-lX.v-4)+3xl(.r+l)(x-l)(.v-3) o13=一 1)(入-3)(v4) +(.v+1X.v-1X-v -4)ZU4+I(.v +

5、l)(.v-lX-v-3)(=宀4宀3)2.2.3插值余項(xiàng)截?cái)嗾`差心(斗)寸(工)L(x)也稱為n次Ldgmnge插 值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。以下為拉格朗H余項(xiàng)定理。定理2設(shè)/(v)在區(qū)間°上上存在+1階導(dǎo)數(shù)， 薩aj (/=0,1皿)為”+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，則對任何 -ve a#,有S+l)!貝中皺】)二flGv-Aj憶eia9b)且與工有關(guān))1例4給定函數(shù)表X10111213Inx2.3025852.3978952.4849072.564949于是/uLi二0.325因?yàn)?r(x)=, A/3 = max | /)冃p(2)|=?X瑪2,45故 |恥)$獸(.v-2)(.v-2.5)(.v-

6、4)| 斗冷心-2心-2.5)(工-4)|IRQ)冃 /(3)厶 l< 昇 I (3 2)(32.5)(3-4)|6 8用二次插值計(jì)算lnll25的近似值,并估計(jì)誤差. 解 取節(jié)點(diǎn)xo=10,x1=11,x2=12作二次插值有 1譏2%(11.25)=喘粘嚴(yán)曲 嚴(yán)U5F(H25)込叫2堿測(11-10X11-12)(12-10)(12-11)= 2.420426= 0.03125例2求過點(diǎn)(-1,-2),(1、0),(3,-6),(4)的拋物線插值(即 三次插值多項(xiàng)式).解以.v0=-1,.v1=1,x2=3,.v3=4以為節(jié)點(diǎn)的基換數(shù) 分別為：g)(x_l)(x_3)(x_4)(-1-

7、1)(-!-3)(-1-4)= -Gv + l)(；v-3)(x-4)(x + l)(w 3心4)(1+1)(!-3)(1-4)(V + l)(x l)(xT (3 + 1)(3 1)(34)= 4cv + 1Xv-1)(a:-4) o(” + 1心1心3)(4 + 1)(4 1)(4一3)例3設(shè)= 點(diǎn)厲二乙工嚴(yán)歷,勺=4,求/：w) 的拋物插值多殞式假計(jì)算7(3)的近似值并估計(jì)誤崟解 Jo = /(2) = 0“ =/(15) = 0“ =/(4) = 0.25插值多項(xiàng)式為£2(.v)=0.5x(”一巧心一4) (2-15)(2-4)I 0.25x(大 2)(25) (4-2X4-

8、2.5)= 0.0&v2-0.42Sv + 1.15在區(qū)間10,12上lnx的三階導(dǎo)鮒上限釀血 可得嘶I式|&(1L25)| 吞 |(11出-10)(11 25-11)(1125-12)|<0(1(0073.實(shí)際 ±,lnll. 25=2.420368,|R2(11.25) 1=0.000058.2、牛頓插值構(gòu)造差商表性質(zhì)4若冗|在|砧上存在階導(dǎo)數(shù)*且節(jié)點(diǎn)曲，,©E險(xiǎn)燦,則至少存在一點(diǎn)農(nóng)，列滿足下式n!例 1 /(a)=- &+卅一 10,求/1 厶,9及flZ "訓(xùn).；Vj (.v) = 0.41075+1.116(1.-0140)

9、+ a 2800( .V 一 <1斗0)(斗-0.S5)戰(zhàn)/(aS9tq ta Jv:(ft596) = (1632010又，斗，斗1 = 01970叮帑過前四點(diǎn)的二撫牛頰捕值多項(xiàng)武JVj(x) = JV2(x) + *,l*7a(A?-4.4CIXJC -0-S5)(x -IJ.fi?) 故 /(0.596),(1).596) = 0.6319H5/l也、r vj = U” W 可得巧E的截?cái)啾姴顋&aJ m 0.O344(jt OJ55X* 0-63Xx -80)1J(0l5»6)|a04 x MF*例2謖尹芻1+乩2t2+5t 3, H二機(jī)插偵窖壩 式求/U .2

10、及川工”呦的訴似值.解 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下*3-階遂分階圣分三階塗井四階誥&11.522.532.7182S4.-181697.2890612.1S24920,085541.73412.MI3471巧yu7.903051.1-1396.886063.1OME20,74210K223560,48146斗曲一階苣分二階差井三階養(yǎng)井1L522.532,718284.48169 7J8SU6 12.1S2492 0.085541J63412+9(1347 畑343 7,903051+14 刃61謝筋恥3 J 09610.742101.223S60JS146求用用牛頓前插公式，且由l+2=

11、l+0+5hMIJ-X71R2HI L7ta4lx(14 i 三空(14禺3 1)+a742l°a4x(L4-lX04-2) A3A3S652曲-階整分二階菱分三階差竹四階趙井1L521.532.71828481697.2890612,14249 20.08554L763412.903474.79343 703051443961J8«O63.10962fl.742101.22356fl+48146求A2.K）用牛頓后插公式甩由2.A3+0.龜?shù)米?0.4 /（2.8）sA；（25）| 求/U.豹呢？=加08兇 M9O5 越4）+衛(wèi)譽(yù)（E4）K（-a4U） +122356 乂

12、 出趙 乂+紈+2） = 15.76808723、埃爾米特插值構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下碼（兀）=川Zf；（曲）=Mj(i=M)淋為三次埃爾米特插值籌項(xiàng)式.函數(shù)值導(dǎo)數(shù)値竝%竝%也）1000D100際）04)10卩血）00012-5-1三次埃爾米特閒值老項(xiàng)式設(shè)尸那）是區(qū)間劌上的實(shí)畫數(shù) 也0心是創(chuàng)上相異兩點(diǎn)'且 jWV）在竝上的頤澈值和一階導(dǎo)數(shù)值分別為 （f*l）和叫=廠（對（f-0,1）,求三次宴項(xiàng)式H3（x,使其驕足: 定理3滿足條件式 卑沖=丹礙（叫）=叫（f = OJ） 的三決埃爾米特插值爭項(xiàng)式存在且唯一.枸造三族埃爾用持播值多項(xiàng)式如下：場何 =Ft（x）卜耳礙3+叫燉仗）+由

13、 術(shù)0"=瑤(址)=0可將代寫成 tf0(.V)= fl + V A'o)( A' - A2由兔(壯0=h得必=T(也 *1)再由tZQ(X9) 0,得6=T所以g 場)曲一巧孔一叫 同理（將叫cm遠(yuǎn)些（3）5 一叫吟一町）同樣由瑪（切=罔（眄）二（場）=山可令/(X)=f(.V-A0)(TV -Xj)2心口黒K熬巴舲町得滿足條件的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為«iUh U+2斗一曲xi 一科）見(“)-“ +Ji«l(-t) + «AW+叫阿(疋)+%(床-觀)(RJ（） = fl +2Z1（-V）（i：r）幾（耳）=（耳一也硏（叭=【1 十

14、 2咼*）片（禺）A（v）=（盟賈）矗&為以伽風(fēng)），（眄?。┎逯迭c(diǎn)的Lagrange=別十20（=卄川1甘4=叫一嶺如一曲斗一碼碼一觀知+吶-訕二5呼 叫巧一次基險(xiǎn)數(shù).f v-121、J/3(x) = llx 1+2 亠m144ii12f®1/221/24/+12 x 1 + 2I 121-144144-121)11 m144-121A121-144.v-144 H x-2i(,r-121 Y ,r-l+4,144121 JI 121-1441+ 24Xl21-l44Al-nia 144A 121得 V125 ft Ws (125) =11.18035rw(x= 152-5.

15、2課差佔(zhàn)讓定理4設(shè)爪）在包含網(wǎng)的區(qū)間血可內(nèi)存在網(wǎng)階 導(dǎo)數(shù)，則丘皿少時(shí)有余項(xiàng)盡何 g）-恥）專嚴(yán)僚r 滄-寸 （和甸且與耳有關(guān)） 設(shè)札=黑念珂胡則當(dāng)垃為內(nèi)）時(shí)， 余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限）I爲(wèi)何智例2已知及其一階導(dǎo)做的軸見下表屛埃爾 米特插值公式計(jì)算垃5“的近似值,并佔(zhàn)計(jì)其截?cái)噘凯I. 解盡E=呂(2* 21)(.v-144)r f (265-2.y)(x- 121)"十- (x121)a-144)+ _1 ,121)22 -2j八f24 8 23*八f16a? 5可求得| 覽(125) I = 41 asJI s 1 384-16IS i93埜r一« 0*000012i&am

16、p;4 121J*114、分段低次插值例3構(gòu)造函®y（Aj=lLV<lSK<1（*±的數(shù)表，應(yīng)如何 選取步按A才能使利用數(shù)表進(jìn)行分段插值時(shí)誤差不 超過 0.5X101.'/*（x） = 一t,胚=maxfH（x） = 1.xU如I1欲使，/（對p（x）蘭 g 曙 m” |xio得 /rixio-2即進(jìn)行分段線性插值時(shí)，應(yīng)取A<2X10-誤差不 超過 0.5XKF4,=-,A/ = max /N)(j(*)二 GX41仝衛(wèi)o欲使J|/(.v)-ZZ(x)| max /(j)(a)二鯊丄11 3 露 g*6斗 2得 A2V1 xlO-1即進(jìn)行分段三次埃

17、爾米特插值時(shí)應(yīng)取k < 2旳X10'1誤差不超過2 Xl(Ha5、三次樣條插值（概念）2.7三挾樣條插值2.74問題的提出定義 洽定區(qū)間也上的一個(gè)劃分R=g<A嚴(yán)吒筍".yrf陽（日兒+屛h如果函數(shù)SU）滿足:（1）Eg冃池=0兒肋；（2）在每個(gè)小區(qū)間陷心上是決數(shù)不超 過3的多項(xiàng)式；在每個(gè)內(nèi)芳點(diǎn)斗（掃1衛(wèi)呼冊1）上具有-階連續(xù)導(dǎo)埶 則稱5（a）為關(guān)于上述劃分的一個(gè)三次多頊?zhǔn)綐影?函數(shù)，簡稱二衩樣條。Chapter 3函數(shù)逼近與曲線擬合（送分） 1、最小二乘法 寫出法方程Z71* 工T-l解之可得a. =4/71431 =-2.7857,0. =0.5000故所求擬

18、合多項(xiàng)式為P(x) = 4.7143-2.7857a- i O.SOQOx2.例 己知一組觀測數(shù)據(jù)如表所示，試用最小二乘 法求一個(gè)多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù).X011345y521123解作散點(diǎn)圖如右，從右圖可以看出這些 點(diǎn)接近一條拋物線，因此 設(shè)所求公式為丹兀）二嶺十厲込+瑪空代入法方程（E 1）叫 4（S Vj） Oi 4 （遲屛）血= i-li-1i-1b6h（£藥）叫晉（£工為血+（£工加1 =i-1/u1-14$矗（工屛M+ （乞算；）6 =L 百r-1I-(6c0 +15et + 55c2 =14代數(shù)據(jù)得” 15 + 55 + 225:30(55 + 225

19、+ 979 = 122例7已知-組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求它的擬合曲蛭.i（.v）=% +aL.v,這里朋=m 叫伍）=1“（ x）=x,故11§4544+56&85213d解根據(jù)所暗數(shù)據(jù).在 坐標(biāo)紙卜標(biāo)岀各點(diǎn).見圖. 從圖中看到各點(diǎn)在-條直 踐附近，故可選擇歩性函 數(shù)熾擬合曲線，即令得法方程弼隔=乞耳=氐II低丿帀£四/>4人磺崩）=,冊二£耳過=2XIfJ（軒| J匸去呻J =皿丘低申）=g嗎壽冷囲劇爐r 22兔=47t22at + 74/jj =1JS5.解得=2*77,0=1.13.于是所求擬合ift皺為用:仁町=277 + 1"3乂2、范

20、式計(jì)算（向量、矩陣）例 1 R啲內(nèi)積，tv,j- Ex- （airv3< >vjrt=厲曲,*產(chǎn)則其內(nèi)積定義為g 刃二 £.勺”（12）1=1由此導(dǎo)出的向量2-范數(shù)為若給定實(shí)議燉產(chǎn)0（=1.用*迢稱為權(quán)函數(shù)+則在削 上叩定又加權(quán)內(nèi)秋均H斗刃=另斗北（13）不難騎證2）給出的找,）瞞足內(nèi)積定義的4條.當(dāng)M-1 時(shí)，（13）就是門2）.定文2（向竝的般數(shù)）如果向量AUT*（或S）的某個(gè) 實(shí)倩函數(shù)菁佃怦|圍|*滿足條件：（1）闔同（洲|=0當(dāng)且僅當(dāng)40）（正定性），（2）|£LV|=|（Z| |M|t對任何炸歇或fitG儕次性），心川V切倒卜II+AI （三角不等式）

21、則稱.VCv>=IMI是棗（或）上的一個(gè)向量范數(shù)（或模）.由3可推出不尊成+（4） | Ikll-IMI | 曠Hl下面給出幾種常用的向矍范數(shù)*設(shè)円對如六譏1* |a | =向竝的寸范數(shù)傲人范數(shù)2- 114=XI-向量的i-范數(shù)i-l丄3- klla = E x） 1 =（糾眄町向邑的歐氏范數(shù)14- ih,=：向呈的門-范數(shù)真滬+呦g J容易證明前二種范數(shù)是的P范數(shù)特殊情況亨其中例6讓算向議.v=（l, 2d）T的各種范數(shù). 解 1. |x|Lmaxlt|-2|,3=3,2. |琲二"|2| + 3二6,3* |風(fēng)=少+卜臥+ # =定文3設(shè)供嗎為蟲中一向雖序列,.1隹1?記

22、界范力叫.*凡呵件貳=（旳 '如果1皿屮二X；好=譏.皿fr則稱彳山收斂于卞"+記為lim ajA> xChapter 4數(shù)值積分與數(shù)值微分1、梯形公式、辛普森公式例如¥用區(qū)間他切兩端點(diǎn)的函數(shù)值與的 算術(shù)平均值作韌的近似值，可導(dǎo)岀求積公式/ =f (朗乩2何+/W1這便是人們所熟知的梯形公式*«=1吋.柯持斯系載為刖=匸詢=討1專.- (I這時(shí)的牛頓-柯特斯公式為一階求積公式.就是我們 所熟悉的梯形公戎#即"號心八八砒當(dāng)*戸2時(shí)，柯特斯系數(shù)為即=-訴一如=右丄相應(yīng)的牛頓-柯特斯公式為二階求積介式，就是辛君 (dnipsyn)公式(又稱為拋物

23、形求積公式)，即b aa + bS = /(«> +4()+/(*),6-z例題分別用梯形公式、辛普淼公式和柯特斯公 式計(jì)算積分1 = ( -Xr4rJasl+jr解；由梯形公式得IIfr +-1 =0.24705882 1 +0.6*1+T由辛普森公式得I=rt 6 !-+4x- +U =0244954661+0- 1+OJl- l+l1It柯待斯公式得,< 32 x , 1 12 x 1 + 0.6'1+0.7!+«,«積分的特碓值Ofil + A-1dx = arctan a = 0J44978660.6得求積公式為円84 SF=L幾馴耳

24、氣頤旳-g W)+; hfh)(a)=tv 得0=：丘dx=抑曲 +的=0牛TA如丸(-刖"1=爭故求積公式具有3次代數(shù)精度.2、代數(shù)精度判斷4丄2代數(shù)精度的概念解得數(shù)值求積方袪的近似方法，為要保證精度，我 們自然希望求積公式能對“盡可能獸刃的函數(shù)準(zhǔn)確 地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念.定史1如果求積公式(1)對所有次數(shù)不超過川的多項(xiàng)式都精確成立； (2至少對個(gè)帕+1次多項(xiàng)式不精確成立， 則稱該公式具有般次代數(shù)耕度.制 1 驗(yàn)證梯形公式 I = f/(Ajd.Vft /(a4-/(*)| 具有一択杞數(shù)精度2解當(dāng)/"爐】時(shí)，左=j*ldPv=-ff,右廠乎1十嚇占-厲此時(shí)

25、公式精確成立"當(dāng)血円時(shí)，當(dāng)兀護(hù)0時(shí)，左寸皿冷何)&=pdr=A(-)右二狂爲(wèi)右：竿財(cái)十幾2 2 2公式也精確成宜.公式對.2不精確成立.故由定理1知，梯形公式的代數(shù)精度為1機(jī)*例2確定求枳公式中的待定系數(shù)*使共代數(shù)粋 度盡量髙：井指明求積公成所具有的代數(shù)精度.1=J ： /VM x ffi 咼/(協(xié)+凡/4/()令/巧=|小.齊代入公式悶端井令其相等*得4j +4 +4 =%A j(-A)+A=0=>- | +/ =0+=-A2h A hL784A-,=4 m護(hù) 4=-3、龍貝格求積公式4、5、高斯求積公式6、7、高斯-勒讓德求積公式8數(shù)值微分了解即可Chapter 5

26、解線性方程組的直接方法1、消元法2、LU分解法5.4.1直接三角分解法(山分解5.4矩陣三角分解法高斯消去法有很塞變形，有的是高斯消去法的 改進(jìn)，改寫,有的是用于某一類特殊矩陣的高斯消 去法的簡化.下面我們將介紹矩陣的宜接三角分解 法解特殊方稈齟用的平方報(bào)袪及追趕法*在322已經(jīng)通過高斯消去法得到個(gè)將分解為 一個(gè)單位下三角矩啦和-個(gè)上三角矩陣乙的乘積， A=LU,其中定義如果£為單悅下三角陣，U為上三幷陣 則孤為杜里持爾(Doolittle)分解：如果E対下 三常陣，左為單拉上三角陣，則稅迎r為克勞特 (Oout)分解+并由定理7得到這種分解是唯啲.Chapter 6解線性方程組的迭

27、代法1、2、雅克比迭代法、高斯-塞德爾迭代法公式(會寫)6.2.1雅可比(Jacobi)迭代法于是雅町比迭代法町寫為矩陣形式設(shè)財(cái)eO (/=1,2,丿小 選取M為(的對角元素部分, 即選取對角陣)，A=D-N9由(2.3)式得到解方 程組小“的雅可比(Jacobi)迭代法.又稱簡單迭代法."3 = D(L + U)x(k)+Dlb6.2.2高斯一賽德爾迭代法其Jacobi迭代矩陣為x(0)(初始向蜀，25嚴(yán))=Bx(k + / 仏=0,1, .,),°其中/?=/-/) U=Z)1(£+t)=J,戶D 'b稱丿為解4=力的 雅可比迭代法的迭代矩陣.B/=B

28、1(L+r)=au他殲)aan_«n«22an在Jacobi迭代中，計(jì)算”嚴(yán)1)(2門切)時(shí)，使用 為妁)代替田)(1勺VI),即有*嚴(yán)=丄(Fjvf “燈-ax +1) 51a22圮叫十匕八儼- flT>r營+2)%建立迭代格式lOXj - x2 - 2x3= 7.2精11、 AT】 +10Xj 2屯二&3確.v- =1.2-xx 一 x2 +5*3 = 4.2 解：Jacobi迭代格式為解3.vr+1)=-(1 10”嚴(yán)+2.屮+7.2).V仟)=丄(.屮)10 1+2x +83).xf+1) =i(垮)+垮)+ 4.2)例1用雅可比迭代法解方程組或縮寫為

29、鏟)=丄(_£昭嚴(yán)-立產(chǎn)+切(心1,2,)aii ;=1稱為高斯一塞德爾(Gauss Seidel)迭代法.于是高斯一塞德爾迭代法可寫為矩陣形式x(z)=(D 一 LylUx(k) + (D - L)1 b其Gauss Seidel迭代矩陣為Bg=(DL 尸 U這就是說，選取分裂矩陣M為/的下三角部分， 即選J/=D-L(下三角陣)，A=M Nt由(2.3)式得到 解丄=0的高斯一塞德爾(GaussSeidel)迭代法芒)(初始向劃"下(2.7)N+i)=B® + / ("0,1,),其中B=HD-L) A= (D Ly'U=G, MD L尸0稱

30、矩 陣G=(D-L)U為解的高斯一塞德爾迭代法的迭 代矩陣.護(hù)=*xIkJ+2+7.2>禺申=2 +2Jclft> +3.3）- 10老創(chuàng)a嚴(yán)+疳+4.2）取*叫=（0理卩計(jì)算結(jié)果如下，k眄計(jì)叩10.720.830.S420J71L07L15 9 V «111 *0999931J999931,299991121 川 999981.1999981.299997例2用GaussSeidel迭代法解上題*IO*】工立2jv=7.2* +10戈2 2算馬SL3 x1 x2 + 5x3 = 4.2解：Gaus-Sidel迭代格式為V（+D =丄+1 10彳卅呦二W斗Z十2卅切+ 8

31、3）4*+1）=-（蠟切十垮切+4.2）5屮也二令 Af+2Af+7.2） 禺阿=令鏟 +2曙+K3） 老巴二£（殲也1嚴(yán)+2）取妙=（MMF計(jì)算結(jié)果如下；kV10.720+9021.1644vi*« *4# + «*«8L099998L199M91J3、給迭代公式，判斷收斂性，譜半徑。6.3迭代法的收斂性631 -階走常迭代法的基本定理設(shè)線性方程組Ax=b.（3,1）其中，A=（aft«為非奇異矩陣，記r為（3.1）精確 解，H設(shè)有等價(jià)的方理組Ax = O a- = &v 十 f.于是x' =Rx f.（3.2）設(shè)有解L=存的

32、一階定常迭代法卅曲=舐3 + /.（33）有竟義的問題是：迭代矩陣遲滿足什么條件時(shí), 由迭代法產(chǎn)生的向量序列儀如收斂到八引進(jìn)誤差向量血何=工旳_疋依二（MZ卜由Qd）式減玉2灣到課差向量的遞椎公式 嚴(yán) 二尿汽怙如（"（M2）.由&1節(jié)可知，研究迭代法3）收斂性問題就是要研 究迭代矩陣月滿足什么條件時(shí)，有.臚>0（5矩陣）（盤->砂定義2設(shè)有矩陣序列丄訐個(gè)嚴(yán)）E冊“及 4=（%）EQ",如果個(gè)數(shù)列極限存在且有 血11堺=碼（f 2,脅 則H我稱收斂于厶 記為Ibn （A8）»例4設(shè)有矩陣序列去,其中去二用，而(X 1s >2jC,B =.,

33、B* =才J7且設(shè)w<b考查矩陣序列極限.解顯熱,當(dāng)陽1時(shí),則有 卿4 =阿臚=Chapter 7非線性方程求根1、2、二分法（先判斷有根區(qū)間）若取區(qū)間叭，札的中點(diǎn)芥=十虬）作為疋的近眥值則有下述誤差估計(jì)式* 1 t 1X 兀蘭仇）二尹W町A' ,Art亡（燈曲小曲）只要”圧夠大（即區(qū)間二分伙數(shù)杲夠哆），誤叢就可 足夠小*由于在偶重根附近曲線嚴(yán)兀、）為上凹或下凸，即 的符號相同，因此不能用二分法求偶電根*7.L2二分法設(shè)/訶在區(qū)間偽切匕連續(xù),貞町洪仍電則在皿 內(nèi)有方程的根.取的中點(diǎn)如冷W十外將區(qū)間 分為二若八斗）=0,則曲就是方程的欖 否則判別根I在心的左側(cè)還是右側(cè)*若/<

34、#）幾5）切,則疋丘（偽片h令"=打，bi=x0;若/鳳）他5 則丄'丘（ 弘令碼三占產(chǎn)亂 不論出現(xiàn)哪種情況，池“優(yōu)）均為新的有根區(qū)間，它 的長度只有原有根區(qū)間長度的一半，達(dá)到了壓縮有根 區(qū)間的冃的.對壓縮了的有根區(qū)間，又可實(shí)行同樣的步驟，再壓 縮如此反復(fù)進(jìn)行，即可的一系列有根區(qū)間套町眄二腳血nn斗，如 a由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間陽，虬的長度為若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將 無限進(jìn)行下夫當(dāng)秸時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一 點(diǎn)疋，顯然弋就是所求的根.例2用二分法求例1中方程幾丫尸艮-用-1=0的實(shí)根, 要求誤差不超過仇（M）£解由例1可知A&

35、#39;e（t,i.5）,要想滿足題意，BP：|A-r|<0.005則要由此解得” > -1 5.6,取按二分法計(jì)算過程見 lg2下表，屯二1.3242為所求之近似根.ft斗說明01.0L51.25（1） Ji忖1L25L5IJ75+21.251.3751.3125（2）根據(jù)精3L31251.3751.3438+度要求，41.312S134381.32K1+取到小數(shù)51*31 藥1J2811.3203點(diǎn)后四位61.32031.32811.3242即可.二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，乩總是收斂的，缺 點(diǎn)是收斂的太慢，故一般不單獨(dú)將其用于求根，只 是用其為根求得-個(gè)較好的近似值.二分法的計(jì)算

36、步驟：步驟1準(zhǔn)備 計(jì)算函數(shù)魂杓在城間0端點(diǎn)處的值步驟2二分計(jì)算苗歎/何在埴間中竝時(shí)刊2處的 值心+柳）.步驟3判斷 若；（卅即2冋，則他+刖2即是根， 計(jì)尊過程結(jié)束否則檢驗(yàn).若7W）沢（卅勿門）5則臥（卅即2代替*,否則以 g訕2代替認(rèn)反復(fù)執(zhí)行歩驟2和步驟M直到區(qū)間切長度小于 允許誤差粘此時(shí)中點(diǎn)附即2即為所求近似根.3、4、迭代的收斂性7.2迭代法及其收斂性7.2.1不動(dòng)點(diǎn)迭代法將方程幾町丸改寫為等價(jià)方程形式滬憾臥（2.1）若婆求Af滿足心"）=0,則A# =於"）：反之亦然，稱A#為 函數(shù)韓巧的個(gè)F動(dòng)點(diǎn)*求/pv）的零點(diǎn)就等于求西V）的 不動(dòng)點(diǎn)，選擇-個(gè)初始近似值 將它代

37、入3右端, 即可求得丄產(chǎn)詆坯）.例3表明原方程化為（2J）的形武不同，有的收斂, 有的不收斂，有的發(fā)散”只有收斂的的迭代過程2） 才有意義”為此我們首先要研究隕對的不定點(diǎn)的存 在性及迭代法（2.2）的收斂性.例3用迭代法求方程疋十2-二-3=0在區(qū)間1.可 內(nèi)的實(shí)根.解 對方程進(jìn)軒如下三種變形土ix =爭（x） = （3 l x-2x2）4X4 + 2a2 - a -3 = 0=> * =爐】f需）=-7vX + 4-1x =甕O = x4 +2a,: - 3分別按以上二種形式崖京迭代公式并取斗N進(jìn)廿 迭代計(jì)算，結(jié)果如下：可以如此反復(fù)謖代計(jì)算5產(chǎn)侃珀（EM譌（2.2）値陰稱為迭代函數(shù).如

38、果對任何旺曰務(wù)恥由（2得 到的序列有極限liiii xk =則稱迭代方程（2收斂.且宀門為處）的不動(dòng)點(diǎn)， 故稱卩為不動(dòng)點(diǎn)迭代法.上述迭代法是一種逐次逼近法，其基本思想是將 隱式方程®1）歸結(jié)為一組顯式的計(jì)算公式（22）,迭代 過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)逐步顯式化過程.1斗=普（斗口3屮xk-2xlr=xr = 1J24123心+嚴(yán)甲O = J疾z-1a6 = 1-124123血+】二他（兀）二理+2址一3 屯=96, jv4 = 8.495307 xlO7準(zhǔn)確根1.12412029,可見迭代公式不同,收斂惜 況也不同第二種公成比笫一種公式收斂快得多，而 笫三種公式不收斂.參見書P266JH-例

39、戈珀嚴(yán)血嶺）（*=«4-）Lim 召二 X*.k Too當(dāng)侃工）連續(xù)時(shí)，顯然L就是方秤二曲V）之報(bào)（不動(dòng)點(diǎn)h 于是可以從數(shù)列懐訂中求得滿足精度要求的近似根. 這種求根方法稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代扶，斗+1=（*3=<M,備）稱為迭代格式，何劃稱為迭代函數(shù)，勺稱為迭代初值, 數(shù)列R訂稱為詵代序列*如果離代序列收斂*則稱迭 代格式收斂%否則稱為城散* （兒何意義的解釋見書 p2砧貞）5、牛頓迭代法（代公式）7.4牛頓法7.4J牛頓法及其收斂性對于方程幾丫尸0,如杲幾巧是線性函數(shù)，則它的 求根是容易的.牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其 基本思想是將非線性方程/懐戶0逐步歸結(jié)為某種線性 方程來求

40、解*設(shè)己知方程能冃）有近似柚°且在斗附近/肚）可 用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為當(dāng)/V訴A時(shí)，方程爪冋可用線性方程（切線）近似代 協(xié)即Axo)+fXx(x 科=山解此線性方程得得迭代公式也F鴿八LT此式稱為牛頓（Newton）迭代公式*(4.1)(42)洌7用牛頓迭代法求方程口門在bQ占附近的根. 解將原方程化為則fx）=xt 蝕=1+嚴(yán)牛頓迭代公式為一如取斗=0占,迭代得,=0.566311, t;=0.S671431, =1）.5671433,參見書p2力的例人牛頓法的計(jì)算步驟見書p27EChapter 9常微分方程初值問題數(shù)值解法1、公式計(jì)算：四種，歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式、隱式

41、、梯形公式一般地設(shè)已做出該折線的頂點(diǎn)氣，過巴（斗，兒） 依方向場的方向再推進(jìn)到/Vil”心幾+小顯然兩個(gè) 頂點(diǎn)尸，氣+i的坐標(biāo)有關(guān)系兒+】一兒二兒+】一兒j）,掘率叫+L叫ft即+21）這就是著老的（顯式）歐拉（Euhr）公式.若初佰肌已 知，則依公式（11）uj逐次逐步算出各點(diǎn)數(shù)值解”"二山+趴和兒），內(nèi)二H +例1用歐拉公式求解初値問題(2-2)解取步向=0兒歐拉公弓的具體形式為扎亠=J +（；一-）n具中X=nfj=0. In («=D, l，* 1 Oh己知丫產(chǎn)h由此式可得Ji = + 颯站-)= t + 0.1 = 1.1i + /f0i-)= tJ +0.1(1

42、.1-) = 1-191818Ji口依次計(jì)算下去，部分計(jì)算結(jié)果見下表.斗歐拉公式數(shù)值解兒準(zhǔn)確囉也丫誤差021.191818P 1.1832160.0086020.41.35821313416410*0165720.61.5089661.1832400.0257260.8L6497831.6124520.03733 JL01.7847701.7320510.052719與準(zhǔn)確解）=我十石相比.可看岀歐拉公式的計(jì)算結(jié) 果精度很差.如果對方程(1.1)從斗到斗+i積分，得y(vhtl) =血)+(2.4)右端積分用左矩形公式斗)近似,再以幾代替 J©”)，幾柿代替用”也得到歐拉公式(2.1

43、),局部薇 斷誤差也是(2.3).如果右端秩分用右矩形公式/嘰J"©%)近似, 則得到另一個(gè)公式幾+1二兒+”(兀+1，兒丿S)稱為(隱式)后退的歐拉公式.后退的歐拉公式與歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別，后 者是關(guān)于兒+】的一個(gè)直接計(jì)算公式，這類公式稱作是 顯式的；前者公式的右端含有未知的兒+】，它實(shí)際上 是關(guān)于幾+i的一個(gè)函數(shù)方程，這類方程稱作是隱式的.顯式與隱式兩類方法各有特點(diǎn)，考了到數(shù)值穩(wěn) 定性等其他因素，人們有時(shí)需要選用隱式方法，但 使用顯式算法遠(yuǎn)比隱式方便.隱式方程通常用迭代法求解，而迭代過程的實(shí) 質(zhì)是逐步顯式化.9.2.2梯形方法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式，在等式(2.4) 右端積分用梯形求積公式近似，并用兒代替JU”)，JI 代替Jd”+J，則得幾科=幾擰/(叫，兒)+ "j】，J；.】)(27)稱為矩形方法.矩形方法是隱式單步法，用迭代法求解，同后 退的歐拉方法一樣，仍用歐拉法提供迭代初值，則 矩形迭代公式為于是有品|，吧r+妙D；/.r1(2.8)”：+i)=兒巧|/(%,幾)+ /(%+,曲)(A =04, )為了分析迭代過程的收斂性，將(2.7)與(2.8)相減,得 兒+】-曲)二v(*+lJ «+1使得 則當(dāng)8時(shí)有洛T.)；",這說明迭代過程(2«8)是