凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）摘 要高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)研究對(duì)象凸函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)最基本的概念。凸函數(shù)的許多良好性質(zhì)在數(shù)學(xué)中都有著非常重要的作用。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)，對(duì)策論，運(yùn)籌學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)以及最優(yōu)控制論等學(xué)科都有非常廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在已經(jīng)成為了這些學(xué)科的重要理論基礎(chǔ)和強(qiáng)有力的工具。同時(shí)，凸函數(shù)也有一些局限性，因?yàn)樵趯?shí)際的運(yùn)用中大量的函數(shù)并不是凸函數(shù)的形式，這給凸函數(shù)的運(yùn)用造成了不便。為了突破其局限性并加強(qiáng)凸函數(shù)在實(shí)際中的運(yùn)用，于是在60年代中期便產(chǎn)生了凸分析。本文主要是研究凸函數(shù)在數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)方面，文主要探究了不等式的證明，看看它與傳統(tǒng)方法比較哪個(gè)更為簡(jiǎn)潔；在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，主要介紹了凸函

2、數(shù)的一些新的發(fā)展，即最優(yōu)問(wèn)題，該問(wèn)題在投資決策中起到了非常重要的作用；最后簡(jiǎn)單的介紹了一下經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的知識(shí)。關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；不等式；經(jīng)濟(jì)學(xué)；最優(yōu)化問(wèn)題AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematic

3、s. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same t

4、ime, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The

5、paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of

6、 convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目 錄摘要IAbstractII第1

7、章 緒 論1第2章 預(yù)備知識(shí)32.1 凸函數(shù)的定義32.2 凸函數(shù)的定理62.3 凸函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)92.4 幾種常見(jiàn)的不等式10第3章 在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用123.1. 初等不等式的證明123.2 函數(shù)不等式的證明143.3 積分不等式的證明15第4章 凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的中應(yīng)用194.1 最優(yōu)化問(wèn)題194.1.1 線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問(wèn)題194.1.2 非線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問(wèn)題214.2 Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量26結(jié)論28參考文獻(xiàn)29致謝3030齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）第1章 緒 論提起凸函數(shù)我們就知道它是一種性質(zhì)特殊的函數(shù)，在初高中階段我們只是對(duì)其性質(zhì)，及其圖像進(jìn)行了簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)。而在大

8、學(xué)階段對(duì)凸函數(shù)的研究就更加深入了。由于其有很多好的性質(zhì)，因此在數(shù)學(xué)之中將其分離出來(lái)，獨(dú)立研究。在整個(gè)函數(shù)研究領(lǐng)域中占有十分重要的地位。它的概念最先見(jiàn)于國(guó)外學(xué)者的著述之中。從眾多的文獻(xiàn)中我們知道現(xiàn)在對(duì)凸函數(shù)的研究已從定義上升到凸分析再到凸函數(shù)的運(yùn)用，尤其是它在純粹數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)之中的許多領(lǐng)域有著舉足輕重的作用。如今已成為眾多的學(xué)科有力工具和理論基礎(chǔ)，比如說(shuō)在對(duì)策論，數(shù)學(xué)規(guī)劃，變分學(xué)，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)以及最優(yōu)控制等等學(xué)科。本文重點(diǎn)通過(guò)凸函數(shù)的性質(zhì)引出凸函數(shù)的運(yùn)用，在應(yīng)用方面主要探討的是凸函數(shù)在兩大領(lǐng)域的運(yùn)用數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)，當(dāng)然凸函數(shù)在其他的方面也有很多的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，本文主要討論了運(yùn)用凸函數(shù)的方法來(lái)

9、證明復(fù)雜的不等式比傳統(tǒng)的方法更加的便利，并通過(guò)一些實(shí)際的例子我們可以得出結(jié)論的是：利用凸函數(shù)的方法顯然比較簡(jiǎn)潔。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，作為凸函數(shù)應(yīng)用的的新發(fā)展。主要是最優(yōu)控制方面的簡(jiǎn)單介紹。介紹經(jīng)濟(jì)學(xué)中一些重要的方法和一些工具，目標(biāo)函數(shù)，凸規(guī)劃等。從這些方法中得出的結(jié)論給經(jīng)濟(jì)學(xué)中投資決策有著重要的依據(jù)。到目前為止，我們知道凸函數(shù)在許多的方面都有應(yīng)用，但是我們也要注意到凸函數(shù)的局限性。從以往的論文或者專(zhuān)著來(lái)看，凸函數(shù)還是有一定的局限性，最為突出的就是其在理論上的。使得凸函數(shù)的運(yùn)用更為廣泛顯得很勁瓶。所以必須更深入的研究凸函數(shù)。凸函數(shù)是一種十分重要的數(shù)學(xué)概念，它在許多領(lǐng)域都有具有廣泛的應(yīng)用。正是由于凸函

10、數(shù)有許多優(yōu)良的性質(zhì)的應(yīng)用，現(xiàn)已經(jīng)成為許多學(xué)科的重要理論基礎(chǔ)和有力工具。2010年梁艷在發(fā)表凸函數(shù)的應(yīng)用1一文闡述了凸函數(shù)的性質(zhì)在證明數(shù)學(xué)中不等式應(yīng)用。2009年黑志華，付云權(quán)在他們的凸函數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用2一文中闡述如何利用凸函數(shù)的性質(zhì)去解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些問(wèn)題。同樣的在國(guó)外也得到了廣泛的應(yīng)用。如Neculai Andnei發(fā)表的Convex function3，主要介紹了一些有關(guān)凸函數(shù)的性質(zhì)定理以及例舉出了一些實(shí)際的應(yīng)用。 現(xiàn)在由于凸函數(shù)在概念上的凈瓶，出現(xiàn)許多的新的發(fā)展，比如廣義凸函數(shù)，下面簡(jiǎn)單的介紹一下些。凸函數(shù)的理論起源于本世紀(jì)前期，最初的理論奠基來(lái)自于Jenson，Holder等的

11、著述之中，但是那時(shí)候并沒(méi)有引起人們的關(guān)注。然而就在本世紀(jì)的40，50年代才引起了廣泛的重視，由于某種的需要隨之而來(lái)的就是對(duì)其概念研究，已經(jīng)在運(yùn)用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我們的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量的研究，并得到了一些重要的，有價(jià)值的研究成果。于是在上世紀(jì)60年代產(chǎn)生了凸分析，其概念也被推廣。 定義1.14：我們可以設(shè)集合,屬于其中的數(shù)，令實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù)的取值范圍在，那么下面的不等式是成立：則稱集合為凸集。設(shè): ,其中為凸集定義1.24：如果有一個(gè)函數(shù)滿足下面的不等式的話：對(duì)于任何的x,y都屬于開(kāi)凸集C中，其中0,1，則稱h是A上的擬凸函數(shù)。h為擬凸函數(shù)的充要條件的是x,y屬于開(kāi)

12、凸集C中，那么目的函數(shù)h在開(kāi)凸集C上可微的。當(dāng)以下不等式成立，則可以稱在開(kāi)凸集上的偽凸。本文從結(jié)構(gòu)上分為兩個(gè)部分，第一部分就是凸函數(shù)的性質(zhì)，這部分可以說(shuō)是為第二部分做理論上的鋪墊，重點(diǎn)是凸函數(shù)的性質(zhì)及其一些相關(guān)定理和不等式。第二部分就是實(shí)際應(yīng)用。本文共分為4章，以下我對(duì)本文各個(gè)章節(jié)所做出的具體安排：第1章為緒論。在本章的內(nèi)容主要是闡述了本論文研究背景及其目的，凸函數(shù)在國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，和一些最新的發(fā)展，最后就是涉及本論文的結(jié)構(gòu)。第2章為預(yù)備知識(shí)。預(yù)備知識(shí)是我們研究前為第一部分所做的準(zhǔn)備工作。在本章首先介紹了凸函數(shù)的定義，凸函數(shù)的定理以及凸函數(shù)的簡(jiǎn)單的性質(zhì)，最后就是一些常見(jiàn)的不等式以及這些性質(zhì)的證

13、明過(guò)程。第3章就是凸函數(shù)在不等式證明的應(yīng)用。本章主要分為兩個(gè)方面進(jìn)行凸函數(shù)應(yīng)用的探討。首先就是在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，將其分為三個(gè)小塊進(jìn)行。在不等式的證明中又分為三個(gè)模塊。第4章就是凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，分為最優(yōu)問(wèn)題的介紹和Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。在最優(yōu)化之中分為線性下的最優(yōu)化以及非線性下的最優(yōu)化，并從非線性引出凸線性規(guī)劃問(wèn)題，最后簡(jiǎn)單的介紹了一下Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。最后就是結(jié)論?？偨Y(jié)了本文的內(nèi)容，并且對(duì)未來(lái)凸函數(shù)應(yīng)用的展望。第2章 預(yù)備知識(shí)2.1 凸函數(shù)的定義下面介紹一下有關(guān)凸函數(shù)的定義定義2.15：我們可以設(shè)函數(shù)，其中有，以下不等式成立，則我們就稱函數(shù)是上的凸函數(shù)。如

14、果我們假設(shè)對(duì)于任意的數(shù)，且有并且有以下的不等式成立則我們將這種稱為函數(shù)是上的嚴(yán)格凸函數(shù)。其實(shí)對(duì)于這些公式在純粹的數(shù)學(xué)公式來(lái)說(shuō)是很難理解的，在數(shù)學(xué)中我們一般用數(shù)學(xué)的幾何圖像來(lái)解釋這些公式，這樣我們就可以更加容易理解這些所代表的意思。當(dāng)然隨著我們知識(shí)的不斷積累單純，固定的思維不應(yīng)該再我們腦袋里重復(fù)出現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)例子。下面我們運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)解釋凸函數(shù)的意義，但這只限于幾何。我們可以設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上有定義并且對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)且連續(xù)。如下圖2-1所示的那樣我們就稱這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)凸函數(shù)。這只是凸函數(shù)幾何定義的文字?jǐn)⑹鲂问?，這樣看來(lái)是枯燥的，下面我們運(yùn)用幾何的形式來(lái)解釋?zhuān)@樣更為直觀些。圖2

15、-1 凸函數(shù)幾何圖下面我們列舉幾個(gè)等價(jià)的定義定義2.25：我們同樣可以設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的凸函數(shù)的話，就要滿足以下式子：有如圖所示圖2-2 凸函數(shù)幾何圖下面是一個(gè)推論可以有定義2得出來(lái)，但是還是要經(jīng)過(guò)一般性的推導(dǎo)定義2.35：同樣根據(jù)定義2.2我們可以設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，函數(shù)稱為凸函數(shù)，只有當(dāng)以下式子得到滿足時(shí),有從中我們不難看出這三種定義不等式均是等價(jià)的。在定義2.2成立的條件下可以證明定義2.3,我們用逆數(shù)學(xué)歸納法證明。下面我們對(duì)定義進(jìn)行推導(dǎo)證明。證明：我們可以先假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，顯然根據(jù)定義2.2是成立的當(dāng)時(shí) 左邊=，右邊=由于推導(dǎo)出下式即可以看出將時(shí)，經(jīng)過(guò)上述的方

16、法反復(fù)的計(jì)算可以證明其成立。我們可以另外設(shè)則有兩邊同時(shí)加上得：對(duì)其進(jìn)行變形得由時(shí)成立，故其中2.2 凸函數(shù)的定理在凸函數(shù)有很多非常重要的定理，這些定理在實(shí)際的應(yīng)用中起到了舉足輕重的作用。下面簡(jiǎn)單的介紹幾個(gè)定理及其一些證明。定理2.15：可以設(shè)一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，則以下的條件是等價(jià)的（且有）（）在區(qū)間凸函數(shù)（） （）（）下面我們只給出其中之一的證明，其余的證明都是雷同的。現(xiàn)證明與等價(jià)。圖2-3 定理證明圖證明：根據(jù)凸函數(shù)的定義我們可以得到（其中關(guān)系如圖所示）將（）變換得到：這是我們可以記，其中，我們可以得到以下式子我們可以綜合上面我們可以知道，從可以推到。反過(guò)來(lái)對(duì)于任意的，記，反過(guò)來(lái)我們把上

17、式改變下就可以得到由從 推到。故我們可以得到結(jié)論是：與等價(jià)。當(dāng)然其他的等價(jià)條件我們同樣可以仿效得到類(lèi)似的結(jié)論。顯然我們可以通過(guò)上面的式子得到一個(gè)重要的等式如下在區(qū)間I凸函數(shù)，且在該區(qū)間三點(diǎn)滿足如圖3所示的關(guān)系，那么我們可以得到以下不等式定理2.26：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義且一階可導(dǎo)，如果在區(qū)間區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增，則函數(shù)嚴(yán)格凸的。推論2.16：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義且二階可導(dǎo)，如果對(duì)于任意的,（），則函數(shù)嚴(yán)格凸的。定理2.37：如果函數(shù)在區(qū)間上有定義，則我們可以得到以下的一些等價(jià)的命題：（）在區(qū)間凸函數(shù)（）對(duì)于對(duì)于有（）對(duì)于且()不全為零，對(duì)于有不等式現(xiàn)證明與等價(jià)證明：對(duì)于上面的三個(gè)等價(jià)命題中，顯然我

18、們可以從推到，只需要將時(shí)即可，然后再根據(jù)第2章預(yù)備知識(shí)中定義2.1的不等式形式可以得出結(jié)論成立?，F(xiàn)只需證明從推到，在成立的條件下得出不等式顯然我們可以已經(jīng)數(shù)學(xué)歸納法，這是n=2已經(jīng)是成立的假設(shè)時(shí)也是成立的。即則當(dāng)時(shí)有 其中 綜合以上的式子我們可以得到以下結(jié)果：所以當(dāng)時(shí)不等式也是成立的 圖2-4 定理4圖2.3 凸函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（）我們?cè)O(shè)函數(shù)及均為區(qū)間凸函數(shù)，那么在區(qū)間也是凸函數(shù)7。（）設(shè)函數(shù)及均為區(qū)間凸函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，那么線性表達(dá)式在區(qū)間也是凸函數(shù)。()設(shè)函數(shù)為單調(diào)遞增凸函數(shù)，是凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù)。()如果函數(shù)在區(qū)間上有定義且為凹函數(shù)且有，則為區(qū)間上的凸函數(shù)，然而它的反推是不成立的現(xiàn)在

19、我們可以對(duì)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明，證明如下所示：證明：由于為凹函數(shù)，那么得到不等式其中且要證明是凸函數(shù)，我們只要證明下面不等式成立就可以了我們可以得到現(xiàn)在只需要綜合以上的式子并由于，根據(jù)公式得故除此證明外我們還可以例舉出一個(gè)實(shí)際而簡(jiǎn)單實(shí)例來(lái)說(shuō)明如下式：當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為凸函數(shù)，但是在區(qū)間上任然是凸函數(shù)，所以性質(zhì)（）反推是不成立的。2.4 幾種常見(jiàn)的不等式凸函數(shù)的最基本不等式如下6設(shè)為區(qū)間凸函數(shù)，則對(duì)于內(nèi)的任意一組值必有不等式成立。Jensen不等式如下6對(duì)于函數(shù)，在是區(qū)間上的凸函數(shù)的充分必要條件是對(duì)于任意的xkI及其中，并且有，則不等式稱為Jensen不等式 Cauchy-Schwarz不等式如下6C

20、auchy-Schwarz不等式其實(shí)就是利用Jensen不等式推導(dǎo)出來(lái)的下面的不等式就是Cauchy-Schwarz不等式Hadamard不等式如下5如果函數(shù)h在區(qū)間上有定義且為凸函數(shù)，則對(duì)于則有不等式第3章 在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用凸函數(shù)屬于函數(shù)的一種，在數(shù)學(xué)之中使用的最為廣泛。在數(shù)學(xué)中我們一般就是利用其性質(zhì)來(lái)證明各類(lèi)不等式，將復(fù)雜的不等式進(jìn)行一定的變換得到你想要的凸函數(shù)形式，然后得出證明。這樣便化難為簡(jiǎn)了。本章討論的關(guān)鍵問(wèn)題是凸函數(shù)在數(shù)學(xué)中的不等式證明，將凸函數(shù)的性質(zhì)用來(lái)證明不等式與傳統(tǒng)的方法比如說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法比較，凸出前者的便利性。在本章中我們就三種不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明，所用到的大多是凸函數(shù)的簡(jiǎn)單性

21、質(zhì)以及相關(guān)的定理8。在這些不等式中有些比較復(fù)雜，一般的證明方法來(lái)證明就比較困難了。然而當(dāng)我們用凸函數(shù)時(shí)，這些實(shí)際問(wèn)題便容易得到了解決9。所以證明不等式也就是凸函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)非常重要的應(yīng)用，但是關(guān)鍵的是我們要把復(fù)雜的不等式經(jīng)過(guò)一些變換從而得凸函數(shù)的形式。3.1. 初等不等式的證明例 3.1 證明不等式其中且解析：當(dāng)我們看到這個(gè)等式的時(shí)候，就會(huì)覺(jué)得如果我們用一般的數(shù)學(xué)歸納方法來(lái)證明就會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果。一是證明出來(lái)了就是過(guò)程太復(fù)雜，二是就根本就沒(méi)有這么出來(lái)。像這樣的就是非常復(fù)雜和繁瑣的，包括里面的所需要的思想。兩個(gè)不同的未知數(shù)，顯然不能用一般的求導(dǎo)。這里我們可以選擇構(gòu)造法來(lái)解決。這是數(shù)學(xué)之中常用的一種

22、來(lái)解決繁瑣的方程或者不等式。此題如果不用構(gòu)造法幾乎是很難證明出來(lái)的，所以對(duì)于此題我們選擇了構(gòu)造法10。證明：令（） 一階求導(dǎo)可以得 ， 依據(jù)第二章中的凸函數(shù)的定義和定理我們可以得出在上是嚴(yán)格的凸函數(shù)，再由凸函數(shù)的定義式我們可得由上式變換得到例 3.2 證明不等式，當(dāng)時(shí)，有下列不等式成立解析：這些不等是在歷年的考研試卷出現(xiàn)的頻率較高，難倒了不少的考生。其實(shí)這個(gè)不等式是俄羅斯的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，通過(guò)改編而來(lái)。當(dāng)我們看到此不等式時(shí)，我們首先想到的是將用函數(shù)來(lái)構(gòu)造其中。則我們可以看到，但是如果我們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)要證明這個(gè)不等式利用是構(gòu)造不出來(lái)的，因此此構(gòu)造法是不可行的。但是我們仔細(xì)觀察你就會(huì)發(fā)現(xiàn)在不等式的

23、兩遍都有兩個(gè)相同的數(shù)，這樣我們可以構(gòu)造出這樣的一個(gè)函數(shù)來(lái)(),再在不等式的兩邊同時(shí)乘以就可以得到形如的不等式。證明：設(shè)函數(shù)()一階求導(dǎo)得到，其中可以看出根據(jù)第二章凸函數(shù)的性質(zhì)中的推理可以看出在上是嚴(yán)格的凸函數(shù)，又根據(jù)凸函數(shù)的定義得到：對(duì)于任意的時(shí)都有即這兩道題都是初等不等式，用構(gòu)造法來(lái)構(gòu)造成凸函數(shù)證明顯然就比較簡(jiǎn)單了。但是如果我們用傳統(tǒng)的方法來(lái)證明，證明的過(guò)程繁瑣甚至證明不出來(lái)。從上面的幾個(gè)例子我們可以得出的結(jié)論就是，運(yùn)用凸函數(shù)的性質(zhì)定理來(lái)證明初等不等式顯得很簡(jiǎn)單及巧妙。3.2 函數(shù)不等式的證明例 3.3證明對(duì)于任何的非負(fù)數(shù)實(shí)數(shù)，有 解析：對(duì)于函數(shù)不等式，我們見(jiàn)得最多就是三角函數(shù)組成的不等式，

24、比起初等不等式構(gòu)造起來(lái)就更加困難了，但是還是可以仿效初等不等式來(lái)構(gòu)造。構(gòu)造成凸函數(shù)的形式，從而得到證明此題可以輔助函數(shù)11其中要求。證明：記（ ）。二階求導(dǎo)得顯然在上是嚴(yán)格的凸函數(shù)由定義得到對(duì)于任何的非負(fù)數(shù)實(shí)數(shù)，則有，則有 故有 例 3.4：設(shè)，證明解析：這個(gè)題看起來(lái)非常的復(fù)雜，難度也比前面的大，普通的方法是很難到達(dá)證明的，因?yàn)槠渲芯鸵婕暗讲坏仁椒?hào)大小的判定，我們可以記和其中可以將化簡(jiǎn)得，將化簡(jiǎn)得。證明：先變換得其中記和原式化簡(jiǎn)得到原式,顯然又記，由以上可知道在上是嚴(yán)格的凸函數(shù)，再由凸函數(shù)的定義式我們可得則然而 因此在證明函數(shù)不等式時(shí)我們還是可以利用構(gòu)造法來(lái)解題，只不過(guò)函數(shù)不等式比初等不等

25、式更加復(fù)雜。構(gòu)造起來(lái)有點(diǎn)麻煩，但是一旦找到合適的輔助函數(shù)就變得簡(jiǎn)單了。3.3 積分不等式的證明在證明不等式時(shí)有一種思想是常用到的分割12，這種思想是一種極限的思想，就是將極小不規(guī)則的圖形看著是規(guī)則的。這種思想的應(yīng)用使得不等式的證明變得簡(jiǎn)單易懂。例3.5：我們?cè)O(shè)函數(shù)，在區(qū)間上是連續(xù)的，且有，,在閉區(qū)間上是有定義的，并且二介導(dǎo)數(shù)證明不等式解析：此題在考研機(jī)構(gòu)中經(jīng)常被講到，也是考研的熱點(diǎn)題。此題就要設(shè)計(jì)一些微積分定義的知識(shí)，其中將要用到微元法。下面簡(jiǎn)答的介紹一些微元法。圖3-1 微元法如圖3-1所示，我們將函數(shù)在區(qū)間分成等份，這里面有分點(diǎn)：那么第個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為： 從圖中我們可以看出形成了一個(gè)曲邊梯

26、形。在我們可以在區(qū)間取一點(diǎn)，且其對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積為那么所有的小曲邊梯形就構(gòu)成了整個(gè)曲邊梯形的面積；當(dāng)無(wú)限的大時(shí)，則每個(gè)子區(qū)間的就會(huì)越來(lái)越少，我們?cè)O(shè)子區(qū)間的最大值為，上式就可以寫(xiě)成：下面我們就要用到以上的結(jié)論了證明：由于函數(shù)，在區(qū)間上是連續(xù)的，則我們可以依據(jù)微積分的微元法思想將區(qū)間分割成等份并將每等份的標(biāo)記為： 又由于則得 在區(qū)間是凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)定理得到：即:當(dāng)時(shí)則取極限值，又根據(jù)以上積分的定義所得到的結(jié)論可以得證明即：例 3.6：我們?cè)O(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上是可積函數(shù)，且有，設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)凸函數(shù)，則證明：由題意可知 在閉區(qū)間上是可積函數(shù)的，則根據(jù)積分的定義我們可以將整個(gè)區(qū)間分成若干

27、等份，則有： 我們記 由以上可以得如下不等式： (3-1)上式同時(shí)取極限值得： (3-2)當(dāng)時(shí)則取極限值，無(wú)限趨近于零。又根據(jù)以上積分的定義所得到的結(jié)論可以得證明即： 對(duì)(3-2)右端進(jìn)行類(lèi)似的化簡(jiǎn)得出下列等式：綜上所述可以得到：通過(guò)上面的這些不等式的證明來(lái)看，利用凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及定理來(lái)證明數(shù)學(xué)中的那些復(fù)雜而繁瑣的不等式，可以使整個(gè)過(guò)程變得既巧妙又簡(jiǎn)練，并可以使不等式的難度降低。在將不等式轉(zhuǎn)化過(guò)程中，有時(shí)候我們會(huì)遇到那些繁，雜，偏的不等式，這時(shí)候找到一個(gè)合適函數(shù)成為了解題的關(guān)鍵。另外一種情況就是一眼看不出有合適的凸函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只能進(jìn)行間接的應(yīng)用。這時(shí)我們就要對(duì)原不等式進(jìn)行變換，然后再找到合

28、適的方法來(lái)證明。第4章 凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的中應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多投資決策都和數(shù)學(xué)有關(guān)13，在大學(xué)階段我們學(xué)過(guò)已經(jīng)涉及，可見(jiàn)數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)系是如此的緊密。在許多的決策中用數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果，給經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析數(shù)據(jù)提供了有力的依據(jù)。4.1 最優(yōu)化問(wèn)題前面我們介紹凸函數(shù)的新的發(fā)展，其中就介紹了擬凸函數(shù)。在最優(yōu)化問(wèn)題中這些都得到了應(yīng)用。在最優(yōu)化問(wèn)題中最重要的是找到所謂的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件，常見(jiàn)的Largrange問(wèn)題約束條件: （）下求解最值。我們可以對(duì)Largrange函數(shù)：設(shè)，并把這些數(shù)稱為L(zhǎng)argrange乘子，則以下 稱為L(zhǎng)argrange函數(shù)，我們常?？梢钥吹讲坏仁降募s束條件在最優(yōu)化的經(jīng)濟(jì)中

29、被用到。4.1.1 線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)化問(wèn)題就是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)以及所給的約束條件求的最值，以獲得想要的值。一般的線性約束最優(yōu)化問(wèn)題是由線性目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件組成。本小節(jié)通過(guò)以下幾個(gè)的例子來(lái)說(shuō)明求解方法。例 4.1：在約束條件為求的最大值解：對(duì)上面的約束條件我們可以畫(huà)出它的圖形，如下圖4-2所示圖4-1 可行解區(qū)域圖從上面的4-1圖可以看出，在極值點(diǎn)的出現(xiàn)只可能在左下角和右上角。對(duì)于該目標(biāo)函數(shù)的極小值來(lái)說(shuō)只能在圖形的最左下面，而且只要一個(gè)點(diǎn)，即角點(diǎn)。那么目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)為，。其次就是目標(biāo)函數(shù)的極大值的點(diǎn)，從圖形我們可以看出，是在右上方的倆個(gè)角，而且從圖形我們可以看出極大值不止一個(gè)，單

30、單是兩個(gè)角點(diǎn)，即分別為，和，就可以成為最大值點(diǎn)，又由于目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行區(qū)域右上角邊界約束條件的斜率相等，所有整個(gè)又上方邊際都是最大值點(diǎn)。例 4.2：在約束條件求的最大值解：對(duì)上面的約束條件我們可以畫(huà)出它的圖形，如下圖4-2所示圖4-2 可行解區(qū)域圖圖4-2表明，我們將目標(biāo)函數(shù)變形得，和斜率為-2的直線相比目標(biāo)函數(shù)的直線經(jīng)過(guò)可行解區(qū)域。從目標(biāo)函數(shù)的斜率知道，要取得極值點(diǎn)只能是在兩個(gè)點(diǎn)上，一個(gè)點(diǎn)就是正上方的角點(diǎn)，另一個(gè)就是最右下方的角點(diǎn)。這兩個(gè)角點(diǎn)的值分別為，和，得出。4.1.2 非線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問(wèn)題以上說(shuō)明的是在線性條件下的最優(yōu)化問(wèn)題，而在非線性條件下的最優(yōu)化中最重要的是凸規(guī)劃。我們一般

31、會(huì)把線性與非線性的區(qū)別搞混淆，現(xiàn)在我們把它們兩個(gè)進(jìn)行區(qū)分以下。所謂的線性規(guī)劃就是它的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的自變量都是線性函數(shù)，否則就是非線性函數(shù)，后者就是所謂的非線性規(guī)劃。在實(shí)際生活中有許多的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃，只要找到其中的目標(biāo)函數(shù)，提取其中的約束條件并依據(jù)此解出它的解即為所要的，還有些實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃來(lái)解答。圖4-3 凸規(guī)劃下面我們可以簡(jiǎn)單的介紹一下有關(guān)凸規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)其中如果()的約束集是凸集，目標(biāo)函數(shù)是上的凸函數(shù)，則()叫做非線性凸規(guī)劃，或簡(jiǎn)稱為凸規(guī)劃14。對(duì)于非線性規(guī)劃（），如果都是上的凸函數(shù)，并且對(duì)于都是線性函數(shù)，是上的凸函數(shù)，則（）是凸規(guī)劃。在最優(yōu)解中凸規(guī)劃的任一局

32、部最優(yōu)解都是它的整體最優(yōu)解14。以下給出判斷是否是凸規(guī)劃的一個(gè)定理15設(shè):為二次函數(shù)，如下列方程其中是階對(duì)稱矩陣，則(1)是上的凸函數(shù)的充要條件是為半定矩陣(2)是上的嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是為定矩陣本小節(jié)通過(guò)適當(dāng)?shù)睦樱瑏?lái)說(shuō)明這類(lèi)問(wèn)題的求解方法。例 4.3：判定是否為凸規(guī)劃并求其最優(yōu)解解：我們可以對(duì)上面的式子進(jìn)行變形為我們可以通過(guò)大學(xué)里所學(xué)的線代知識(shí)可以判斷這個(gè)顯然是正定矩陣以上為正定矩陣，同理我們可以判定,均為半定矩陣。所以我們得出結(jié)論為該式子為凸規(guī)劃。對(duì)于上式我們可以畫(huà)出圖形來(lái)解釋?zhuān)鐖D4-4圖4-4 最小值點(diǎn)通過(guò)以上可以看出，要滿足所有的條件并取得最小值只能在交點(diǎn)出才可以。通過(guò)計(jì)算解得交

33、點(diǎn)的值為帶入計(jì)算得例 4.4：試判定是否為凸規(guī)劃并求其最優(yōu)解解： 為正定矩陣以下是判定 的格式為半正定矩陣。所以我們可以看出這個(gè)式子為凸規(guī)劃。對(duì)于上式我們可以畫(huà)出圖形來(lái)解釋?zhuān)鐖D4-5圖4-5 最小值點(diǎn)通過(guò)條件可以看出只要在在點(diǎn)取的最小值通過(guò)轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)就是求圓的半徑。直線于圓相切。其斜率為1，得出一個(gè)三元方程。設(shè)半徑為R解得帶入上式得下面舉個(gè)實(shí)際的例子例 4.5：假設(shè)某制造長(zhǎng)使用某種規(guī)格的鐵皮了，制作一批容量為10L，密閉的圓柱形鐵桶，試問(wèn)：如何設(shè)計(jì)鐵桶的尺寸，使得制作鐵桶使用的材料最少？解：如圖4-6所示圖4-6 鐵桶從鐵桶的形狀來(lái)看，密閉的圓形鐵桶是由上下兩個(gè)圓盤(pán)形狀的底面和一個(gè)側(cè)面，而鐵桶

34、的尺寸和容量是由底面的半徑，鐵桶的高決定的，所有我們可以設(shè)變量底面的半徑和高分別為R，H，即R=底面的半徑， H=鐵桶的高根據(jù)以前所學(xué)的立體體積可知，這個(gè)鐵桶是由兩個(gè)部分組成的，兩個(gè)圓形組成底面，一個(gè)長(zhǎng)方形組成側(cè)面。底面積等于，而鐵桶的側(cè)面積等于，鐵桶的體積等于。由題目的意思我們可以知道鐵桶的體積就等于它的容量即為10L。根據(jù)實(shí)際情況看，鐵桶的底面半徑和其高均不能為負(fù)數(shù)。這樣我們可以將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)規(guī)劃來(lái)解，如下面的優(yōu)化模型。 (4-1)要解答這個(gè)問(wèn)題我們可以將這個(gè)（4-1）進(jìn)行一次變換。設(shè)參數(shù)，將其帶入（4-1）得 (4-2)再將其變形得 (4-3)可以看出上式(4-3)可以看出目標(biāo)

35、函數(shù)為凸函數(shù)。根據(jù)凸函數(shù)的特性和最優(yōu)解的有關(guān)定理16，求出最優(yōu)解為最優(yōu)值為相應(yīng)的得出鐵桶高的最優(yōu)解4.2 Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量設(shè)效用函數(shù)17且函數(shù)具有一二階導(dǎo)數(shù)則以下函數(shù)稱為Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。現(xiàn)對(duì)定義了三種形式如下表所示表1 風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型序號(hào)x滿足條件風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型風(fēng)險(xiǎn)中性厭惡風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好風(fēng)險(xiǎn)在人們有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，常會(huì)用到效用函數(shù)來(lái)描述，其中將稱為經(jīng)濟(jì)獲利大小。在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，人們所追求的不只是最大，恰恰是與主觀判斷有關(guān)系的最大決策，所以對(duì)于以上3種形式我們從數(shù)學(xué)角度可以得到有意義的結(jié)果。（1）當(dāng)是，由得到此時(shí)有為線性函數(shù)對(duì)于這樣的風(fēng)險(xiǎn)者，一般將其稱作風(fēng)險(xiǎn)中性。（2）當(dāng)是，

36、由得到此時(shí)就有為凹函數(shù)。對(duì)于這樣的風(fēng)險(xiǎn)者，一般將其稱作厭惡風(fēng)險(xiǎn)。（3）當(dāng)是，由得到此時(shí)為凸函數(shù)對(duì)于這樣的風(fēng)險(xiǎn)者，一般將其稱作愛(ài)好風(fēng)險(xiǎn)。結(jié) 論 從本文可以看出凸函數(shù)有很多的優(yōu)良性質(zhì)，這些性質(zhì)被廣泛的運(yùn)用到了各個(gè)領(lǐng)域。諸如控制論，運(yùn)籌學(xué)這些領(lǐng)域，本文僅僅是探討凸函數(shù)在數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我們可以利用凸函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)來(lái)證明各種性質(zhì)不等式，包括初等不等式，函數(shù)不等式以及積分不等式。這三種不等式形式從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，一般方法來(lái)證明復(fù)雜程度也隨之增加。從上述我們可以看出，運(yùn)用凸函數(shù)概念和性質(zhì)來(lái)解題顯得巧妙，簡(jiǎn)練。利用凸函數(shù)的性質(zhì)及定理解題時(shí)關(guān)鍵要找到合適的凸函數(shù)，如果一開(kāi)始不等式的形式并不是明顯的凸函數(shù)，則接下來(lái)我們需要對(duì)你進(jìn)行一些變形，從而達(dá)到我們想要的凸函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們最關(guān)心的是利益問(wèn)題。如何投入才能使獲取的利益到達(dá)最大化，這就涉及到了最優(yōu)問(wèn)題。最優(yōu)化問(wèn)題中我們常把它們分為線性的和非線性的，凸規(guī)劃正是凸函數(shù)在最優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)踐。在實(shí)際問(wèn)題中往往以文字?jǐn)⑹鰜?lái)說(shuō)明，往往這樣