八年級數學下冊三角形的證明實用教案

1、上冊第一章復習上冊第一章復習 知識知識(zh shi)歸納歸納知識(zh shi)歸納1等腰三角形的性質等腰三角形的性質性質性質(1)：等腰三角形的兩個底角：等腰三角形的兩個底角 .性質性質(2)：等腰三角形頂角的：等腰三角形頂角的 、底邊上的、底邊上的 、底邊上的高互、底邊上的高互相重合相重合2等腰三角形的判定等腰三角形的判定(pndng)(1)定義：有兩條邊定義：有兩條邊 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等角對等邊：有兩個角等角對等邊：有兩個角 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形相等相等平分線平分線中線中線相等相等相等相等第1頁/共43頁第一頁，共44頁。上冊第一章復習

2、上冊第一章復習 知識知識(zh shi)歸納歸納3用反證法證明的一般步驟用反證法證明的一般步驟(1)假設命題的結論假設命題的結論(jiln)不成立；不成立；(2)從這個假設出發(fā)，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、從這個假設出發(fā)，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；已證定理或已知條件相矛盾的結果；(3)由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論(jiln)正正確確4等邊三角形的判定等邊三角形的判定(1)有一個角等于有一個角等于60的的 三角形是等邊三角形；三角形是等邊三角形；等腰等腰第2頁/共43頁第二頁，共

3、44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 知識知識(zh shi)歸類歸類(2)三邊相等三邊相等(xingdng)的三角形叫做等邊三角形；的三角形叫做等邊三角形；(3)三個角相等三個角相等(xingdng)的三角形是等邊三角形；的三角形是等邊三角形；(4)有兩個角等于有兩個角等于60的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形5直角三角形的性質直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的斜邊的 .6勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的勾股定理：直角三角形兩條直角

4、邊的平方和等于斜邊的 .一半一半(ybn)平方平方第3頁/共43頁第三頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 知識知識(zh shi)歸類歸類逆定理逆定理(dngl)：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是方，那么這個三角形是 三角形三角形7線段的垂直平分線的性質定理線段的垂直平分線的性質定理(dngl)及判定定理及判定定理(dngl)性質定理性質定理(dngl)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離個端點的距離 .判定定理判定定理(dngl)：到一條線段兩個端點距離相等的點，在：到一條線

5、段兩個端點距離相等的點，在這條線段的這條線段的 上上點撥點撥 線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相等的所有點的集合等的所有點的集合直角直角(zhjio)相等相等垂直平分線垂直平分線第4頁/共43頁第四頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 知識知識(zh shi)歸類歸類8三線三線(sn xin)共點共點三角形三條邊的垂直平分線相交于三角形三條邊的垂直平分線相交于 ，并且這一點到三，并且這一點到三角形三個頂點的距離角形三個頂點的距離 .9角平分線的性質定理及判定定理角平分線的性質定理及判定定理性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離性質

6、定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離 .判定定理：在一個角的內部，且到角的兩邊判定定理：在一個角的內部，且到角的兩邊 相等的點，相等的點，在這個角的平分線上在這個角的平分線上相等相等(xingdng)相等相等距離距離一點一點第5頁/共43頁第五頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 知識歸類知識歸類注意注意 角的平分線是在角的內部角的平分線是在角的內部(nib)的一條射線，所以它的逆定的一條射線，所以它的逆定理必須加上理必須加上“在角的內部在角的內部(nib)”這個條件這個條件10三角形三條角平分線的性質三角形三條角平分線的性質三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的

7、距離三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離 .相等相等(xingdng)第6頁/共43頁第六頁，共44頁。 考點考點(ko din)(ko din)一線段垂直平分線的性質的應用一線段垂直平分線的性質的應用上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略考點(ko din)攻略 例例1如圖如圖S11，在，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，則，則BCE_.5050 第7頁/共43頁第七頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略解析解析 根據線段垂直平分線的性質，線段垂直平分線上的點根據線段垂

8、直平分線的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離到線段兩端點的距離(jl)相等，所以相等，所以EAEC，AACE30，又，又ACB80，故，故BCE803050.第8頁/共43頁第八頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略第9頁/共43頁第九頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略 考點考點(ko din)(ko din)二全等三角形的證明二全等三角形的證明例例2如圖如圖S12，在，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一在同一(tngy)直線上，下面有四個條件，請你從中選三個作為題設，余下的一直線上，下面有四個條件，

9、請你從中選三個作為題設，余下的一個作為結論，寫出一個正確的命題，并加以證明個作為結論，寫出一個正確的命題，并加以證明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF.第10頁/共43頁第十頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略解：答案不惟一，命題解：答案不惟一，命題(mng t)一：在一：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直線上，在同一直線上，ABDE，AC DF，BECF.求證：求證：ABCDEF. 命題命題(mng t)二：在二：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直線上，在同一直線上，ABDE，ABCDEF，BECF.求證：求證：AC

10、DF.下面證明命題下面證明命題(mng t)一：一：已知：如題圖，在已知：如題圖，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直線上，在同一直線上，ABDE，AC DF，BECF.求證：求證：ABCDEF.第11頁/共43頁第十一頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略證明證明(zhngmng)：在：在ABC和和DEF中，中，BECF，BCEF.又又ABDE，ACDF，ABC DEF(SSS)ABCDEF.第12頁/共43頁第十二頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略第13頁/共43頁第十三頁，共44頁。上冊第一章復習

11、上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略 考點三勾股定理考點三勾股定理(u dn l)(u dn l)的應用的應用 第14頁/共43頁第十四頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略解析解析 這個有趣的問題是勾股定理的典型這個有趣的問題是勾股定理的典型(dinxng)應用，此應用，此問題看上去是一個曲面上的路線問題，但實際上能通過圓柱的側面問題看上去是一個曲面上的路線問題，但實際上能通過圓柱的側面展開而轉化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側面展開而轉化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側面時，要從時，要從A開始并垂直于開始并垂直于AB剪開

12、，這樣展開的側面才是個矩形，才剪開，這樣展開的側面才是個矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解決此問題能得到直角，再利用勾股定理解決此問題第15頁/共43頁第十五頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略解：將圓柱解：將圓柱(yunzh)的側面展開，如圖的側面展開，如圖S14，圓柱，圓柱(yunzh)的底的底面周長為面周長為2r24，取其一半：，取其一半： 42，圓柱，圓柱(yunzh)的的高為高為2，根據勾股定理，得，根據勾股定理，得AC222228，所以，所以AC2 .第16頁/共43頁第十六頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略第17

13、頁/共43頁第十七頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略 考點考點(ko din)(ko din)四等腰三角形的判別四等腰三角形的判別 例例4已知：在已知：在ABC中，中，A90，ABAC，D為為BC的中的中點點(1)如圖如圖S14，E，F分別是分別是AB，AC上的點，且上的點，且BEAF，求證：，求證：DEF為等腰直角三角形；為等腰直角三角形；(2)若若E，F分別為分別為AB，CA延長線上的點，仍有延長線上的點，仍有BEAF，其他條，其他條件不變，那么件不變，那么(n me)，DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論論第18頁

14、/共43頁第十八頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略解析解析 要證明要證明DEF為等腰三角形，需要證為等腰三角形，需要證DEDF.連接連接(linji)AD，利用全等可得這一結論至于在延長線上，可利用同，利用全等可得這一結論至于在延長線上，可利用同樣的方法樣的方法第19頁/共43頁第十九頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略解：(1)證明(zhngmng)：連接AD，如圖S16：ABAC，BAC90，D為BC的中點，ADBC，BDAD，BDAC45，又BEAF，BDE ADF(SAS)，EDFD，BDEADF，EDFEDAADFED

15、ABDEBDA90，DEF為等腰直角三角形第20頁/共43頁第二十頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略(2)若若E，F分別分別(fnbi)是是AB，CA延長線上的點，如圖延長線上的點，如圖S17所示：所示：連接連接AD，ABAC，BAC90，D為為BC的中點，的中點，ADBD，ADBC，DACABD45，DAFDBE135.又又AFBE，DAF DBE(SAS)，圖S17第21頁/共43頁第二十一頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90，DEF仍為等腰直角三角形仍

16、為等腰直角三角形第22頁/共43頁第二十二頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略第23頁/共43頁第二十三頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略 考點考點(ko din)(ko din)五角平分線與五角平分線與“截長補短截長補短”例例5如圖如圖S18，ADBC，點，點E在線段在線段(xindun)AB上，上，ADECDE，DCEECB.求證：求證：CDADBC.圖S18第24頁/共43頁第二十四頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 考點攻略考點攻略解析解析 結論是結論是CDADBC，可考慮用，可考慮用“截長補短截

17、長補短(ji chng b dun)法法”中的中的“截長截長”，即在，即在CD上截取上截取CFCB，只要再證，只要再證DFDA即可，即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的第25頁/共43頁第二十五頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略圖圖S19證明證明(zhngmng)：在：在CD上截取上截取CFBC，如圖，如圖S19，在在FCE與與BCE中，中，FCE BCE(SAS)，21.ADBC，ADCBCD180.又又ADECDE，第26頁/共43頁第二十六頁，共44頁。上冊第一章復習上

18、冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE與與ADE中，中，FDE ADE(ASA)，DFDA.CDDFCF，CDADBC.第27頁/共43頁第二十七頁，共44頁。上冊第一章復習上冊第一章復習 考點考點(ko din)攻略攻略第28頁/共43頁第二十八頁，共44頁。1以下命題中，是真命題的是以下命題中，是真命題的是()A兩條直線只有相交和平行兩條直線只有相交和平行(pngxng)兩種位置關系兩種位置關系B同位角相等同位角相等C兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等D等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等等腰三角

19、形底邊中點到兩腰的距離相等D D 上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第29頁/共43頁第二十九頁，共44頁。2下列說法中，正確的是下列說法中，正確的是()A等腰三角形邊上的中線也是高等腰三角形邊上的中線也是高B等腰三角形的內角平分線的交點到三個頂點的距離相等等腰三角形的內角平分線的交點到三個頂點的距離相等C等邊三角形每條角平分線都平分對邊等邊三角形每條角平分線都平分對邊D直角三角形一邊上的中線等于這邊直角三角形一邊上的中線等于這邊(zh bin)的一半的一半C C 上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第30頁/共43頁第三十頁，共44頁。3在直角三角形中，

20、一條直角邊長為在直角三角形中，一條直角邊長為a，另一條邊長為，另一條邊長為2a，那么它，那么它的三個內角的三個內角(ni jio)之比為之比為()A1 2 3 B2 2 1C1 1 2 D以上都不對以上都不對D D 上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第31頁/共43頁第三十一頁，共44頁。4如圖如圖S19，ABC中，中，ACB90，BA的垂直平分線交的垂直平分線交CB邊于邊于D，若，若AB10，AC5，則圖中等于，則圖中等于(dngy)60的角的個數的角的個數為為()A2 B3 C4 D5D D 圖S110上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第32頁/共4

21、3頁第三十二頁，共44頁。5如圖如圖S111，在，在RtABC中，中，C90，B15，DE是是AB的中垂線，垂足的中垂線，垂足(chu z)為為D，交，交BC于點于點E，若，若BE4，則，則AC_.2 2 圖S111上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第33頁/共43頁第三十三頁，共44頁。6若點若點P是是ABC內一點內一點(y din)，PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，且，且PDPEPF，則點，則點P是是ABC的的()A三條高的交點三條高的交點B三條中線的交點三條中線的交點C三條角平分線的交點三條角平分線的交點D三條中垂線的交點三條中垂線的交點C上冊第一章復

22、習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第34頁/共43頁第三十四頁，共44頁。 7在平面在平面(pngmin)內，到內，到A，B，C三點距離相等三點距離相等的點有的點有()A只有一個只有一個 B有兩個有兩個C有三個或三個以上有三個或三個以上 D有一個或沒有有一個或沒有D上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第35頁/共43頁第三十五頁，共44頁。8 8小明家有一塊小明家有一塊ABCABC的土地，如圖的土地，如圖S1S11212所示，其三邊長所示，其三邊長ABAB7070米，米，BCBC9090米，米，ACAC5050米，現要把米，現要把ABCABC分成面積比為分成面積比為5

23、79579的三部分，分別種植不同的農作物，請你設計一種的三部分，分別種植不同的農作物，請你設計一種(y (y zhn)zhn)方案方案圖S112上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第36頁/共43頁第三十六頁，共44頁。解：如圖解：如圖S113所示，分別所示，分別(fnbi)作作ACB和和ABC的平分的平分線，相交于點線，相交于點D，連接，連接AD，則，則SADC SADB SBDC5 7 9.圖S113上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第37頁/共43頁第三十七頁，共44頁。9.如圖如圖S114，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，ADBC，E為為CD的中

24、的中點點(zhn din)，連結，連結AE，BE，BEAE，延長，延長AE交交BC的延長的延長線于點線于點F.求證：求證：(1)FCAD；(2)ABBCAD.上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第38頁/共43頁第三十八頁，共44頁。證明證明(zhngmng)：(1)因為因為E是是CD的中點，所以的中點，所以DECE.因為因為ADBC，所以，所以ADEFCE，DAECFE.所以所以ADE FCE.所以所以FCAD.(2)因為因為ADE FCE，所以，所以AEFE.又因為又因為BEAE，所以，所以BE是是線段線段AF的垂直平分線，所以的垂直平分線，所以ABFB.因為因為FBBCFCBCAD.所以所以ABBCAD.上冊第一章復習上冊第一章復習(fx) 習題講析習題講析第3