第02講自主招生數(shù)學(xué)試題的來源

1、 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源 1 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源楊老師專論（電話號碼：2078159；手機號碼 面對自主招生考試,人們最關(guān)心的問題有:1.考什么？對這個問題我們在第一講中已給出了一定的探索;2.怎樣考？本講通過探索激動人心的課題,即自主招生數(shù)學(xué)試題的來源,繼續(xù)研究第一個問題,并兼顧研究第二個問題. 1.引用于數(shù)學(xué)典題:自主招生考試基于命題的“自主性”,使其命題更具“自由性”,能引用中學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題,更能有效地考察數(shù)學(xué)的基本功.例1:(2005年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若y=的最大值為9,最小值為1,求滿足條件的實數(shù)a,b.解析:練習(xí)1:1

2、.(2008年上海交通大學(xué)保送生考試試題)函數(shù)y=的最大值為 .2.(2003年同濟大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題)不等式log2<0對于任意xR都成立,求k的取值范圍.例2:(2003年同濟大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題)已知y=(0,2).()求y的最小值;()求y取得最小值時的.解析:練習(xí)2:1.(2005年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)y=的最大值是 .2.(2008年重慶高考試題)函數(shù)f(x)=(0x2)的值域為( )(A),0 (B)-1,0 (C)-,0 (D)-,0例3:(2006年上海交通大學(xué)保送生考試試題)a,b,cÎR,abc¹0,b¹c,a(b-c)x2+

3、b(c-a)x+c(a-b)=0有兩個相等根,求證:,成等差數(shù)列.解析:練習(xí)3:1.(1979年全國高考試題)若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求證:x,y,z成等差數(shù)列.2.(1980年全國高考付題)在ABC中,已知sin2+sin2+sin2=cos2證明: 2 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源 ()tan,tan,tan成等比數(shù)列;()cot,cot,cot成等差數(shù)列. 2.選自于高考試題:自主招生考試必須有別于高考,且高于高考,但不能排除自主招生考試選用高考試題的可能性,高考中靈活且優(yōu)秀試題具有較好的選拔功能.例4:(2007年天津高考試題)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=

4、4an-3n+1,nN*.()求數(shù)列an的前n項和Sn;()證明;不等式Sn+14Sn,對任意nN*皆成立. (2008年武漢大學(xué)保送生考試試題)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.()求證:數(shù)列an-n是等比數(shù)列;()求數(shù)列an的前n項和Sn.解析:練習(xí)4:1.(2002年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若3a=4b=6c,則+-= . (1993年全國高考題)設(shè)a、b、cR+,且3a=4b=6c,那么( )(A) (B) (C) (D)2.(2012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,求|m-n|

5、. (2003年新課程高考試題)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則|m-n|=( ) (A)1 (B) (C) (D)例5:(2007年天津高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.()當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程;()當(dāng)a0時,求函數(shù)f(x)的極大值和極小值;()當(dāng)a>3時,證明:存在k-1,0,使得不等式f(k-cosx)f(k2-cos2x),對任意的xR恒成立. (2009年華南理工大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)f(x)是定義在-4,+)的單調(diào)增函數(shù),要使得對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)

6、x,不等式f(cosx-b2)f(sin2x-b-3)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.解析:練習(xí)5:1.(2006年重慶高考試題)若a,b,c>0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,則a+b+c的最小值是( )(A)2 (B)3 (C)2 (D) (2008年南開大學(xué)保送生考試試題)已知正數(shù)a、b、c滿足:a2+ab+ac+bc=6+2,則3a+b+2c的最小值是 .2.(2000年北京、安徽春招試題)設(shè)函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)>f(b),證明:ab<1. 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源 3 (2002年上海交通大學(xué)保送生考試試題)函數(shù)

7、f(x)=|lgx|,有0<a<b,且f(a)=f(b)=2f().()求a、b滿足的關(guān)系;()證明:存在這樣的b,使3<b<4.例6:(2002年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若x=f(x),稱x為f(x)的不動點,f(x)=.()若f(x)有關(guān)于原點對稱的兩個不動點,求a、b滿足的關(guān)系;()畫出這兩個不動點的草圖. (2002年上海春招試題)對于函數(shù)f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點,已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0).()當(dāng)a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點;()若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有

8、兩個相異的不動點,求a的取值范圍;()在()的條件下,若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點,且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱,求b的最小值.解析:練習(xí)6:1.(2003年同濟大學(xué)保送生考試試題)已知方程f(x)=x的根是函數(shù)f(x)的不動點,令f(x)=.()若,3為不動點,求a,b,c的關(guān)系;()在()的條件下,若f(1)=,求f(x)的解析式;2.(2010年浙江大學(xué)保送生考試試題)設(shè)M=x|f(x)=x,N=x|ff(x)=x.()求證:MN;()f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)時,是否有M=N？并證明. (2008年上海交通大學(xué)保送生考試試題)已知函數(shù)f(x)=ax2+

9、bx+c(a0),且f(x)=x沒有實數(shù)根,問:f(f(x)=x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論. (2009年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若f(x)滿足f(x0)=x0,稱x0為f(x)的不動點,證明:若f(f(x)有唯一不動點,則f(x)也有唯一不動點. 3.源自于競賽數(shù)學(xué):縱向研究自主招生考試可以發(fā)現(xiàn):自主招生考試下接高考,上連聯(lián)賽.因此自主招生考試中,有些試題直接源自于競賽數(shù)學(xué),尤其是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一式,應(yīng)屬正常.例7:(1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k為實數(shù))的兩個實根,x12+x22的最大值是( )(A)19 (B)1

10、8 (C)5 (D)不存在 (2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)已知x1,x2是方程x2-(a-2)x+(a2+3a+5)=0(a為實數(shù))的兩個實根,x12+x22的最大值是( )(A)19 (B)18 (C)20 (D)不存在解析: 4 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源 練習(xí)7:1.(1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若非空集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|3x22,則能使AAB成立的所有a的集合是( )(A)a|1a9 (B)a|6a9 (C)a|a9 (D) (2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)若非空集合X=x|2a+1x3a-5,Y=x|3x22,則使得XXY成立的所有a的集合是(

11、 )(A)a|1a9 (B)a|6a9 (C)a|a9 (D)空集 (1981年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)條件甲:=a;條件乙:sin+cos=a.則( )(A)甲是乙的充分必要條件 (B)甲是乙的必要條件(C)甲是乙的充分條件 (D)甲不是乙的必要條件,也不是充分條件 (2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)條件甲:=a;條件乙:sin+cos=a.則( )(A)甲是乙的充分必要條件 (B)甲是乙的必要條件(C)甲是乙的充分條件 (D)甲不是乙的必要條件,也不是充分條件2.(1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,則lg(a-1)+lg(b-1

12、)的值( )(A)等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是與a、b無關(guān)的常數(shù) (2007年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,則lg(a-1)+lg(b-1)=( )(A)lg2 (B)1 (C)不是與a、b無關(guān)的常數(shù) (D)0 (1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知f(x)=asinx+b+4(a,b為實數(shù)),且f(lglog310)=5,則f(lglg3)的值是( )(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)隨a,b取不同值而取不同值 (2007年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)已知f(x)=asinx+b+4(a,b為實數(shù)),且f(lg

13、log310)=5,則f(lglg3)的值是( )(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)隨a,b取不同值而取不同值例8:(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)給定正整數(shù)n和正數(shù)M,對于滿足條件a12+an+12M的所有等差數(shù)列a1,a2,a3.試求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值.1.(2007年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)給定正整數(shù)n和正常數(shù)a,對于滿足條件a12+an+12a的所有等差數(shù)列a1,a2,a3.和式的最大值為( )(A)(n+1) (B)n (C)(n+1) (D)n 解析:練習(xí)8:1.(1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如果log2(log2x)=log3(log3y)=l

14、og5(log5z)=0,那么( )(A)z<x<y (B)x<y<z (C)y<z<x (D)z<y<x (2001年上海交通大學(xué)保送生考試試題)log2log3(log4x)=log3log4(log2y)=log4log2(log3z)=0,則x+y+z= . (1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)x,y,z為非負實數(shù),且滿足方程-68×+256=0,那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 . 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源 5 (2007年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a,b,c為非負實數(shù),且滿足方程-68×+256=0

15、,那么x+y+z的最大值與最小值( ) (A)互為倒數(shù) (B)其和為13 (C)其乖積為4 (D)均不存在2.(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)當(dāng)s和t取遍所有實數(shù)時,則(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能達到的最小值是 . (2007年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)當(dāng)a和b取遍所有實數(shù)時,函數(shù)f(a,b)=(a+5-3|cosb|)2+(a-2|sinb|)2所能取到的最小值是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例9:(1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)f(x)=,那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 . (2005年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)定義在R上的函數(shù)

16、f(x)=,Sn=f()+f()+f()+f(),n=2,3,.()求Sn;()是否存在常數(shù)M>0,n2,有+M？解析:練習(xí)9:1.(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)函數(shù)y=f(x)對一切實數(shù)都滿足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6個不同的實根,則這6個實根的和為( )(A)18 (B)12 (C)9 (D)0 (2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)函數(shù)y=f(x)對一切實數(shù)都滿足f(5+x)=f(5-x),且方程f(x)=0恰有6個不同的實根,則這6個實根的和為( )(A)10 (B)12 (C)18 (D)30 (2007年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)函數(shù)y=f(x

17、)對一切實數(shù)都滿足f(2+x)=f(2-x),且方程f(x)=0恰有7個不同的實根,則這7個實根的和為( )(A)0 (B)10 (C)12 (D)142.(1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)求證:16<<17. (2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)下列不等式中正確的是( )(A)16<<17 (B)18<<19 (C)20<<21 (D)22<<23 4.創(chuàng)新于高等數(shù)學(xué):自主招生考試的部分試題源于高等數(shù)學(xué),是自主招生考試的鮮明特色,該類試題雖具有高等數(shù)學(xué)背景,但可用初等解法解決,可謂創(chuàng)新于高等數(shù)學(xué).例10:(2011年“同盟”自主招生

18、數(shù)學(xué)試題)設(shè)數(shù)列an滿足:a1=a,a2=b,2an+2=an+1+ab.()設(shè)bn=an+1-an,證明:若ab,則bn是等比數(shù)列;()若(a1+a2+an)=4,求a,b的值.解析: 6 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源 練習(xí)10:1.(2003年上海交通大學(xué)保送生考試試題)數(shù)列an中,a1=1,a2=3,3an+2=2an+1+an,求an和an.2.(2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,且b1=a12,b2=a22,b3=a32(a1<a2),又(b1+b2+bn)=+1,試求an的首項與公差.例11:(2010年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題)設(shè)是三次多

19、項式f(x)=x3-3x+10的一個根,且=,若h(x)是一個有理系數(shù)的二次多項式,滿足條件h()=,則h(0)=( )(A)-2 (B)2 (C)- (D)解析:練習(xí)11:1.(2011年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a,b(-,+),b0,、是三次方程x3+ax+b=0的3個根,則總以+、+、+為根的三次方程是( )(A)a2x3+2abx2+b2x-a=0 (B)b2x3+2abx2+a2x-b=0 (C)a2x3+2ab2x2+bx-a=0 (D)b2x3+2a2bx2+ax-b=02.(2005年上海交通大學(xué)保送生考試試題)x3+ax2+bx+c=0的三個根分別為a,b,c,并且a,b,

20、c是不全為零的有理數(shù),求a,b,c的值.例12:(2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)求x>0,y>0,x+y=1,nN*,求證:x2n+y2n.解析:練習(xí)12:1.(2009年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)如果一個函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)對任意x、y都滿足f(),則稱這個函數(shù)是下凸函數(shù),下列函數(shù):f(x)=2x;f(x)=x3;f(x)=log2x(x>0);f(x)=中是下凸函數(shù)的有( )(A) (B) (C) (D)1.(2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)x1,x2(0,),且x1x2,下列不等式中成立的是( )(tanx1+tanx2)>tan;(tanx1+tan

21、x2)<tan;(sinx1+sinn)>sin;(sinx1+sinn)<sin.(A) (B) (C) (D) 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 1 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解楊老師專論（電話號碼：2078159；手機號碼 面對自主招生考試,人們最關(guān)心的問題有:1.考什么？對這個問題我們在第一講中已給出了一定的探索;2.怎樣考？本講通過探索激動人心的課題,即自主招生數(shù)學(xué)試題的來源,繼續(xù)研究第一個問題,并兼顧研究第二個問題. 1.引用于數(shù)學(xué)典題:自主招生考試基于命題的“自主性”,使其命題更具“自由性”,能引用中學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題,更能有

22、效地考察數(shù)學(xué)的基本功.例1:(2005年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若y=的最大值為9,最小值為1,求滿足條件的實數(shù)a,b.解析:由y=yx2+y=ax2+8x+b(a-y)x2+8x+(b-y)=0(),因函數(shù)的定義域為R,即對任意xR的方程()均有實數(shù)解.若a-y=0,則x=0,即y=a1,9;若a-y0,則=64-4(a-y)(b-y)0y2-(a+b)y+ab-160,由題知:1y9,所以a=b=5.練習(xí)1:1.(2008年上海交通大學(xué)保送生考試試題)函數(shù)y=的最大值為 .解:由y=yx2-x+(8y-1)=0.若y=0,則x=-1;若y0,則=1-4y(8y-1)0-yymax=.2

23、.(2003年同濟大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題)不等式log2<0對于任意xR都成立,求k的取值范圍.解:由log2<00<<1(3x2+6x+4>0恒成立)2x2+2kx+k>0,且x2+2(3-k)x+(4-k)>0恒成立k2-2k<0,且(3-k)2-(4-k)<0k(,2).例2:(2003年同濟大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題)已知y=(0,2).()求y的最小值;()求y取得最小值時的.解析:()令t=2+sin+cos=2+sin(+)2-,2+sincos=(t-2)2-1=(t2-4t+3)y=(t+)-2-2當(dāng)t=2-,2+時,ymin

24、=-2;()t=2+sin(+)=sin(+)=+=2k+arcsin,或+=2k+-arcsin,因0,2),所以,=+arcsin,或=-arcsin.練習(xí)2:1.(2005年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)y=的最大值是 .解:(法一)由y=sinx-ycosx=2y-1sin(x+)=2y-1,由|sin(x+)|1|2y-1|0y 2 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 y的最大值是; (法二)令P(cosx,sinx),A(-2,-1),則點P在單位圓上,且y=kPA,當(dāng)直線y=kx+2k-1與單位圓相切時,k=0,或k=y=kPA0,y的最大值是.2.(2008年重慶高考試題)函數(shù)f(

25、x)=(0x2)的值域為( )(A),0 (B)-1,0 (C)-,0 (D)-,0解:因f(x)= y.令P(cosx,sinx), M AA(1,1),M(cosx,1),則|PM|=1-sinx, P|AP|= O x=sinPAM,由圖知,PAM00,900sinPAM0,1f(x)-1,0,故選(B).例3:(2006年上海交通大學(xué)保送生考試試題)a,b,cÎR,abc¹0,b¹c,a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有兩個相等根,求證:,成等差數(shù)列.解析:(法一)由a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有兩個相等根=b2(c-

26、a)2-4ac(b-c)(a-b)=0,令a-b=t,b-c=sa-c=t+s,ac=(b+t)(b-s)=b2+b(t-s)-stb2(t+s)2-4stb2+b(t-s)-st=0b2(t-s)2-4bst(t-s)+4s2t2=0b(t-s)-2st2=0b(t-s)-2st=0b(a-c-2b)-2(a-b)(b-c)=0ab+bc=2ac+=2,成等差數(shù)列;(法二)x=1是方程a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0的根,又因該方程有等根1×1=ab+bc=2ac+=2,成等差數(shù)列.練習(xí)3:1.(1979年全國高考試題)若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,

27、求證:x,y,z成等差數(shù)列.解:(法一)(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0x2+z2-2xz-4xy+4xz+4y2-4yz=0(x+z)2-4(x+z)y+4y2=0(x+z-2y)2=0x+z-2y=0x,y,z成等差數(shù)列;(法二)作方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0,則t=1是該方程的根,又因(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0該方程有等根1×1=x+z-2y=0x,y,z成等差數(shù)列;(法三)令x-y=a,y-z=bx-z=a+b,則(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0(a+b)2-4ab=0a=bx+z-2y=0x,y,z成等差數(shù)列.2.(1980

28、年全國高考付題)在ABC中,已知sin2+sin2+sin2=cos2證明:()tan,tan,tan成等比數(shù)列; 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 3 ()cot,cot,cot成等差數(shù)列.解:()由sin2+sin2+sin2=cos22sin2+2sin2+2sin2=2cos2(1-cosA)+(1-cosB)+(1-cosC)=1+cosBcosA+cosC=2(1-cosB)cosA+cosC=2cos0+cos(A+C)2coscos=4coscos(-)(cos0)cos=2coscoscos=3sinsintantan=()2=tan2tan,tan,tan成等比數(shù)列;(

29、)由cos=2coscos-cos=coscos-cos=sin2sinsin=sin2cot=cot+cotcot,cot,cot成等差數(shù)列. 2.選自于高考試題:自主招生考試必須有別于高考,且高于高考,但不能排除自主招生考試選用高考試題的可能性,高考中靈活且優(yōu)秀試題具有較好的選拔功能.例4:(2007年天津高考試題)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.()求數(shù)列an的前n項和Sn;()證明;不等式Sn+14Sn,對任意nN*皆成立. (2008年武漢大學(xué)保送生考試試題)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.()求證:數(shù)列an-n是等比數(shù)列;()

30、求數(shù)列an的前n項和Sn.解析:先解保送生試題:()令bn=an-nb1=a1-1=1;an+1=bn+1+n+1,由an+1=4an-3n+1bn+1+n+1=4(bn+n)-3n+1bn+1=4bn數(shù)列bn,即an-n是以b1=1為首項,公比為4等比數(shù)列;()由()知,an-n=bn=4n-1an=4n-1+nSn=+n(n+1)=4n-+n(n+1). 再解高考題:()由保送生試題()知,Sn=4n-+n(n+1);()Sn+14SnSn+1-Sn3Snan+13Sn4n+n+14n-1+n(n+1)3n2+n4.練習(xí)4:1.(2002年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若3a=4b=6c,則

31、+-= .解:本題直接選自:(1993年全國高考題)設(shè)a、b、cR+,且3a=4b=6c,那么( )(A) (B) (C) (D) 由3a=6calog63=c=log63;由4b=6c2blog62=c=log62+=log63+log62=1+-=0.2.(2012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,求|m-n|.解:本題直接選自:(2003年新課程高考試題)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則 4 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 |m-n|=( ) (A)1 (

32、B) (C) (D) (x2-2x+m)(x2-2x+n)=0x2-2x+m=0,x2-2x+n=0;設(shè)方程x2-2x+m=0、x2-2x+n=0的根分別為x1,x4,x2,x3,則x1+x4=2,x2+x4=2x1+x4=x2+x3x1=,x2=+d,x3=+2d,x4=+3d,由x1+x4=2+3d=2d=x1=,x2=,x3=,x4=m=x1x4=,n=x2x2=|m-n|=.例5:(2007年天津高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.()當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程;()當(dāng)a0時,求函數(shù)f(x)的極大值和極小值;()當(dāng)a>3

33、時,證明:存在k-1,0,使得不等式f(k-cosx)f(k2-cos2x),對任意的xR恒成立. (2009年華南理工大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)f(x)是定義在-4,+)的單調(diào)增函數(shù),要使得對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,不等式f(cosx-b2)f(sin2x-b-3)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.解析:先解:因f(x)在-4,+)上單調(diào)遞增,所以,f(cosx-b2)f(sin2x-b-3)恒成立恒成立恒成立b,1. 再解:()當(dāng)a=1時,f(x)=-x(x-1)2f(2)=-2,(2)=-5切線方程:y=-5x+8;x(-,)(,a)(a,+)(x)-+-f(x)遞減遞增遞減()當(dāng)a0時,

34、(x)=-3(x-a)(x-);當(dāng)a>0時,由表知,f(x)的極大值=f(a)=0;f(x)的極小值=f()x(-,a)(a,)(,+)(x)-+-f(x)遞減遞增遞減=-a3;當(dāng)a>0時,由表知,f(x)的極大值=f()=-a3;f(x)的極小值=f(a)=0;()由()知,當(dāng)a>3時,f(x)在(-,1(-,)上單調(diào)遞減,由k-1,0k-cosx,k2-cos2x(-,1,所以,f(k-cosx)f(k2-cos2x)恒成立k-cosxk2-cos2x恒成立cos2x-cosxk2-k恒成立k2-k2k(-,-12,+).故存在k=-1-1,0,使得不等式f(k-cosx

35、)f(k2-cos2x),對任意的xR恒成立.練習(xí)5:1.(2006年重慶高考試題)若a,b,c>0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,則a+b+c的最小值是( )(A)2 (B)3 (C)2 (D) (2008年南開大學(xué)保送生考試試題)已知正數(shù)a、b、c滿足:a2+ab+ac+bc=6+2,則3a+b+2c的最小值是 .解:由a2+2ab+2ac+4bc=12(a+2b)(a+2c)=12a+b+c=2,當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=a+2c=2時等號成立a+b+c的最小值是2.由a2+ab+ac+bc=6+2(a+b)(a+c)=6+23a+b+2c=(a+b)+2(a+c)2=2(+1),

36、當(dāng)且僅當(dāng)a+b=2(a+c)=+1時等號成立3a+b+2c的最小值是2(+1). 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 5 2.(2000年北京、安徽春招試題)設(shè)函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)>f(b),證明:ab<1. (2002年上海交通大學(xué)保送生考試試題)函數(shù)f(x)=|lgx|,有0<a<b,且f(a)=f(b)=2f().()求a、b滿足的關(guān)系;()證明:存在這樣的b,使3<b<4.解:由f(a)>f(b)|lga|>|lgb|lg2a>lg2b(lga+lgb)(lga-lgb)>0lg(a

37、b)lg>0(由0<a<b0<<1lg<0)lg(ab)<00<ab<1.()由f(a)=f(b)|lga|=|lgb|lg2a=lg2b(lga+lgb)(lga-lgb)=0lg(ab)lg=0(由0<a<b0<<1lg<0)lg(ab)=0ab=1;()由()知,ab=1,又由0<a<ba(0,1),b(1,+)>=1;所以f(b)=2f()|lgb|=2|lg|lgb=2lgb=()22=a+b2=b+,作函數(shù)g(x)=2(x>1)與h(x)=x+的圖像,并由g(3)=2>

38、3+=h(3),且g(4)=4<4+=h(4)3<b<4.例6:(2002年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若x=f(x),稱x為f(x)的不動點,f(x)=.()若f(x)有關(guān)于原點對稱的兩個不動點,求a、b滿足的關(guān)系;()畫出這兩個不動點的草圖. (2002年上海春招試題)對于函數(shù)f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點,已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0).()當(dāng)a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點;()若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;()在()的條件下,若y=f(x)圖像上A、

39、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點,且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱,求b的最小值.解析:函數(shù)的不動點在函數(shù)研究與應(yīng)用中(如在函數(shù)迭代研究和應(yīng)用于求數(shù)列通項),占有重要地位.首次出現(xiàn)在2002年上海春招試題. 先解春招題:()當(dāng)a=1,b=-2時,f(x)=xx2-2x-3=0x=3,或-1函數(shù)f(x)的不動點是x=3,或-1;()函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點f(x)=x,即ax2+bx+b-1=0對任意實數(shù)b,恒有兩個相異的實根對任意實數(shù)b,不等式=b2-4a(b-1)>0恒成立,且a01=(-4a)2-16a<0,且a0a的取值范圍是(0,1);()設(shè)A(x1,y1)、

40、B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=kAB=a(x1+x2)+(b+1)=1;y1+y2=ax12+(b+1)x1+(b-1)+ax22+(b+1)x2+(b-1)=a(x1+x2)2-2x1x2+(b+1)(x1+x2)+2(b-1)=-A、B的中點H(-,-);A、B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱kkAB=-1,且-=k(-)+k=-1,且-=+-b=b-;所以當(dāng)且僅當(dāng)a=(0,1)時,b取得最小值-. 6 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 再解保送生題:()設(shè)f(x)=的兩個不動點分別為x1,x2,則x1,x2是方程f(x)=x,即x2+(b-2)x-a=0的兩根;f(x)的兩

41、個不動點x1,x2關(guān)于原點對稱>0,且x1+x2=0(b-2)2+4a>0,且2-b=0a>0,且b=2;()由知x1=,x2=-,不動點x1,即函數(shù)y2=x(x>0,y>0)的圖像,不動點x2,即函數(shù)y2=x(x>0,y<0)的圖像.練習(xí)6:1.(2003年同濟大學(xué)保送生考試試題)已知方程f(x)=x的根是函數(shù)f(x)的不動點,令f(x)=.()若,3為不動點,求a,b,c的關(guān)系;()在()的條件下,若f(1)=,求f(x)的解析式;解:()由f(x)=x=xx2+(a-b)x-c=0;所以,3為不動點+3=b-a,且×3=-cb-a=,c

42、=-()f(1)=2b-a=4b=,a=-3f(x)=(x3).2.(2010年浙江大學(xué)保送生考試試題)設(shè)M=x|f(x)=x,N=x|ff(x)=x.()求證:MN;()f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)時,是否有M=N？并證明. (2008年上海交通大學(xué)保送生考試試題)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(x)=x沒有實數(shù)根,問:f(f(x)=x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論. (2009年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若f(x)滿足f(x0)=x0,稱x0為f(x)的不動點,證明:若f(f(x)有唯一不動點,則f(x)也有唯一不動點.解:()若M=,則:MN顯然成立;若M,設(shè)x0Mf(x0)

43、=x0f(f(x0)=f(x0)=x0設(shè)x0NMN;()當(dāng)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)時,有M=N,用反證法:假設(shè)MN,由()知:MNMN,設(shè)x0N,x0M,即f(f(x0)=x0,f(x0)x0;若f(x0)>x0f(f(x0)>f(x0)f(f(x0)>x0,矛盾;若f(x0)<x0f(f(x0)<f(x0)f(f(x0)<x0,也矛盾;綜上,M=N.f(f(x)=xaf2(x)+bf(x)+c-x=0af2(x)+bf(x)+(ax2+bx+c)-ax2-bx-x=0af2(x)+bf(x)+f(x)-ax2-bx-x=0af2(x)-x2+bf(x)-x+

44、f(x)-x=0f(x)-xa(f(x)+x)+b+1=0; f(x)=x沒有實數(shù)根ax2+(b-1)x+c=0沒有實數(shù)根=(b-1)2-4ac<0方程a(f(x)+x)+b+1=0,即方程a2x2+a(b+1)x+ac+b+1=0的判別式1=a2(b+1)2-4a2(ac+b+1)=a2(b-1)2-4ac-4=a2(-4)<0方程a(f(x)+x)+b+1=0沒有實數(shù)根方程f(f(x)=x沒有實數(shù)根.設(shè)f(f(x)唯一不動點為x0,f(x0)=t,則f(f(x0)=x0f(t)=x0f(f(t)=t,由f(f(x)有唯一不動點t=x0f(x0)=x0x0是f(x)的不動點,即存

45、在性得證,下證唯一性: 用反證法:假設(shè)x1是f(x)的不動點,且x1x0,則f(x1)=x1f(f(x1)=f(x1)=x1x1是f(f(x)的不動點,這與f(f(x)有唯一不動點矛盾;故f(x)也有唯一不動點. 3.源自于競賽數(shù)學(xué):縱向研究自主招生考試可以發(fā)現(xiàn):自主招生考試下接高考,上連聯(lián)賽.因此自主招生考試中,有些試題直接源自于競賽數(shù)學(xué),尤其是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一式,應(yīng)屬正常.例7:(1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k為實數(shù))的兩個實根,x12+x22的最大值是( )(A)19 (B)18 (C)5 (D)不存在 (2006年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)已知x1,x2是方程x2-(a-2)x+(a2+3a+5)=0(a為實數(shù))的兩個實根,x12+x22的最大值是( ) 第02講:自主招生數(shù)學(xué)試題的來源詳解 7 (A)19 (B)18 (C)20 (D)不存在解析:由=(a-2)2-4(a2+3a+5)0a-4,-,由x1+x2=a-2,x1x2=a2+3a+5x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(a-2)2-2(a2+3a+5)=-a2-10a-6=-(a+5)2+19當(dāng)a=-4時,x12+x22取得最大值18,選(B).練習(xí)7:1.(1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題