圓錐曲線中點(diǎn)弦問題的探討

1、關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的探討武漢市光谷第二高級中學(xué) 黃紅濤直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例1、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，

2、故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題例2、過橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），則有，兩式相減得，又因?yàn)?，所以，所以，而，故。化簡可?（）。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，又

3、因?yàn)镼在橢圓上，所以，即，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為 （）。三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題例3、求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題的一些基本解法。下面我們看一個(gè)結(jié)論引理 設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則。設(shè)A、B則（1） （2）得 即。（說明：當(dāng)時(shí)，上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點(diǎn)P的切線斜率公式，即） 推論1 設(shè)圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上

4、時(shí)，則過點(diǎn)P的切線斜率為） 推論2 設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（注：對ab也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過點(diǎn)P的切線斜率為）推論3 設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過P點(diǎn)的切線斜率為）推論4 設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P的切線斜率為我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。例1、求橢圓斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0 例2、已知橢圓A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為T，由題設(shè)可知AB與x軸不垂直， lAB l的方程為： 令y=0 得 例3、已知拋物線C：，直線