機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)備課筆記1復(fù)習(xí)課程

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)備課筆記第一章 優(yōu)化設(shè)計(jì)總論§1-0 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)概述一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)： 作為一位工程師，在進(jìn)行一項(xiàng)工程或產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，總希望所設(shè)計(jì) 的方案是一切可行方案中最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，使所設(shè)計(jì)的工程或產(chǎn)品具有最好的使用性能、 最低的材料消耗和制造成本、 以獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益。 這并不是一個(gè)新的課題。 自古以來， 慎重的設(shè)計(jì)者在進(jìn)行一項(xiàng)工程設(shè)計(jì)或產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，常常要先擬定出幾個(gè)不同的設(shè)計(jì)方案， 通過分析對(duì)比，從中挑選出“最優(yōu)”設(shè)計(jì)。但是由于設(shè)計(jì)者的時(shí)間和精力的限值，使所擬 定的設(shè)計(jì)方案的數(shù)目受到很大的限制。因此，采用這種常規(guī)的設(shè)計(jì)手段進(jìn)行工程設(shè)計(jì)，特 別是當(dāng)影響設(shè)計(jì)的因素很多時(shí)，就很難得到

2、“最佳的設(shè)計(jì)方案” ?！皟?yōu)化設(shè)計(jì)”是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上，發(fā)展起來的一門新型的設(shè)計(jì)方法。 它是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，綜合諸多影響的因素，以人機(jī)配合的方式或“自動(dòng)探索的” 方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行自動(dòng)化或半自動(dòng)化的設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件許可下最好的設(shè) 計(jì)方案。這種設(shè)計(jì)是最優(yōu)設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)手段是計(jì)算機(jī)和源程序，設(shè)計(jì)方法是采用最優(yōu)化數(shù)學(xué) 方法?，F(xiàn)代化的設(shè)計(jì)工作已不再是過去憑經(jīng)驗(yàn)和直觀判斷來確定產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)方案， 也不象過 去用“安全壽命可行設(shè)計(jì)” 方法那樣： 在滿足所提出的要求前提下， 先確定產(chǎn)品結(jié)構(gòu)方案， 再根據(jù)安全壽命準(zhǔn)則，對(duì)該方案進(jìn)行強(qiáng)度、剛度等分析、計(jì)算，然后進(jìn)行修改，以確定產(chǎn) 品主要參數(shù)

3、和結(jié)構(gòu)尺寸。而是借助電子計(jì)算機(jī)，應(yīng)用一些精確度較高的力學(xué)數(shù)值分析方法 （如有限元等） ，進(jìn)行分析計(jì)算， 并從大量的可行設(shè)計(jì)方案中， 尋找出一種最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案， 從而實(shí)現(xiàn)用理論設(shè)計(jì)代替經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，用精確計(jì)算代替近似計(jì)算、用優(yōu)化設(shè)計(jì)代替一般安全 壽命可行設(shè)計(jì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，既可以使方案在規(guī)定的設(shè)計(jì)條件下達(dá)到某些最優(yōu) 化的結(jié)果，又不必耗費(fèi)過多的計(jì)算工作量。因此，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)、生產(chǎn)工藝的優(yōu)化已成為市場(chǎng) 競(jìng)爭(zhēng)的必不可少的一種手段。例如，據(jù)有關(guān)資料介紹，美國(guó)的一家化學(xué)公司，利用了一個(gè) 化工優(yōu)化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)手段， 對(duì)一個(gè)化工廠進(jìn)行設(shè)計(jì)。 根據(jù)所給定的數(shù)據(jù)， 在 16小時(shí)內(nèi)， 進(jìn) 行了一萬(wàn)六千個(gè)可行

4、設(shè)計(jì)的選擇，從中選出一個(gè)成本最低、產(chǎn)量最大的設(shè)計(jì)方案，并給出 了必要的精確數(shù)據(jù)。 而在這之前， 這家化學(xué)公司曾經(jīng)用了一組工程師對(duì)該化工廠進(jìn)行設(shè)計(jì)， 工作了一年僅做出了三個(gè)設(shè)計(jì)方案，而這三個(gè)方案沒有一個(gè)可以和上述優(yōu)化方案相比。又 如，美國(guó)貝爾飛機(jī)制造公司，采用優(yōu)化方法解決了 450 設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。在 對(duì)飛機(jī)機(jī)翼進(jìn)行重新設(shè)計(jì)后， 減輕重量達(dá)到 30%。波音公司也有類似的情況， 在對(duì)波音 747 機(jī)身的重新設(shè)計(jì)后，受到減輕重量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。在我國(guó)武漢鋼鐵公 司所引進(jìn)的 1700 型薄板軋鋼機(jī)是從德國(guó) DMAG 公司提供的。該鋼鐵公司的技術(shù)人員對(duì)引 進(jìn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化改造后

5、，每年就多盈利了幾百萬(wàn)馬克。優(yōu)化方法不僅用于產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、工藝方案的選擇，也適用于運(yùn)輸線路的確定、商 品流通的調(diào)配，產(chǎn)品配方的配比等。目前優(yōu)化設(shè)計(jì)以在機(jī)械、冶金、石油化工、電機(jī)、建 筑、宇航、造船、輕工紡織等部門都得到了廣泛應(yīng)用 。二、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展概況： 在第二次設(shè)計(jì)大戰(zhàn)期間，由于軍事上的需要，產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，它解決了許多用古典微積分和變分方法所不能解決的優(yōu)化問題。50年代發(fā)展起來的數(shù)學(xué)規(guī)劃理論形成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，為優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。60年代電子計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展為優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了強(qiáng)有力的計(jì)算手段，使工程技術(shù)人員能從大量繁瑣 的計(jì)算中解放出來，把主要精力轉(zhuǎn)到優(yōu)化方法選擇上來。

6、雖然近30多年來，優(yōu)化方法已在 許多工業(yè)部門得到廣泛應(yīng)用，但優(yōu)化技術(shù)成功地應(yīng)用于機(jī)械設(shè)計(jì)還是從60年代后期開始的。盡管發(fā)展的歷史較短，但進(jìn)展速度十分迅速，幾十年來在機(jī)構(gòu)綜合，機(jī)械零部件的設(shè) 計(jì)、專用機(jī)械設(shè)計(jì)和工藝等方面都獲得了廣泛的應(yīng)用，并取得了卓有成效的成果。三、本課程的主要內(nèi)容： 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)工作，包括以下三個(gè)方面的內(nèi)容：1、建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，即將一個(gè)工程實(shí)際問題抽象成為優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型；2、根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，選擇合適的優(yōu)化方法，并編寫出源程序；3、在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)求解，以求出最佳的設(shè)計(jì)方案。由于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是利用數(shù)學(xué)方法尋求機(jī)械設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案，所以，首先要根據(jù)實(shí)際 的機(jī)械設(shè)

7、計(jì)問題，建立起優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型， 即用數(shù)學(xué)形式來描述工程實(shí)際的設(shè)計(jì)問題。 在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要應(yīng)用專業(yè)知識(shí)來確定設(shè)計(jì)變量、設(shè)計(jì)所追求的目標(biāo)和設(shè)計(jì)的限制 條件，以確定各設(shè)計(jì)變量之間的相互關(guān)系。一旦數(shù)學(xué)模型建立以后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問題將變成 一個(gè)數(shù)學(xué)求解問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃的理論，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，可以選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方 法，徑而可選取和自編計(jì)算機(jī)源程序，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行求解，以獲得最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)。§11機(jī)械設(shè)計(jì)中的優(yōu)化問題首先，介紹下面一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例題：試設(shè)計(jì)一個(gè)容積為 355厘米'的易拉罐盒。根據(jù)手掌的大小要求易拉罐的直徑 D:4厘米WDW7厘米。按用料最省(易拉罐盒的表面積最

8、小)作為衡量設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度的指標(biāo)，即設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)，確定其高度h和直徑d。(cm3)解：易拉罐盒的表面積：s 2n ：2 n dh我們可以按易拉罐盒的表面積來表示其用料量，以表面積為最小作為衡量設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程 度的指標(biāo)，即設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)，表面積越小，所代表的設(shè)計(jì)方案也就越好。要確定易拉罐 的高度h和直徑d,使易拉罐表面積為最小，同時(shí)又必須滿足下述條件：易拉罐的容積：V =nd 2h/ 4= 355;易拉罐的直徑：4WDW7,易拉罐的高度h>0的條件。由此，我們可以用下述數(shù)學(xué)形式來描述上述設(shè)計(jì)問題：取設(shè)計(jì)變量：hx1x=dx2目標(biāo)函數(shù)：要求滿足的條件：g 1(X)=X 1 >0g

9、2 (x)=x 2 4>0g3 (x)=7 x 2 >02g 4 (x)=nx 2 xi/4 355下面我們?cè)僖噪p級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的一些 問題。雙級(jí)圓柱齒輪減速器是應(yīng)用極為廣泛的通用部件之一。通常它的設(shè)計(jì)方法是：根據(jù)給定傳遞的功率P、輸出軸的轉(zhuǎn)速 n總傳動(dòng)比u及壽命要求等原始數(shù)據(jù)，參照所推薦規(guī)范 或用經(jīng)驗(yàn)類比預(yù)先選擇若干參數(shù)，然后按照強(qiáng)度、剛度、壽命以及其他方面的要求進(jìn)行必 要的計(jì)算，再確定或驗(yàn)算某些參數(shù)和尺寸，如果經(jīng)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)某些參數(shù)選擇不合理，再作 適當(dāng)?shù)男薷?，直到比較合理為止。按照這樣的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，每一個(gè)設(shè)計(jì)者會(huì)設(shè)計(jì)出不同的減速器方案。

10、這是因?yàn)樵谠O(shè) 計(jì)過程中，許多參數(shù)的選擇往往是由設(shè)計(jì)者按一定的經(jīng)驗(yàn)或用類比法來確定，帶有一定程 度的隨意性。例如傳動(dòng)比的分配、齒數(shù)、螺旋角、齒寬等參數(shù)大多數(shù)是按設(shè)計(jì)資料的推薦 值由設(shè)計(jì)者在一定范圍內(nèi)自定。所以這樣設(shè)計(jì)出來的各種減速器雖然一般都可以使用，但 他們的優(yōu)劣程度不同。如果要想獲得一個(gè)較好的方案，就需要多取幾種不同組合的參數(shù)進(jìn) 行計(jì)算，再做比較來選擇其中最優(yōu)者。這樣的設(shè)計(jì)方法不僅使設(shè)計(jì)人員要消耗大量的精力 和時(shí)間用于重復(fù)性的繁瑣計(jì)算，而且由于人力和時(shí)間的限制仍然不可能取得最優(yōu)的設(shè)計(jì)方圖&9雙級(jí)圓柱齒輪減速機(jī)案。下面我們把雙級(jí)圓柱齒輪減速器的設(shè) 計(jì)問題描述成一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題。在進(jìn)行

11、優(yōu)化設(shè)計(jì)之前，首先應(yīng)該提出一 個(gè)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于 減速器來說，我們總是希望在傳遞一定功率、 轉(zhuǎn)述和滿足壽命的要求下，使兩級(jí)圓柱齒輪 的體積和達(dá)到最小，以便使減速器的整個(gè)體 積和重量為最小，如圖 2 1所示。兩級(jí)圓柱齒輪減速器中齒輪體積總和：V（崩+朋）+餌（話+郵4_ «_rTIi+昭呢憶賈i+舁1'4L g 屛伏c(diǎn)os2/3|式（1 1）設(shè)計(jì)的目標(biāo)是希望兩級(jí)圓柱齒輪體積和達(dá)到最小值。由式（1 1）可知，影響齒輪體積和V的獨(dú)立參數(shù)有：m ni、Zi、bi、Bi、Ui、m nn、Z 3、b n>3 n，其中u 口不能作 為獨(dú)立的參數(shù)。這是因?yàn)椋簝杉?jí)齒輪

12、傳動(dòng)的傳動(dòng)比之間存在著如下相互依賴的關(guān)系：U、=U IU n當(dāng)總傳動(dòng)比U總為給定值時(shí)，若取U I為獨(dú)立參數(shù)時(shí)，則U n就不是一個(gè)獨(dú)立的參數(shù)。 在雙級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，我們需要恰當(dāng)?shù)剡x擇上述九個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，使雙級(jí) 圓柱齒輪體積和達(dá)到最小。這些獨(dú)立的設(shè)計(jì)參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量。在選擇上述各參數(shù)是，還必須考慮以下幾個(gè)方面的條件限制。（1）例如高速級(jí)齒輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的限制。低速級(jí)齒輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的限制。j IZKa wi +1 f 2wZemmmm2K1T3y,lco5t 一 一 一®一如空j式中：T i、T2分別表示作用在兩對(duì)嚙合副小齒輪上的

13、轉(zhuǎn)矩；0di、O dn分別表示第一對(duì)齒輪和第二對(duì)齒輪的齒寬系數(shù)；(T h齒輪齒面的接觸許用應(yīng)力；對(duì)于斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)， 其齒面接觸許用應(yīng)力為：T h =( t hi+ T H2 )/ 2； T f為齒輪的齒根彎曲疲勞許用應(yīng) 力，嚙合副中按兩輪(Y FaY Sa/ T F)之較大者計(jì)算。其他參數(shù)的意義已在機(jī)械設(shè)計(jì)課程中已介紹過。(2) 避免結(jié)構(gòu)干涉的限制:an 0.5 d a2S(3) 傳動(dòng)比分配的合理要求：在設(shè)計(jì)兩級(jí)圓柱齒輪減速器時(shí)，為了使兩對(duì)齒輪得到 充分潤(rùn)滑，還必須將兩大齒輪侵入到箱體的油池中，并且盡可能使兩大齒輪的直徑大致相 等，以獲得合理的浸油高度。在分配兩級(jí)傳動(dòng)比時(shí)，需要滿足下述限制

14、條件：UI=( 1.31.4)U n , U 總=口 IU n 即 u n= u 總/u i或?qū)懗桑篿i=(1.31.4) 1 總、即卩："1 總、111 *41 總、(1 7)此外，考慮到機(jī)構(gòu)之間的合理性及一般工藝條件等方面的因素，對(duì)某些參數(shù)給出一定的選 擇范圍：2<m nW 10(1-8) ；17120(1 9)；u iW 6(1 10)；8°15°(1 11)上述各種條件限制，是對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)選擇所提出的約束條件。通過上述分析，我們可以把雙級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題敘述為：求解一組設(shè) 計(jì)參數(shù)(我們把這組設(shè)計(jì)參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量)：x= m nl>Z1

15、>bI>3I'UI>m nn、Z 3、bn、B 叮 T在滿足式(1 2)式(1 11)諸不等式的限制(約束)條件下，使式(1 1)所表達(dá)的兩對(duì)齒輪體積和達(dá)到最小。應(yīng)用優(yōu)化方法來解決上述優(yōu)化問題時(shí)，就能夠有目的的選取一組最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，以 達(dá)到預(yù)期追求的設(shè)計(jì)最佳效果。通過上述兩個(gè)例子我們可以看出：將一般機(jī)械設(shè)計(jì)問題描述成為一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題 時(shí)，總包含以下三個(gè)部分的內(nèi)容：一是需要求解的一組獨(dú)立參數(shù)；我們把這些參數(shù)作為變 量來處理，稱為 設(shè)計(jì)變量；二是有一個(gè)明確的追求目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)又可以用設(shè)計(jì)變量來表 達(dá)成為某函數(shù)關(guān)系，稱為 目標(biāo)函數(shù)；三是若干個(gè)必須滿足的限制條件，設(shè)計(jì)變量

16、的選擇必 須滿足這些限制條件。這些對(duì)設(shè)計(jì)變量選取的限制條件稱為設(shè)計(jì)約束。按照具體機(jī)械設(shè)計(jì)問題擬定的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)約束的總體，就組成了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。§12數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)基本問題把一個(gè)工程實(shí)際問題描述成一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)，其數(shù)學(xué)模型包括三個(gè)內(nèi)容：設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)約束。、設(shè)計(jì)變量每一項(xiàng)工程設(shè)計(jì)或產(chǎn)品設(shè)計(jì)總包含著許許多多不同的設(shè)計(jì)參數(shù)。 在確定設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)可 用一組參數(shù)的數(shù)值來表示。這些參數(shù)中，有一部分參數(shù)可以根據(jù)實(shí)際的具體情況和比較成 熟的經(jīng)驗(yàn)預(yù)先確定， 他們?cè)谠O(shè)計(jì)過程中始終保持不變， 這部分的參數(shù)稱為 設(shè)計(jì)常量 ，例如， 一般把與材料有關(guān)的彈性模量、許用應(yīng)力等參數(shù)作

17、為實(shí)際常量來處理。另一些參數(shù)與其他 參數(shù)之間存在著一定的相互依賴關(guān)系，他們雖然是變量，但并非是獨(dú)立的變量，例如雙級(jí) 圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，當(dāng)總傳動(dòng)比U總給定時(shí)，高速級(jí)和低速級(jí)傳動(dòng)比之間就存在著這樣相互依賴關(guān)系：U總=口 IU 。如果高速級(jí)傳動(dòng)比u I作為獨(dú)立變量，那么低速級(jí)傳 動(dòng)比U n就是非獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，我們把那些需要優(yōu)選的，并作為變量來 處理的一組獨(dú)立的參數(shù)稱為 設(shè)計(jì)變量 。設(shè)計(jì)變量可以用這些設(shè)計(jì)參數(shù)組成的列矩陣來表示，記作為：X =。例如在雙級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量可以表達(dá)為；X=x 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9】T

18、=m ni>Zi>bI>3I'UI>m nn、Z 3、b n、Bn T因此，在以變量X 1 X 2xn為坐標(biāo)軸的多維空間內(nèi)，設(shè)計(jì)變量 X將對(duì)應(yīng)著一個(gè)以坐標(biāo)原 點(diǎn)為始點(diǎn)的矢量，該矢量稱為 設(shè)計(jì)矢量 ；而設(shè)計(jì)矢量端點(diǎn)的坐標(biāo)就是設(shè)計(jì)變量中各分量的 數(shù)值。設(shè)計(jì)變量的一組數(shù)值表示著一個(gè)設(shè)計(jì)方案，它與設(shè)計(jì)矢量的端點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這個(gè)端點(diǎn) 稱為 設(shè)計(jì)點(diǎn) 。因此，設(shè)計(jì)矢量和設(shè)計(jì)點(diǎn)是一對(duì)應(yīng)的，都表示著一個(gè)設(shè)計(jì)方案，是設(shè)計(jì)變量 中的一組設(shè)計(jì)參數(shù)的數(shù)值。設(shè)計(jì)變量?jī)?nèi)含有變量的數(shù)目稱為該優(yōu)化問題的 維數(shù)。在上述雙級(jí)圓柱齒輪減速器優(yōu)化 設(shè)計(jì)中有九個(gè)變量，因而它是一個(gè)九維的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。設(shè)計(jì)點(diǎn)的集

19、合稱為設(shè)計(jì)空間。由于工程設(shè)計(jì)中的變量都屬于實(shí)數(shù)，所以設(shè)計(jì)空間是以 設(shè)計(jì)變量中各分量為坐標(biāo)軸所組成的實(shí)歐氏空間。如果用符號(hào)Rn來表示n維實(shí)歐氏空間，可以用集合的概念寫出： 設(shè)計(jì)矢量（或設(shè)計(jì)點(diǎn)）xR n （符號(hào)表示“屬于”，即設(shè)計(jì)變 量x屬于n維實(shí)歐氏空間內(nèi)的設(shè)計(jì)矢量或設(shè)計(jì)點(diǎn)）對(duì)于二維優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)域是一個(gè)設(shè)計(jì)平面域，每個(gè)設(shè)計(jì)方案都可以用平面上的 每一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)值來對(duì)應(yīng)表式。對(duì)于三維優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，則設(shè)計(jì)域是一個(gè)三維歐氏空 間，空間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)可用三個(gè)坐標(biāo)分量X 1、X 2、 X 3值來表示，這些坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè) 設(shè)計(jì)方案。當(dāng)優(yōu)化問題的維數(shù)n大于三維時(shí)，n維歐氏設(shè)計(jì)空間只能被想象成一個(gè)抽象的

20、 超越歐氏空間，在這個(gè)超越歐氏空間內(nèi)每個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)與n個(gè)變量的值相對(duì)應(yīng)，都表示一種設(shè)設(shè)計(jì)變量有連續(xù)量和離散量之分。如果變量取任何連續(xù)數(shù)值時(shí)均有意義，這種變量稱 為連續(xù)變量 。如果變量只能取間斷跳躍的數(shù)值才有意義，它就是 離散變量 。例如在機(jī)械設(shè) 計(jì)中，齒輪齒數(shù)必須取整數(shù)，齒輪的摸數(shù)、螺紋的公稱直徑、軸承的孔徑等必須符合國(guó)家 標(biāo)準(zhǔn)，顯然這些變量都屬于離散變量。二、目標(biāo)函數(shù)1、當(dāng)我們對(duì)一個(gè)實(shí)際工程問題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，為了評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度，需 要制訂出一個(gè)衡量的標(biāo)準(zhǔn)。如果這個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)可以用設(shè)計(jì)變量來表達(dá)成為數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系， 那么對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行求優(yōu)，便可得到設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解，即一個(gè)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。在

21、優(yōu) 化設(shè)計(jì)中， 用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度、 并能夠用設(shè)計(jì)變量所表達(dá)成函數(shù)， 稱為目標(biāo)函數(shù)， 其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：F (x ) = F (x ix 2.xn )2、在一般情況下，我們總是追求目標(biāo)函數(shù)的極小值，即目標(biāo)函數(shù)值越小，設(shè)計(jì)方案 就越好。但是某些實(shí)際問題中也可能追求目標(biāo)函數(shù)的極大值。例如追求效率最高，承載能 力最大等。由于求目標(biāo)函數(shù)極大化的問題等價(jià)于求目標(biāo)函數(shù)負(fù)的極小化的問題，即：maxF (x )= min F (x ) 因此，為了簡(jiǎn)化算法和程序起見， 我們一律把優(yōu)化過程看成是追求目標(biāo)函數(shù)極小化的過程， 其一般形式為：min F (x )=F (x i x 2 x n)3、目標(biāo)函數(shù)有單目標(biāo)

22、函數(shù)和多目標(biāo)函數(shù)之分。僅根據(jù)一項(xiàng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則建立的目標(biāo)函數(shù) 稱為單目標(biāo)函數(shù)；若某項(xiàng)設(shè)計(jì)需要同時(shí)兼顧若干個(gè)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，這就將構(gòu)成多目標(biāo)函數(shù)。例 如，在設(shè)計(jì)一臺(tái)機(jī)器時(shí)，有可能同時(shí)需要追求：整個(gè)機(jī)器的重量為最輕；制造成本最低； 維修費(fèi)用最少；能耗最小等。一般來說：目標(biāo)函數(shù)越多，計(jì)算結(jié)果也就越趨于完善，但其 難度也就越大。關(guān)于多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，將在本教材的第六章中給予討論。三、設(shè)計(jì)約束在工程設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量的選擇，一般總要受到某些條件的限制。這些限制設(shè)計(jì)變量 取值的條件稱為 設(shè)計(jì)約束 。1、設(shè)計(jì)約束按其形式來分， 可分為不等式約束和等式約束兩大類， 其一般表達(dá)式為：不等式約：g u (x)>

23、0,u = 1、2、.、p;等式約：h v (x)= 0,v = 1、2、.、q式中，g u (x)和h v (x)都是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，稱為 約束函數(shù)。在機(jī)械設(shè)計(jì)中， 絕大多數(shù)的設(shè)計(jì)約束為不等式約束， 但是有時(shí)也會(huì)遇到等式約束問題。 例如，在我們介紹的第一個(gè)例子易拉罐盒優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由容積為355 厘米3的設(shè)計(jì)要求可得到等式約束條件：易拉罐的容積：V =nd 2h/ 4= 355;2即：g4(x)=nx 2 xi/4 355= 0此約束條件限制了易拉罐盒的高度h和直徑d取值。2、按照設(shè)計(jì)約束的性質(zhì)分，又有 性能約束和邊界約束兩類。所謂 性能約束是指由設(shè) 計(jì)產(chǎn)品時(shí)提出的性能要求而制定的約束，例如在

24、雙級(jí)圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中由強(qiáng)度條 件、不干涉條件等構(gòu)成的約束就屬于性能約束;再如在設(shè)計(jì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)時(shí)，要求各桿的 長(zhǎng)度滿足曲柄存在的條件。為了保證所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)具有良好的傳力效果，要求機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)角丫y 等。邊界約束是指對(duì)某些設(shè)計(jì)變量的取值范圍的限制。例如，在設(shè)計(jì)連桿機(jī)構(gòu) 時(shí)，各桿件的長(zhǎng)度必須大于零，最長(zhǎng)桿件也不能超過某個(gè)值。再如在設(shè)計(jì)一般傳動(dòng)用的齒 輪時(shí)，其模數(shù)和齒數(shù)等都給出了他們的上下界限。3、帶有約束條件的優(yōu)化問題成為約束優(yōu)化問題;反之，則為無(wú)約束優(yōu)化問題。在機(jī) 械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)際問題中，絕大多數(shù)的優(yōu)化問題都屬于約束優(yōu)化問題。對(duì)于約束優(yōu)化問題，如果討論的是一般n維優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)點(diǎn)x在n維歐氏

25、空間R n內(nèi)的集合，即設(shè)計(jì)空間可以分為兩部分；一部分是滿足全部設(shè)計(jì)約束的點(diǎn)的集合D,即：D=x | g u (x)> 0,u= 1、2、.、p;h v (x)= 0,v = 1、2、.、q 稱為 可行設(shè)計(jì)域 ，簡(jiǎn)稱為 可行域 ;其余部分則為非可行域。在可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)稱為 可行 設(shè)計(jì)點(diǎn) ;簡(jiǎn)稱為 可行點(diǎn) ;否則為 非可行點(diǎn) 。當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)處于不等式約束邊界上時(shí)，稱為 邊界 設(shè)計(jì)點(diǎn) ;邊界設(shè)計(jì)點(diǎn)屬于可行設(shè)計(jì)點(diǎn)，它是約束所允許的極限設(shè)計(jì)點(diǎn)。四、數(shù)學(xué)模型表達(dá)式無(wú)約束優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)形式為：min F (x) x R n約束數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)形式為：min F (x)x D R

26、n D: g u (x)> 0,u = 1、2、.、p;h v(x)= 0,v = 1、2、.、q式中，D表示由p個(gè)不等式約束和 q個(gè)等式約束所確定的可行域，它是n維歐氏空間R 內(nèi)的一個(gè)子集。符號(hào)的含義為“屬于”；符號(hào) 的含義為“包含于”，為子集。在上述數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)是中，若目標(biāo)函數(shù)F(x)和約束函數(shù)g u(x)、h v (x )均為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，則這種優(yōu)化問題屬線性規(guī)劃問題；否則屬于非線性規(guī)劃問題。在機(jī) 械設(shè)計(jì)中，絕大多數(shù)的優(yōu)化問題均屬于非線性規(guī)劃問題。選取適當(dāng)優(yōu)化方法，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，可以得出設(shè)計(jì)變量的一組最優(yōu)解， 記作：x * = X1* , X2* , X3*

27、xn * T(極小點(diǎn))使該設(shè)計(jì)點(diǎn)的標(biāo)函數(shù)F (x*)為最小，點(diǎn)x*稱為最優(yōu)點(diǎn)(極小點(diǎn))，它代表了一個(gè)最優(yōu)方案。 相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)F (X*)稱為最優(yōu)值(極小值)。個(gè)優(yōu)化問題的最優(yōu)解包著最優(yōu)點(diǎn) 和最優(yōu)值(極小值)。我們把最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值的總和通稱為 最優(yōu)解。例如192頁(yè)或第對(duì)于一個(gè)具體的優(yōu)化問題，可以參照上面的一般表達(dá)式寫出其具體的數(shù)學(xué)模型。在雙級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)中、其數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式如下(見新教材二版教材8頁(yè)):1、設(shè)計(jì)變量：在兩級(jí)圓柱齒輪減速器的總傳動(dòng)u總為給定常數(shù)時(shí)，若取第一對(duì)齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比U i為獨(dú)立變量的話，則第二對(duì)齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比U口不能作為獨(dú)立變量。在di、優(yōu)化設(shè)計(jì)中，有時(shí)

28、為了使優(yōu)化問題得到簡(jiǎn)化，將減少設(shè)計(jì)變量的維數(shù)n。若取第一對(duì)齒輪 傳動(dòng)和第二對(duì)齒輪傳動(dòng)的齒寬系數(shù)0d1、0 d2為給定常數(shù)時(shí)，則由于齒寬b 1、b 2與齒寬系數(shù)0 d1、0 d2有如下關(guān)系：故齒寬b 1、b 2在齒寬系數(shù)0 di、 柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，我們可以取m 數(shù)，由這些參數(shù)可構(gòu)成如下設(shè)計(jì)變量：x =m ni、“尸憶&嚴(yán)眞%0 d2為給定常數(shù)時(shí)也不能作為獨(dú)立變量。因此，在兩級(jí)圓Z 1、3 i、U i、m nn、Z 3、3 口為獨(dú)立的參i、U i、m nn、Z 3、Z 1、3 I'U 1>m nn、Z 3、B 叮 T X 4 X 5 X 6 X 7】Ti、u i、2、

29、目標(biāo)函數(shù)："imJi 7 , (1+卑：)*6,.rnKt (H"U ) 11尸4cosj91J=x 1 x 2 x 3將設(shè)計(jì)變量代入上式，并整理得:F® =專虬二土辿1±垃斗竺二L 辿創(chuàng)4 ItIt；cos*jracosJTf3、約束條件：第一部份，高速級(jí)和低速級(jí)齒輪分別滿足齒面接觸疲勞強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，將 設(shè)計(jì)變量代入，并整理得：2K l 7 (心 + 1H* 2理"i 一唱際耳寄嚴(yán) 徑住竺空警嚴(yán)>0必* 工紀(jì)和第二部分，按結(jié)構(gòu)及傳動(dòng)比要求，將：“_叫0+£_ %刊0+亍” n 2cosj?jt. x, jr,.丄主*

30、 + 2札抽2cosy?i此產(chǎn)命+如九cos.rj代入式：a n 0.5 d a2>s 得：工皿d+三j #3（H）=2ftjri-2S>0由式：J1.31總iz J1.41 總得： 齊 眄斗些 COST,COST,g 6( X )=x 41.3 u>0g 7( X )=1.4 u x4>0第三部分，幾個(gè)參數(shù)取值范圍的限制:g8 (x)= Xi 2>0g 11(x)= 10 X5>0g 14(x)= X617>0g 17(x)= 15 n /180x3>0g 20(x)= X7 8n /180>0上述優(yōu)化問題是一個(gè)具有g(shù)9 (x)= 10

31、X1>0g 12(x)= X217>0g 15(x)= 120X6>0g 18(x)= x3 8 n /180 >0g 10(x)= X52>0g 13(x)= 120X2>0g 16(x)= 6X4>0g 19(x)= 15 n /180 x7>07個(gè)設(shè)計(jì)變量和20個(gè)不等式約束的7維非線性規(guī)劃問題。§1 3優(yōu)化問題的幾何描述優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型包含著設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件等內(nèi)容。通過對(duì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模 型的求解從而可求得最優(yōu)解， 即最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。為了形象地說明優(yōu)化問題的一些基本概念, 下面再對(duì)優(yōu)化問題作必要的幾何描述。在研究n維優(yōu)化問題中

32、，可以建立n+1維坐標(biāo)系，其中n個(gè)坐標(biāo)代表著n維設(shè)計(jì)變量，另一個(gè)坐標(biāo)代表其目標(biāo)函數(shù)值。這樣，目標(biāo)函數(shù)在此坐標(biāo)系中形成一個(gè)超曲面。為了更直觀說明問題，下面以二維優(yōu)化問題為例，來說明優(yōu)化問題中的幾何概念。設(shè)有二維優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為:（X1 2）2 + X22=暮+工一1二0可以用圖1.9的幾何圖形來說明優(yōu)化問題的幾個(gè)基本概念。=jr)>0(1佝1-9優(yōu)優(yōu)問劇幾何播述一、目標(biāo)函數(shù)的等值線圖1.9(a)是在X1X2F坐標(biāo)系中，表示出目標(biāo)函數(shù)F(x )空間曲面的立體圖形、約束函數(shù)g i(x)、g 2(x)、g 3(x)的三個(gè)柱面，以及這些曲面之間的相互關(guān)系。圖1.9(b)所示為設(shè)計(jì)變量X1、X2

33、組成的二維平面，由g 1(x)、g 2(x)、g 3(x)所包圍的區(qū)域?yàn)榭尚杏駾，以外的區(qū)域是非可行域。如果令目標(biāo)函數(shù)F(x )等于一系列常數(shù)C 1、c 2、C 3、.時(shí)，也就是說作一系列平行于X 1 ox 2平面，且其高度為：C 1、c 2、C 3、.的平面，即F( x ) =C 1。這 些平面將分別與目標(biāo)函數(shù)的曲面相交，得到一系列等值的目標(biāo)函數(shù)曲線，將這些曲線投影 到坐標(biāo)平面上，這些在坐標(biāo)平面X 1 ox 2上的一族曲線稱為 目標(biāo)函數(shù)的等值線。由此可見， 在每一條等值線上，各點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值均相等。在上面的例中，由于F( X )= (X1 2)2+X22，若令F(x )=c 1, 1 = 1

34、 , 2, 3,.，則在坐標(biāo)X 10X 2平面上可到一族等值線方程為：(X1 2)2+ x22=c i,i = 1, 2, 3,.,該曲線族是在坐標(biāo)平面X10X 2上以X 1*(2,0)為圓心，以“C 1為半徑的一族同心圓，如圖1.9(b)所示。目標(biāo)函數(shù)等值線的形狀將清晰地表達(dá)了目標(biāo)函數(shù)數(shù)值變化的情況。對(duì)于二維目標(biāo)函數(shù)，極值理論證明在極值點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)的等值線是一族近似的同心橢圓。橢圓族 的中心便是極值點(diǎn)，即在目標(biāo)函數(shù)極值點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)呈較強(qiáng)的二次形態(tài)。二、約束曲線形成可行域若令各不等式約束函數(shù)g1(x)、g 2(x)、g 3(x)為零，則相應(yīng)的約束方程可在坐標(biāo)平面 x 10X 2上畫出某些曲

35、線，該曲線稱為 約束曲線。在約束曲線的一側(cè)g i(x) > 0，而另一側(cè) g i(x) V0。由這些約束曲線圍成的公共區(qū)域 D就是可行域。如圖1.9(b)中的陰影所包圍的部 分。該封閉域可行域D是由約束曲線g i(x)、g 2(x)、g 3(x)圍成的。凡是滿足這個(gè)三個(gè)設(shè)計(jì) 約束的設(shè)計(jì)點(diǎn)X必滿足第四個(gè)設(shè)計(jì)約束g 4(x)，第四個(gè)約束g 4(x)是一個(gè)消極的約束。當(dāng)問 題比較復(fù)雜時(shí)，往往并不能預(yù)先觀察出那些約束是消極約束，因此在數(shù)學(xué)模型中仍然需要 列出所有的設(shè)計(jì)約束。如果在設(shè)計(jì)約束中還包含有等式約束hv (x)= 0,則又給設(shè)計(jì)變量 X帶來了特殊的限制。在二維優(yōu)化問題中，等式約束表現(xiàn)為坐標(biāo)

36、平面上的一段曲線，它是滿足所有不等式 約束和等式約束的點(diǎn)的集合。也就是說在二維優(yōu)化問題中,帶有等式約束的可行域是一段 曲線。顯然這使得可行域大大減小,或可以認(rèn)為是對(duì)可行域的一種降維。三、最優(yōu)解不考慮設(shè)計(jì)約束時(shí)的目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn) X *是無(wú)約束極小點(diǎn), 即無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn) 。本例中, X 1*= 2,0 T。在給定約束優(yōu)化問題中， 應(yīng)該是在可行域D內(nèi)尋找目標(biāo)函數(shù)的最小點(diǎn)和最 小值，有約束的目標(biāo)函數(shù)最小點(diǎn)稱為約束最優(yōu)點(diǎn)。在本例中，X 2* = :0.58, 1.34 T。顯然,該約束最優(yōu)點(diǎn)為具有較小的目標(biāo)函數(shù)值的等值線F(x )= 3.8與約束曲線g 2(x) = 0的切點(diǎn)。我們可以將上述二維優(yōu)化問題的

37、幾何描述擴(kuò)展到n維優(yōu)化問題中。若令n維目標(biāo)函數(shù)F(x )為一系列常值c I ,則可在n維歐氏空間內(nèi)形成一系列相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)超等值面(當(dāng)n= 3時(shí)為一般的等值面)，而在無(wú)約束極小點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)目標(biāo)函數(shù)超等值曲面是一族近似 的超橢球面。即在無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)呈較強(qiáng)的二次型態(tài)；若取各不等式約 束函數(shù)值為零，則在n維歐氏空間又形成的若干個(gè)超約束曲面。這些超約束曲面所圍成的 一個(gè)滿足全部設(shè)計(jì)約束的n維空間就是約束優(yōu)化問題的可行域D;對(duì)無(wú)約束優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)超等值面的中心就是無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)；對(duì)于約束優(yōu)化問題除可能是目標(biāo)函數(shù)等值面 的中心外,更有可能的是目標(biāo)函數(shù)超等值面與某個(gè)超約束曲面的切點(diǎn),或者是

38、目標(biāo)函數(shù)超 等值面與某些超約束曲面相交的交點(diǎn)。§14優(yōu)化計(jì)算的數(shù)值解法及收斂條件一、 數(shù)值迭代計(jì)算法最優(yōu)化設(shè)計(jì)總地包含兩個(gè)方面,首先是由實(shí)際的生產(chǎn)和科技問題構(gòu)造出優(yōu)化的數(shù)學(xué)模 型；然后再對(duì)數(shù)學(xué)模型采取恰當(dāng)優(yōu)化方法進(jìn)行求解。無(wú)論是無(wú)約束優(yōu)化問題還是約束優(yōu)化 問題,化方求解問題其本質(zhì)上都是求極值的數(shù)學(xué)問題。從理論上,其求解可用解析法,既 微積分和變分方法中的極值理論,但由于實(shí)際中的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型多種多樣,往往目標(biāo)函數(shù) 及約束函數(shù)是非線性的,此時(shí)采用解析法求解變得非常復(fù)雜與困難,甚至在具體求解中無(wú) 法實(shí)現(xiàn)。所以產(chǎn)生了一種更為實(shí)用的求解方法求優(yōu)的數(shù)值計(jì)算法,即常稱之為解非線 性規(guī)劃的最優(yōu)化方法

39、。數(shù)值計(jì)算求優(yōu)過程的特點(diǎn)是 按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行反復(fù)的迭代數(shù) 值計(jì)算,尋求目標(biāo)函數(shù)逐次下降的設(shè)計(jì)點(diǎn),直到最后獲得足夠精度的近似解時(shí)就截?cái)嗟?計(jì)算。具有這種特點(diǎn)的計(jì)算方法稱為數(shù)值迭代計(jì)算法?，F(xiàn)在結(jié)合圖 1.10所示的二維優(yōu)化問題的圖形來說明優(yōu)化算法的迭代過程。設(shè)有一個(gè)二維的優(yōu)化問題, 其目標(biāo)函數(shù)等值線如圖 1.10所示。 等值線中心為目標(biāo)函數(shù) 的無(wú)約束極小點(diǎn)。首先在二維設(shè)計(jì)平面內(nèi)，任選一個(gè)初始點(diǎn)x(0),從該點(diǎn)出發(fā)，沿著某種優(yōu)化方法所規(guī)定的搜尋方向 S(0),選取恰當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)a (0),按下面的迭代格式產(chǎn)生一個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn):本次迭代的終止點(diǎn)（.x本次迭代的起始點(diǎn):（0）s（0）本次迭代的步長(zhǎng)（常

40、用一維優(yōu)化方法確定）本次迭代的方向（由某種優(yōu)化方法確定）并使之滿足：F（X）<F （x（0）則x就是一個(gè)優(yōu)越于初始點(diǎn) x（0）的新設(shè)計(jì)點(diǎn)。然后，再以該新設(shè)計(jì)x為起始點(diǎn)，按類似的迭代格式產(chǎn)生第二個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn)：x（2）= x（l）+a（1）S（1）這樣，依次迭代可得到一系列的迭代點(diǎn)： x（0）、x、x（ 2）、；這些迭代點(diǎn)通常稱為迭代點(diǎn)序列。第k+1次迭代的格式為： x（k）=x（k）+ a（k）s（ k）, k = 0, 1, 2,.并使之滿足：F （x（k+ 1 ）vf （x（k） 上式稱為優(yōu)化計(jì)算的基本迭代公式。式 中的第k +1次尋求方向S（ k）及步長(zhǎng)a（k） 是根據(jù)本次迭代初始點(diǎn)

41、 x（k）的目標(biāo)函數(shù) 值和約束函數(shù)值等信息而確定。按上述 迭代格式反復(fù)迭代計(jì)算后產(chǎn)生的迭代點(diǎn) 序列：x（0）、X、x（ 2）、.、x（k）、., 各點(diǎn)的函數(shù)值依次下降，即：F （x（0）（1）（2）（k）>F （x ）>F （x ）>. . . >F （x ） >.o顯然迭代點(diǎn)系列不斷向理論的 最優(yōu)點(diǎn)逼進(jìn)，最后必將達(dá)到滿足預(yù)定精 度要求的近似最優(yōu)點(diǎn)，記作 x* o通過上面的基本迭代公式可以看 到，在優(yōu)化計(jì)算的方法中主要問題仍然 是解決迭代方向和迭代步長(zhǎng)的問題。目前，已有的各種方法盡管在選取的方向和步長(zhǎng)上各 有千秋，但有一個(gè)共同的特點(diǎn)，它能必須容易通過數(shù)值計(jì)算得到，

42、且使目標(biāo)函數(shù)能穩(wěn)定地 下降。、迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則在優(yōu)化計(jì)算中，上述迭代過程總不能無(wú)限制地進(jìn)行下去，那么，何時(shí)可以終止這種迭 代計(jì)算呢？這就需要有一個(gè)迭代計(jì)算終止準(zhǔn)則來給與判定。理論上來說，我們當(dāng)然希望最終的迭代點(diǎn)能到達(dá)理論極小點(diǎn)，或者使最終迭代點(diǎn)能與 理論極小點(diǎn)之間的距離足夠小時(shí)，才終止迭代計(jì)算。但是，這在實(shí)際計(jì)算中是辦不到的。 因?yàn)椋瑢?duì)一待求的設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，其理論極值點(diǎn)就近在哪里還并不知道其，而所知道的只 有通過多次迭代計(jì)算而獲得的一系列迭代點(diǎn).o因此，我們只能從上述迭代點(diǎn)所提供的信息來判定是否應(yīng)當(dāng)終值迭代計(jì)算。根據(jù)線性規(guī)劃理論，我們知道：對(duì)于某一個(gè)穩(wěn)定收斂的迭代計(jì)算方法，當(dāng)?shù)c(diǎn)到達(dá) 理論極小點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)，各迭代的步長(zhǎng)將變得越來越短，而各迭代點(diǎn)越來越接近，各迭代 點(diǎn)的函數(shù)值之差越來越小，由此我們可以建立如下迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則。對(duì)于無(wú)約束優(yōu)化問題通常采用的迭代終止準(zhǔn)則有以下幾種：（1）、點(diǎn)距準(zhǔn)則在迭代點(diǎn)系列中，相鄰兩迭代點(diǎn) x(k譏x(k之間的距離已達(dá)到充分小，即滿足:曾-叮W «!或用兩迭代點(diǎn)的坐標(biāo)(設(shè)計(jì)變量)進(jìn)行檢驗(yàn)，寫為: 取為x(k)最優(yōu)點(diǎn)，即令X* = x(k)式中：n是設(shè)計(jì)維數(shù)& i是預(yù)先給定的收斂精度(2)、函數(shù)下降量準(zhǔn)則 由于在最優(yōu)點(diǎn)的很小鄰域內(nèi)各迭代點(diǎn)的函數(shù)值變化很小，所以當(dāng)相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù) 值下降量