控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、封面12-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型1、線性元件的微分方程、線性元件的微分方程2、控制系統(tǒng)微分方程的建立、控制系統(tǒng)微分方程的建立3、線性系統(tǒng)的基本特性、線性系統(tǒng)的基本特性4、線性定常微分方程的求解、線性定常微分方程的求解5、非線性微分方程的線性化、非線性微分方程的線性化2數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入，輸出變量以及內(nèi)部各描述系統(tǒng)輸入，輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：變量的各階導(dǎo)數(shù)為：變量的各階導(dǎo)數(shù)為0。動態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型：變量的各階導(dǎo)數(shù)不為：變量的各階導(dǎo)數(shù)不為0。 分類分類動態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型 微分

2、方程微分方程差分方程差分方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖頻率特性頻率特性時域中常用時域中常用 頻域中用頻域中用 復(fù)數(shù)域中用復(fù)數(shù)域中用 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法：解析法、實驗法。：解析法、實驗法。3電阻、電容、電感(補充)RCL+)(tui(t)u(t)= i (t)R)(tui(t)i(t)=dttduC)(u(t)=C1i(t)dti(t)(tu+u(t)=Ld i (t)dti(t)=dttuL)(1+i(t)=Rtu )(1、線性元件的微分方程、線性元件的微分方程4RLC無源網(wǎng)絡(luò)無源網(wǎng)絡(luò)(P21),(P21),彈簧質(zhì)量阻尼器彈簧質(zhì)量阻尼器(P22)(P22)

3、)t (u)t (Ridt)t )iCdt)t (diLi1 dt)t ( iC)t (uo1)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCiooo 22 maF牛頓定律方向見圖外力),t (F. 1相反方向與比彈簧恢復(fù)力與位移成正)t (x),t (kx. 2相反方向與成正比阻尼器阻力與位移速度)t (x,dt)t (dxf. 322dt)t (xda 加速度22dt)t (xdmdt)t (dxf)t (kx)t (F )t (F)t (kxdt)t (dxfdt)t (xdm 225電樞控制直流電機(P22)aaaaaaE)t (iRdt)t (diL)t (u ：電樞回路

4、電壓平衡方程電樞反電勢：)t (CEmea 電磁轉(zhuǎn)矩方程：)t (iC)t (Mamm ：電機軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程)t (M)t (M)t (fdt)t (dJcmmmmm 電機軸上總的轉(zhuǎn)動慣量 mJ系數(shù)電機軸上總的粘性摩擦 mf)t ()CCfR(dt)t (d)JRfL(dt)t (dJLmemmammamamma 22)t (MRdt)t (dML)t (uCcacaam 可得下式：忽略aL)t (MK)t (uK)t (dt)t (dTcammm21 電機的時間常數(shù) mT電機的傳遞系數(shù) 1K6減速器(P23)兩個嚙合齒輪的線速度相同，傳送的功率相同兩個嚙合齒輪的線速度相同，傳送的功率相同2

5、211 rr2211 MM2121ZZrr 齒數(shù)與半徑成正比12ZZi 速比為輸出的微分方程：為輸入以21 ,)t (i)t (ZZ)t (112121 7（1） 確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。2、 控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 一個系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成一個系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成的，將系統(tǒng)中的每個環(huán)節(jié)的微分方程求出的，將系統(tǒng)中的每個環(huán)節(jié)的微分方程求出來來 ，便可求出整個系統(tǒng)的微分方程。，便可求出整個系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟： 根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律

6、，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。程組。（2） 建立初始微分方程組。建立初始微分方程組。 將與輸入量有關(guān)的項寫在方程式等號右將與輸入量有關(guān)的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關(guān)的項寫在等號的左邊。邊，與輸出量有關(guān)的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。8uiR1負負載載SMTGk1k2功功放放u2u1uautcR2R1R1R+m etiuk)uu(ku:1111 運放)udtdu(ku:11222 運放23:ukua功放ccammmmMkukdtdT: 直流電機mi: 1齒輪系 ttku:測速發(fā)電機cci

7、gigmMkukdtdukdtdT 負載擾動力矩 cM9位置隨動系統(tǒng)原理圖位置隨動系統(tǒng)原理圖(補充補充)W1負載負載W2urucu放大器放大器電機電機減速器減速器測速電機測速電機uutua操縱手柄操縱手柄r m c m m c c r r +_+_SMTGJ L fLW1W2EuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器操縱手柄操縱手柄測速電機測速電機電機電機負載負載電位器對電位器對減速器減速器r r c c 方塊圖的繪制10W1W2+_+_SMTGJ L fLEuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器m c r r c )()()(maxtktEtuccc )()()(tututucr

8、dttdktumtt)()( )()(ttkcr )()(tuktuaa )()()(22tukdttddttdTammmm )(1)(titmc )()()(maxtktEturrr 位置隨動系統(tǒng)位置隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制結(jié)構(gòu)圖繪制)()()(tututut u操縱手柄操縱手柄W1JLfLW2uruc放大器放大器電機電機減速器減速器測速電機測速電機uutuam m c c r 113、 線性系統(tǒng)的基本特性線性系統(tǒng)的基本特性疊加性和均勻性（或齊次性）疊加性和均勻性（或齊次性） 對線性系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時，如果有幾對線性系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時，如果有幾個外作用同時加于系統(tǒng)，則可以將它們分別處個外作用同

9、時加于系統(tǒng)，則可以將它們分別處理，依次求出各個外作用單獨加入時系統(tǒng)的輸理，依次求出各個外作用單獨加入時系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。出，然后將它們疊加。124、線性微分方程的求解、線性微分方程的求解方法方法 解析法解析法拉普拉斯變換拉普拉斯變換步驟：步驟：1、將系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換，得到以、將系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換，得到以s為變?yōu)樽兞康拇鷶?shù)方程。量的代數(shù)方程。2、解變換方程，求出系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表、解變換方程，求出系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達式。達式。3、將輸出的象函數(shù)表達式展開成部分分式。、將輸出的象函數(shù)表達式展開成部分分式。4、對部分分式進行拉氏反變換，即得微分方程、對部分分式進行拉氏

10、反變換，即得微分方程的全解。的全解。13r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0 + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt 用一個例子來說明采用拉氏變換法用一個例子來說明采用拉氏變換法解線性定常微分方程的方法。解線性定常微分方程的方法。4、線性微分方程式的求解線性微分方程式的求解例例 已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的 輸出響應(yīng)。輸出響應(yīng)。解：解：將方程兩邊求拉氏變換得：將方程兩邊求拉氏變換得：求拉氏反變換得：求拉氏反變換得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 +

11、2s +21=(s+1)2 + 11c(t) = e t sin t14 輸出響應(yīng)曲線輸出響應(yīng)曲線 c(t)r(t)r(t)t0c(t)155、非線性微分方程的線性化、非線性微分方程的線性化 絕大多數(shù)物理系統(tǒng)在參數(shù)某些范圍絕大多數(shù)物理系統(tǒng)在參數(shù)某些范圍內(nèi)呈現(xiàn)出線性特性。當(dāng)參數(shù)范圍內(nèi)呈現(xiàn)出線性特性。當(dāng)參數(shù)范圍不加限不加限制時，所有的物理系統(tǒng)都是非線性的。制時，所有的物理系統(tǒng)都是非線性的。 對每個系統(tǒng)都應(yīng)研究其線性特性和相對每個系統(tǒng)都應(yīng)研究其線性特性和相應(yīng)的線性工作范圍應(yīng)的線性工作范圍。16線性系統(tǒng)具有疊加性和齊次性。線性系統(tǒng)具有疊加性和齊次性。 疊加性：疊加性：x x1 1(t)(t)y y1

12、1(t)(t)x x2 2(t)(t)則則 y y2 2(t)(t)x x1 1(t)+x(t)+x2 2(t) (t) y y1 1(t)+y(t)+y2 2(t) (t) y=xy=x2 2 二階系統(tǒng)是非線性的二階系統(tǒng)是非線性的因為它不滿足疊加性因為它不滿足疊加性齊次性：齊次性：為常數(shù)為常數(shù) x(t)x(t)y(t)y(t)則則 x(t) x(t) y(t) y(t) y=mx+b y=mx+b 系統(tǒng)也不是線性的，因為它不滿系統(tǒng)也不是線性的，因為它不滿足齊次性。足齊次性。17y=mx+b y=mx+b 對在工作點對在工作點(x(x0,0,y,y0 0) )附近作小范圍附近作小范圍變化的變量

13、變化的變量x x和和y y而言，而言，則是線性的。則是線性的。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 設(shè)設(shè)又又 則則 x=xx=x0 0+ +x x y=yy=y0 0+ +y yy y0 0=mx=mx0 0+ +by y0 0+ +y=y=mx+b=y=mx+b =m=mx0+m+mx+b+by=my=mx x 大部分非線性系統(tǒng)在一定的條件下大部分非線性系統(tǒng)在一定的條件下可近似看成線性系統(tǒng)。可近似看成線性系統(tǒng)。18y(t)=gx(t)y(t)=gx(t)線性化：線性化：設(shè)非線性元件為設(shè)非線性元件為: :系統(tǒng)的正常工作點為系統(tǒng)的正常工作點為x x0 0 有條件地把非線性數(shù)學(xué)模型有條件地把非線性數(shù)學(xué)模型近似處理

14、成線性數(shù)學(xué)模型。近似處理成線性數(shù)學(xué)模型。 若非線性函數(shù)連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存若非線性函數(shù)連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在，可在工作點附近按泰勒級數(shù)展開在，可在工作點附近按泰勒級數(shù)展開.=g(x=g(x0 0)+)+ +dgdgdxdxx=xx=x0 0d d2 2g gdxdx2 2x=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )2 22!2!x-xx-x0 01!1! 當(dāng)當(dāng)(x- xx- x0 0) )小范圍波動時，略去高于小范圍波動時，略去高于一次的小增量項，方程可簡化為一次的小增量項，方程可簡化為 ： y(t)=g(xy(t)=g(x0 0)+)+dgdgdxdxx=xx=x0 0(x-x(x-x0 0)

15、 )=y=y0 0+m(x-x+m(x-x0 0) ) m為工作點處的斜率。最后可改寫為工作點處的斜率。最后可改寫成下列線性方程：成下列線性方程：y=m=mx x(y-y(y-y0 0)=m(x-x)=m(x-x0 0) )或或 19非線性系統(tǒng)的線性化步驟非線性系統(tǒng)的線性化步驟1）寫出原始方程）寫出原始方程2）將非線性函數(shù)線性化，并將增量符號）將非線性函數(shù)線性化，并將增量符號略略去，可得非線性函數(shù)的增量線性化方程。去，可得非線性函數(shù)的增量線性化方程。3）將非線性函數(shù)的增量線性化方程代入原）將非線性函數(shù)的增量線性化方程代入原始方程。始方程。20解：解： 按泰勒級數(shù)展開為按泰勒級數(shù)展開為 dh(t

16、)dh(t)dtdth(t)h(t)+a+a=q=qi i(t)(t)Adh(t)dh(t)1 1= =q qi i(t)(t)dtdtA Ah(t)h(t)2A2A+ +a ah h0 0d d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hd d2 2dhdh2 22!2!+ +1 1h h0 0(h-h(h-h0 0)+)+h h(h-h(h-h0 0) )2 2略去高于一次的增量項得略去高于一次的增量項得h h2 2+ +1 1h h0 0= =h h0 0h hd d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hy(t)=h(t)h21y(t)0

17、 為：線性化 處處理理非非線線性性函函數(shù)數(shù)例例 將液位控制系統(tǒng)非線性微分方程線性化將液位控制系統(tǒng)非線性微分方程線性化.21線性化處理中應(yīng)注意以下幾點：線性化處理中應(yīng)注意以下幾點：（1）必須確定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時各部）必須確定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時各部 件的工作點，在不同的工作點，非件的工作點，在不同的工作點，非 線性曲線的斜率是不同的。線性曲線的斜率是不同的。（2）線性化是以直線代替曲線，略去了）線性化是以直線代替曲線，略去了 式中二階以上項，如果系統(tǒng)工作范式中二階以上項，如果系統(tǒng)工作范 圍較大，將帶來較大誤差，所以非圍較大，將帶來較大誤差，所以非 線性數(shù)學(xué)模型的線性化是有條件的。線性數(shù)學(xué)模型的線性化是有條件的。（3）對于某些典型非線性系統(tǒng)