橢圓軌道上引力一定不等于向心力嗎

1、中學(xué)物理 Vol. 27 No.l2009年1月 51 中學(xué)物理 Vol. 27 No.l2009年1月橢圓軌道上引力一定不等于向心力嗎 51 中學(xué)物理 Vol. 27 No.l2009年1月 51 中學(xué)物理 Vol. 27 No.l2009年1月我們知道，人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運 動時,萬有引力等于向心力.那么，人造衛(wèi)星繞 地球沿橢圓軌道運動時,萬有引力還等于向心 力嗎?學(xué)生一般認為,衛(wèi)星軌跡不是圓形,而且 速度大小也在不斷地變化，顯然萬有引力是不 等于向心力的(理由是，如果萬有引力等于向 心力,衛(wèi)星就會做勻速圓周運動)，而且許多老 師也是這樣解釋衛(wèi)星為什么能沿橢圓軌道運 動的：在近地點，

2、地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力小于 衛(wèi)星所需要的向心力，因此衛(wèi)星做離心運動, 離地球越來越遠，白于克服地球引力做功，到 遠地點時衛(wèi)星的速度最小，此時萬有引力大于 衛(wèi)星所需要的向心力，因此衛(wèi)星又會逐漸向地 球靠近，到近地點時具有最大的速度，如此循 環(huán)形成橢圓軌道.必須強調(diào)的是，教師在做上 述解釋時要指明，這里的向心力是指衛(wèi)星此時 以地球為圓心做勻速圓周運動所需要的向心 力，否則，這種說法就是錯誤的.實際上，在近 地點和遠地點，衛(wèi)星受的萬有引力都是等于衛(wèi) 星所需要的向心力的，而在橢圓軌道的其它位 析與解 由題意可知:a星的軌道半徑為 Ra = D2,p星的軌道半徑為勺=D/2,設(shè)兩 星間距為1,則：L -

3、Ra + Rfi=(Do + D»/2(1)由于兩星均繞同一點做勻速圓周運動，由 萬有引力定律和向心力公式可得：GMM/U = MaRa (2x/T)2(2)GMJIplL2 = M於,2兀/丁)2(3) 置，萬有引力則不等于向心力.分析如下：數(shù)學(xué)概念在橢圓曲線上取包含P點的 一小段曲線段，會有一個圓與曲線相切于P 點，而且此圓跟曲線幾乎貼在一起，即沒有一 個圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，此 圓稱為曲線在P(Q)點的曲率圓，圓心稱為曲 率中心，圓的半徑稱為曲率半徑.曲率圓是曲 線在P(Q)點的最佳圓形近似.分析論證 如圖1所示，橢圓軌道衛(wèi)星經(jīng) 過近(遠)地點P( Q)點時的一小

4、段軌跡，可認 為與橢圓在P點的曲率圓重合,該點的曲率中 心D位于橢圓的長軸上，而處于橢圓焦點F 的地心也是位于長軸上，這樣，經(jīng)過P點時，衛(wèi) 星受的地球引力剛好沿曲率半徑指向曲率中 心,方向與衛(wèi)星的速度方向垂直，對衛(wèi)星不做 功，衛(wèi)星動能(速率)不變.因此，經(jīng)過近(遠) 地點時，可以認為衛(wèi)星沿曲率圓做勻速圓周運 動,衛(wèi)星受的萬有引力等于衛(wèi)星所需要的向心 力.而在橢圓軌道的其它位置，由于地球?qū)πl(wèi) 星的引力沒有沿曲率半徑指向曲率中心，因此 代入已知條件并整理可得：Ma = n2Dp(Do + Dfi)2l2GT= "(Da + Dfi)2/2GT2.點評星體間存在萬有引力作用，正是在這 種引

5、力的作用下，才會出現(xiàn)天空中的“雙體轉(zhuǎn)動模 型” 解答本題時要注意到其中所包含的隱含條 件,兩星的軌道半徑和距離可從圖中讀岀來.【作者單位:(317605)浙江省玉環(huán)縣楚門 中學(xué)】萬有引力不等于向心力.解決問題如圖1所示，某衛(wèi)星沿橢圓軌 道繞地球運行，近地點P離地心距離為a,遠地 點Q離地心距離為6,衛(wèi)星經(jīng)過近地點時的速 率為4，求衛(wèi)星經(jīng)過遠地點時的速率錯解衛(wèi)星受的地球引力提供向心力"近地點有:過P、Q點時各取足夠短的相等時間由面 積相等有vatal2 =以仍/2,也得vb =牙S 另解2 運行過程衛(wèi)星的機械能守怛，由 大學(xué)物理知識可知,對于半長軸為L的橢圓軌 道，衛(wèi)星具有的機械能為：

6、r GMntE=-2Tf地球-衛(wèi)星系統(tǒng)的引力勢能為：TT GMmu=-式中r是衛(wèi)星離地心的距離.近地點有： 51 中學(xué)物理 Vol. 27 No.l2009年1月Gm =遠地點有:.GMm GMm = 2lT遠地點有：兩式相比易得: 51 中學(xué)物理 Vol. 27 No.l2009年1月a(a + 6)f2GM GMbL2GM 2GMba + 62GMa2GMbb(a + b)9兩式相比同樣得到：錯因 誤把衛(wèi)星與地心的距離當作了該 點的曲率半徑，導(dǎo)致錯解.正解 由橢圓形狀的對稱性可知,近地點 與遠地點的曲率半徑R是相同的，地球引力提 供向心力：近地點有：MmG r =刃 g,遠地點有:兩式相比得vb =殊途同歸另解1據(jù)開普勒第二定律，地球和衛(wèi)星 的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等衛(wèi)