最新廈門大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育線性代數(shù)復(fù)習(xí)題B含答案

1、精品文檔廈門大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育 2011-2012學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)復(fù)習(xí)題 B精品文檔、選擇題（每小題3分，共18分）4bCG b1 +2C| a<H2b1 +3C|1.設(shè)行列式a?b?C2=d，則C2 b： * 2q a： + 2b： *3侖=(a3b3C3C3 匕3 + 2C383 + 2d + 3C3A. -2d ；B. -d ；C. d ；D. 2d。2. 已知A為n階非零方陣，E為n階單位矩陣，若 A =0，則（A. E - A不可逆，E -A不可逆;B . E - A不可逆，E A可逆;C. E A可逆，E -A可逆;D . E A不可逆，E - A可逆。3. 向量 宀,：-2

2、, ：-3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）°A .宀 >2 , >2*3 , >3*1 ； B . >1 ,< ：'2 , >1 *2 *3 ；C.1一2 , 2一3 , 一冷；D . >1*2 , 2：3 ,：'i ° 4若3階方陣2E-A及E A ,3A-E都不可逆，則A的特征多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)為 （22A. ;B. 2 ;C.；335 .下列命題錯(cuò)誤的是()°A.相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式;B. n 1個(gè)n維向量必線性相關(guān)；C. 矩陣Q是n階正交矩陣的充分必要條件是 Q = Qt ；D .若矩陣A的

3、秩是r，并且存在r -1階子式，則其所有的r -1階子式全為0 °6.下列命題正確的是（）°A .若A, B為同階方陣，且 AJ =A，則BtAB也是對稱陣;B.若AX=AY，且A=0，其中0為零矩陣，則X二丫 ；C.齊次線性方程組 AX =O ( A是m n矩陣)有唯一解的充分必要條件是r(A)二m ；D設(shè)非齊次線性方程組 AX =b有無窮多解，則相應(yīng)的齊次線性方程組 AX=O有唯一解。二、填空題(每小題3分,共18分)7.設(shè) 4 4 矩陣 A = (2, 3), B = ( - ,2, 3)，其中- , ： , 1 , 2 , 3 均為四維列向量，且已知行列式|A| =

4、 4 , |B|=1，則行列式|AB|二。廣 122、&若 A=24 t ，當(dāng) t=時(shí)，r (A 尸 2。<3 7 9 丿9. =(2k k -103)與：2 =(5-3 k k 1)正交，則 k 二。10.已知3階矩陣A的特征值為1,-1, 2，則矩陣 2A E ( E為三階單位矩陣)的特征值為(111.設(shè)A為可逆矩陣，且AB二36，則 r(B )=9丿12 .若A , B均可逆，D二則D可逆，且D二三、計(jì)算題(共64分)13.行列式計(jì)算(10 分)求行列式D11 a2HIHI，其中 a<ia2iI( an H 0 , Dn是n階行列式，主對角線上的元素為1 ai ,II

5、I1 an其余元素為1。14.求解矩陣方程(10分)'03 3 '設(shè) A= 110 , AB=A + 2B，求 B。<-12315線性方程組的計(jì)算（12分）1（2 -岡 2x2 -2x3 = 1設(shè)有線性方程組 2為（5 _ Jx2 _4x3 =2 ，問取何值時(shí)，此方程組（1）有唯 | 2x _4x2（5 - ）x3 - - -1一解；（2）無解；（3）有無窮多解？并在有無限多解時(shí)求其通解。16. 向量組計(jì)算（10分）已知向量組冷=（1212）,： 2=（1 03 1）T ,： 3=（2-10 1）T ,：4 =（21-22）T , >5 =（2243）T，試求, :

6、- 2,:- 3, :- 4 ,:- 5 的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示。2 2 217. 設(shè)二次型f（X1,X2,X3）=2X1 3x2 3X3 - 2ax2X3（a - 0）可通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型2 2 2f =*22 5y3，求參數(shù)a及使用的正交變換（20分）說明：（1）先將二次型表示成矩陣形式（2分）;（2）求出a的值（5分）;（3）求出對 應(yīng)于特征值的特征向量（6分）；（4）將這些特征向量正交單位化（ 3分）;（5）最后寫出所 作的正交變換（4分）。請按上述五步順利給出解題過程。一、選擇題（每小題3分，共18分）1. B。解：由行列式的性質(zhì)可知G 0+

7、2印 +2b +3C|Gba1 D GC2 b? + 2 C2 a? + 2b? + 3c?=C2b?a?=a?b2C2=-dC3 匕3 + 2 C3 玄3 + 2匕3 +3QC3b3a3a3dC323232. C。解：由于(E A)(E A A ) = E A =E，(E A)(E - A A ) = E A = E，因此E A, E - A均可逆，故選Co3. C. 解:顯然有 1(1 -2) 1(2 -3) 1C 3 -1)= 0 ,所以1-2 , 2 -3 , ' 3 -線性相關(guān)，故選Co4. A。解：根據(jù)定理5.1知，設(shè)'o是A的特征值，則必有| oE - A| =

8、0，于是 oE - A不1可逆，又2E-A及E A, 3A-E都不可逆，那么2E - A , - E-A , - E-A不可逆，312知A的特征值為2 , -1,丄，而A的特征多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)的值等于-I Ah335. D。解：A 正確，相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式（§5.2性質(zhì)5）oB .正確，n，1個(gè)n維向量必線性相關(guān)（定理 2.5 ） oC.正確，矩陣Q是n階正交矩陣的充分必要條件是Q二Qt，這是正交矩陣的定義。D 錯(cuò)誤，矩陣 A的秩是r，若其所有的r -1階子式全為0 ,則A的任何r階子式都為0 ,r階非零子式）這與矩陣的秩為r矛盾（注意矩陣 A的秩是r，說明其存在一個(gè)6. A。

9、解：A.正確，若 A , B為同階方陣，且 AT 二 A，則（B1A3 ）T BATB（TT） BtA3則btab也是對稱矩陣。B .錯(cuò)誤，反例：?1 Y00丿3廣01S 3、<00丿<0 02、00記A =<00102）豐0丿<0二丫。注意矩陣乘法不滿足消去律,AX =AY，只有A可逆時(shí)，才有X =Y。C.錯(cuò)誤，齊次線性方程 AX =O （ A是m n矩陣）有唯一解的充分必要條件是 r（A）二n。D 錯(cuò)誤，非齊次線性方程組 AX二b有無窮多解，則 A的秩小于A的列秩，即A的秩小于 方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)，是相應(yīng)的齊次線性方程組AX =0有無窮多解的充要條件。、填空題(每小題

10、3分,共18分)7解:2 1,2 2,2 3 冃二2 1,2 2,2 3丨 T：,2 1,2 2,2 31 = 23(| A| |B|) = 40。廣122、廣122、廣122、&解：A =24t:369:003<369<24切<00t4| A B|=| 二，又 r A =2，故 t =4。9.因?yàn)椋簀 , ：-2 正交，所以：-2 =10k -3(k -1) - 3(k *1)=0，則 k -。1510解：由 I E-B|=| E-2A-E|=|(' -1)E-2A|=8|-E-A|=0,的特征值，于是由 A的特征值1, -1, 2可知B的特征值為3, -1

11、, 5。11解：A為可逆矩陣，則 A可寫成一系列初等矩陣的乘積， AB由B左乘A得到，相當(dāng) 于可通過初等行變換把 B變成AB，由于初等變換不改變矩陣的秩，故 r(B)=r(AB)，而r(AB) =1，所以 r(B) =r(AB) =1。12 .解：由| D戶| A | B且A、Y,使得W /O'即f AXAY)(EO'E丿&X + BZCY +BWQE>B可逆可知，D可逆，設(shè)矩陣Y (Ewj 2則AX = E，故X 二 A ； AY =O ,則 Y = O ；CX BZ =O ,故 BZ - - CX, Z - -BCA，；CY BW 二 E，貝U BW 二 E，

12、故 W 二 B 所以 D，廣AI-BCAOB_1三、計(jì)算題(共64分)13.解:精品文檔0精品文檔Dn 二內(nèi)(1丄)a1a1 a1a2Tamilian1a2 a2(1 a1a2a21+ 印1n1 、i a ain 11八丄i =1 ai1 J丄i =1 aia21+ a2a2n 1= a1aj|lan(1)i =1 ai1an an1ananan(1 + 丄)anIIIIIIIIIa2丄a2a21丄anIIIIIIIII（將各列分別加到第 1列得）an1an1+丄anIIIa2丄a2IIIan1IIIa21an再將第一行乘以-1分別加到其余各行,1Dn =時(shí)2 1且(1 ' -)i=1

13、 aia211an0n 1= a1a|an(1)i=1 ai14 .解：由 AB = A 2B，可得(A -2E)B由于精品文檔廣033、(100、(-233、A2E =110-2 010=1-10230b1I-12b-233而 A-2E1-10=2式0，所以 A 2E 可逆，則 B = (A 2E)A。-1 2 1z-233033<2 3 3 0 3 3'廣100033、(A2E,A)=1-101101 X 0 1 1 0 010-123日21-123丿1 1 0 3 3j1°0111廣033'1因此 B =(A2E) A= -123J 1 °Q-k

14、 2-21 '2 5 九-42 、B =25-丸-42:01-九1 丸1 丸12-45 九衛(wèi) 0(1亠丸)(10丸)(1 一丸)(4 一丸)15 .解：對增廣矩陣B =( Ab)作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有(1)當(dāng)1且10時(shí),r(A) = r(B) =3，方程組有唯一解。(2) 當(dāng)，=10時(shí)，r(A)=2，r(B)=3，方程組無解。(3) 當(dāng) =1時(shí)，r(A)=r(B)=1，方程組有無限個(gè)解,這時(shí)，24-42)r12-21、B =00000000<0000><0000>由此便得通解禺- -2x2 2x3 1 ( X3可任意取值)廣1、X2=C110+01

15、°丿(G,C2 R)。16解：將向量：'1 , ：'2 , ：'3 , >4 , :- 5看成一個(gè)矩陣的列向量組，得矩陣廣12102-1212、2A =130-24<2112311222 11222 "'1 0011、0-2-5-3-2n0-1-3-2-10 10-11-02-2-4200-8-800 0110<0-1£-2一1丿<00112 0000對矩陣A僅施以初等行變換，把A化為階梯形矩陣A因此向量組，： 2，： 3是向量組，:- 2，：'3，:- 4，：5的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且-2，： =冷 上込'° 圧3。222T17.解：(1)二次型 f (Xi,X2,X3)=2X1 3X2 3X3 2axiX3 二 X AX，其中2 0 0、A =0 3a,X =Xa 3 丿由題意知 A的特征值為 、=1, '2 = 2,，3 = 5。將=1代入，得E - A =( -2)('2-6'9-a2) =0(a 0),z200 '得a2，于疋A -032<023丿0