函數(shù)的單調性與凸性實用教案

1、12(1)( )0,( ,)()0()(),( ) ( ,) fxxa bffxfxfxa b若， 則 ， 由 上 式 得 ：所 以 在 內 單 調 增 加 ；12(2)( )0,( ,),()0()(),( )( ,)fxxa bffxfxfxa b若則， 由 上 式 得 ：所 以在內 嚴 格 單 調 增 加 ；,( ,)( ) x xa bfxxx對 于 任 意 的 ， 由 于 的單 調 性 ， 只 要 必 要 性 ： 就 有()( )0,fxfxxx( )0 xxfx令 ， 即 得 到 。第1頁/共45頁第一頁，共46頁。( ) ( , ) ( )0 ( )0),( )0 ( ) ( ,

2、 ) f xa bfxfxfxf xa b若 在 內 或 且使的點是一些離散的點，則 在 內嚴格單調增注：加或（減少）第2頁/共45頁第二頁，共46頁。解解 (1) 定義域定義域 ,)2)(1(6xx 31292)(23xxxxf例例2 確定函數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間的單調區(qū)間.0)( xf令令2 , 121xx, 得得)(xf (2)(3) 以以2 , 121xx為分界點為分界點,將定義域分割將定義域分割,列表列表:x( )fx( )f x(,1)(1,2)(2,) 增增減減增增函數(shù)函數(shù))(xf的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為: 1 ,(,(2,).單減區(qū)間單減區(qū)間(q jin)為為:2 , 1 (12

3、1862xx第3頁/共45頁第三頁，共46頁。解解 (1) 定義域定義域 ,32)25()(xxxf例例3 確定函數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間的單調區(qū)間.(2)(xf 332132)25(xxx3135xx 0)( xf令令 , 11x, 得得當當02x時時,)(xf 不存在不存在(cnzi),(3) 列表列表(li bio):x)(xf )(xf)0 ,() 1 , 0(), 1 ( 增增減減增增函數(shù)函數(shù))(xf的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為:0 ,(,(1,).單減區(qū)間單減區(qū)間(q jin)為為:.1 , 0(第4頁/共45頁第四頁，共46頁。利用單調利用單調(dndio)性證明性證明不等式不等式例4

4、證明不等式) 1( 132 xxx證明 令1( )2(3)f xxx)(xf ) 1(12xxx) 1 ()(fxfxxx132 1 時，即211xx0)( xf) , 1 , 即即)(xf在在上單增上單增,當當1x時時,0,當當1x時時,第5頁/共45頁第五頁，共46頁。sin2.2xxx證明當 時 練習1：sin( ),xfxx證明：設 則2cossin( )xxxfxx2cos(tan)xxxx0 (02)x( )0,/ 2fx因此 在 上單調遞減，從而02sin2( ) ()2xfxfxx第6頁/共45頁第六頁，共46頁。5xxe證明:方程=2在(0,1)內有且僅例有一個實根.( )(

5、 )0,1(0)20,(1)20.( )0,( )0 xfxxefxffeffx 設-2,因在上 連 續(xù) ，且由 零 值 定 理 ，在 (0,1)內 至 少 存 在 一 點使即在 (0,1)內 至 少 有 一證 明個 實 根 .( )(1)0(01),( )( )xfxexxfxfx又因為所以因在(0,1)內單調增加，于是在(0,1)內至多有一個零點.( )( )2xfxfxxe綜上,在(0,1)內只有一個零點，即方程=0,亦即在(0,1)內僅有一個實根.第7頁/共45頁第七頁，共46頁。( ) , ( , )( )0,( )( )( ,6)f xa ba bfxf xf aa bxa設在上連

6、續(xù)，且在內證明在例內單調增加.( )( )( ),( , )f xf aF xxa bxa設證明2( )()( )( )( )()fxxaf xf aFxxa( ),f xa b在上滿足拉格朗日中值定理,( )( )( )()f xf afxaax,第8頁/共45頁第八頁，共46頁。( , )( )0 xa bfx又當時，( )( , )fxa b在內單調遞增.( )( )bxafxf故 當時 ，2( )()( )()( )()( )( )0,fxxafxaFxxafxfxa而( )( )( )( , )f xf aF xa bxa在內單調遞增.第9頁/共45頁第九頁，共46頁。二、函數(shù)二、函

7、數(shù)(hnsh)的凸性與拐點的凸性與拐點ACB弧 是上凸的ADB弧 是下凸的第10頁/共45頁第十頁，共46頁。121212( ) (1)()(1) (), , 5.1.2 (0,1),( )( )f xIfxxf xf xx xIf xIf xI設函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，如果 則稱在區(qū)間 上是下凸的；如果上定式中的不等號嚴格成立，則稱在區(qū)間 上是嚴格義下凸的。( )( , )( )( , )( )0,( , ).( , )( )0( ) ( , )f xa bf xa bfxxa ba bfxf xa b 設函數(shù)在開區(qū)間內二階可導，則在內下凸的充要條件是 如果在開區(qū)間 內定理5 則 在 內是嚴

8、格.1.6下凸的。第11頁/共45頁第十一頁，共46頁。010101,( , )(1) ,01,x xa bxxxxx設 是 內任意兩點，令 證明：1021Lagrange, ,x xxx由中值定理， 使得010()( )f xf xfxx101( )(1)f xfxx121()()f xf xfxx201()f xfxx 010112()(1) ()(1)( )()f xf xf xxxff于是 第12頁/共45頁第十二頁，共46頁。( )0, ( , )fxxa b 如果 ，則0112(1)( )()0 xxff ，01()(1) ()f xf xf x從而 ；( )0, ( , )fxx

9、a b 如果 ，則0112(1)( )()0 xxff ，01()(1) ()f xf xf x從而 ；充分性：第13頁/共45頁第十三頁，共46頁。必要性：0( , )( )0 xa bfx（反證法）如果存在 使得 ，則000()()lim0,hfxhfxh0 h由極限的保號性，存在 使得當 時恒有00()()0,fxhfxh000( )()xxxfxfx因此當 時，；000( )()xxxfxfx當 時，；第14頁/共45頁第十四頁，共46頁。0 xx 任取 滿足 ，則由Lagrange中值定理，001010()()( ), ,f xxf xfxxxx002020()()(), ,f xf

10、 xxfxxxx 201()()( )ffxf由于 ，因此0000()()()(),f xf xxf xxf x000()()(),2f xxf xxf x( ) f x但這與 下凸矛盾，證明完畢。第15頁/共45頁第十五頁，共46頁。( )( )0, f xIfxxI 在區(qū)間 上嚴格下凸并不能保證 注意：。42(- ,)120 0.yxyxx 例如在內嚴格下凸，但 在 處等于( , )( )0( )0).( )0( )( , )a bfxfxfxyf xa b如果在區(qū)間內恒有或且使得的點只是一些離散的點，則函數(shù)曲線在區(qū)間內嚴格下凸（或上凸）。第16頁/共45頁第十六頁，共46頁。00( )(

11、 ),()2yf xyf xxf x在函數(shù)曲線上，下凸弧與上凸弧的連接點稱為曲線的拐點。記為(定義)00( )0( )( )0( ),()fxfxfxfxxf x注意拐點處或不存在，但或不存在時()不一定是拐點確定曲線下（上）凸區(qū)間與拐點的步驟：( )f x1求的定義域( )( )0( )fxfxfx2 求找使或不存在的點2( )fx3 以 中所找點為分界點，將定義域分割成部分區(qū)間列表討論各個區(qū)間內的符號，再確定下（上）區(qū)間與拐點第17頁/共45頁第十七頁，共46頁。)0 , 5/1() 5/1,( ) (0, 列表列表(li bio)： 0 5/1xyy 0下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐點拐點(

12、ui din)非拐點非拐點(ui din) ,(yy 0 y 令令, 5/11x得得32) 1(xxy的拐點及凸區(qū)間的拐點及凸區(qū)間. 例例8 求曲線求曲線解解 定義域為定義域為:,32353132xx343192910 xx341592xx 02x當當時時,y 不存在不存在.不存在不存在( 1/ 5,0), (0,)下凸區(qū)間： (,1/ 5) 上凸區(qū)間： 第18頁/共45頁第十八頁，共46頁。21( ).1fxxx練習2求函數(shù) 的凸區(qū)間：222( )11xfxx解：，22262( )1xfxx，1,3x 二階導數(shù)的零點：( 1/3,1/3)(, 1/3 ) (1/ 3, ) 1/31/3xyy

13、 0上凸上凸下凸下凸下凸下凸拐點拐點(ui din)拐點拐點(ui din)0第19頁/共45頁第十九頁，共46頁。lnln() ln,2,0,.xyxxyyxyx yxy試 證例 9( )ln,( )( ), ,(0,),22f xxxf xfyxyfx yxy設 則只證需證明( )ln f xxx從而證明 是嚴格下凸的函數(shù)即可。第20頁/共45頁第二十頁，共46頁。,0,0 111 .pqababa bp qppqq例 10(Young設 ，且滿 足， 試 證不 等 式 )21( )ln,( )0, 0f xxfxxx 設證明 則 ，( )f x因此 在 (0,+) 內嚴格上凸，于是ln1

14、1lnln,pqpqaapqabpqln ab 第21頁/共45頁第二十一頁，共46頁。 . pqababpq因 此1/1/11111,1 1 .pqnnnpqiiiiiiia bp qpbqa設 且 滿 足，則Holder 不 等 式1/1/11,pqnnpqiipqiiaabb證明：記 ，則第22頁/共45頁第二十二頁，共46頁。111nniiiiiipqpqaba babab111pqniiipqabpaqb1111nnpqiipqiipqpq baba11pppqqpqqp aq bab111,pq第23頁/共45頁第二十三頁，共46頁。1.niipqia bab1 .ppppabab

15、Minkowski 不 等設 ， 則式1 nppiipiabab證 明 ：11npiiiiiabab11npiiiiiabab第24頁/共45頁第二十四頁，共46頁。1111nnppiiiiiiiiaabbab1/1/(1)111/1/(1)11 pqnnppqiiiiipqnnppqiiiiiaabbab111pq111111nnppppiiiippiiaabbab1,ppppabab第25頁/共45頁第二十五頁，共46頁。1,ppppppababab于 是 我 們 證 明 了.pppabab由 此 立 刻 得 到 第26頁/共45頁第二十六頁，共46頁。定理定理2 (極值極值(j zh)存

16、在的第一充分條件存在的第一充分條件)當當0 xx 時時,; 0)( xf當當0 xx 時時,; 0)( xf (1) 若若)(xf則則在在0 x處取得處取得極大值極大值.當當0 xx 時時,; 0)( xf (2) 若若當當0 xx 時時,; 0)( xf)(xf則則在在0 x處取得處取得極小值極小值. (3) 若若)(xf 在在0 x的鄰近兩側的鄰近兩側不變號不變號,則則)(xf在在0 x處處沒有極值沒有極值.在在0 x點連續(xù)，在點連續(xù)，在 的某一鄰域內可導（的某一鄰域內可導（ 可除外）可除外）)(xf設函數(shù)設函數(shù)0 x0 xxyab1x2x3x4x)(xfy 5x6x7x8x第27頁/共4

17、5頁第二十七頁，共46頁。(二二)求函數(shù)極值的方法求函數(shù)極值的方法(fngf)和步驟和步驟:( )f x 定義域 (1) 確定確定 (2) 求使求使0)( xf的點的點(駐點駐點),及使及使)(xf 不存在的點不存在的點; 593)(23xxxxf 例例1 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值.解解)(xf 9632xx )3)(1( 3xx0,得得. 3, 121xx 列表列表(li bio):x) 1,(1) 3 , 1(3), 3( )(xf )(xf00極大值極大值極小值極小值增增減減增增 極大值為極大值為:) 1(f0,1 極小值為極小值為:)3(f22. (3) 列表考察這些點左右區(qū)間上列表考

18、察這些點左右區(qū)間上 的符號，利用定理的符號，利用定理3 判別所找點是否極值點判別所找點是否極值點,并判別極大并判別極大(小小)值值.( )f x第28頁/共45頁第二十八頁，共46頁。解解223()2)(2f xxx求函數(shù)的單例調區(qū)間和極值.3(,),4(1)( )3(2)xfxxx 函數(shù)定義域為列表列表:x)(xf )(xf(- ,0)0不存在極小值(0,1)10極大值(1,2)2不存在極小值(2,)( )01,02( )fxxxxfx令得駐點當或時,不存在.第29頁/共45頁第二十九頁，共46頁。(,0),(1, 2)(0,1),(2,)0,2,(0)(2)01,(1)1.xxffxf所

19、以 ， 單 調 遞 減 區(qū) 間 為單 調 遞 增 區(qū) 間 為極 小 值 點極 小 值極 大 值 點極 大 值第30頁/共45頁第三十頁，共46頁。定理 3 （第二(d r)充分條件）, 0)( , 0)(00 xfxf設函數(shù)設函數(shù)0 x處具有二階導數(shù)處具有二階導數(shù) ,且且)(xf在點在點則則 0)( 0 xf當當時時,)(0 xf為為極大值極大值; 0)( 0 xf當當時時,)(0 xf為為極小值極小值.第31頁/共45頁第三十一頁，共46頁。32()2397fxxx例求的 極 值 .,定義域為 -,+解2( )3183 (6)fxxxx x12( )00,6fxxx令， 得 駐 點( )61

20、8,(0)180,(6)180fxxff ( )0(0)276(6)135.fxxfxf 所 以在處 取 得 極 大 值 ，處 取 得 極 小 值第32頁/共45頁第三十二頁，共46頁。1) 1()( 32 xxf例例4 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值.解解 令令)( xf 22) 1(6xx) 15)(1(6)(22 xxxf)0(f ，01 f01 , 0 , 1321xxx,得得, 06 所以所以(suy)有極小值有極小值:; 0)0(f定理定理3失效失效(sh xio),用定理用定理2判斷判斷.當當1x時時,; 0)( xf01x時時,; 0)( xf1x不是不是(b shi)極值點極值點當

21、當10 x時時,; 0)( xf1x時時,1x不是極值點不是極值點; 0)( xf第33頁/共45頁第三十三頁，共46頁。注意(zh y)：(1)( )0( )0fxfx第二充分條件只能在且的駐點處使用(2)第一充分條件對任意點都可以使用第34頁/共45頁第三十四頁，共46頁。( (三三) )最值的求法最值的求法若函數(shù)若函數(shù))(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，,ba上取得最大值和最小值上取得最大值和最小值.則必在xyoab求最值的方法求最值的方法(fngf):2 若函數(shù)若函數(shù))(xf在在),(ba內取得內取得最值最值，則此點一定取得，則此點一定取得極值極值1 求出最值點的存在求出最值點的存在(c

22、nzi)范疇：端點、駐點、導數(shù)不存在范疇：端點、駐點、導數(shù)不存在(cnzi)的點的點2 計算函數(shù)計算函數(shù))(xf在這些點處的函數(shù)值在這些點處的函數(shù)值; 3 比較這些函數(shù)值的大小比較這些函數(shù)值的大小,其中其中最大者最大者與與最小者最小者就是函數(shù)就是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的最大值最大值和和最小值最小值.x01 函數(shù)函數(shù))(xf可能在可能在端點端點取得最值。取得最值。說明(shumng)第35頁/共45頁第三十五頁，共46頁。1233( )(1)112f xxx求函數(shù)在， 上的最大值和例最小值.2313,3(1)xyxx解10,3yx令得01xxy當或時， 不存在.區(qū)間 -1,2 上的

23、端點，駐點，導數(shù)不存在點的函數(shù)值如下表:x()fx134001 / 334 / 310232331( 1)42(2)2xfxf 最小值點，最小值最大值點，最大值第36頁/共45頁第三十六頁，共46頁。幾種幾種(j zhn)特殊情況特殊情況:1 若若)(xf在在,ba上上單調單調, 則在則在端點處取得端點處取得最值最值.,0 x2 若若)(xf在在),(ba內內只有一個極值點只有一個極值點0 x則當則當為為極大極大(小小)值值點時點時,)(0 xf就是就是最大最大(小小)值值.第37頁/共45頁第三十七頁，共46頁。2v要做一個容積為 的圓柱形罐頭筒，怎么設計才能使例所用材料最??？要材料最省，就

24、是要罐頭筒的總表解面積最小.rh設罐頭筒的底半徑為 高為 ，則總表面積為：222Srrh22VVr hhr222(0,)VSrrr,第38頁/共45頁第三十八頁，共46頁。32222(2)4VrVSrrr302VSr令得：3344()1202VVSSr32Vr 為極小值點，唯一極小值點就是最小值點3222VVrhrr 為最小值點，此時結論：當罐頭筒的高和底直徑相等時，用料最省第39頁/共45頁第三十九頁，共46頁。注意注意(zh y): 1 在實際問題中在實際問題中, 則按實際情況進行則按實際情況進行(jnxng)判斷判斷.2 當表示該實際問題的函數(shù)當表示該實際問題的函數(shù)在所討論的區(qū)間內在所討論的區(qū)間內只有只有一個可能的極值點一個可能的極值點時時,則該實際問題一定在該點取得所則該實際問題一定在該點取得所求的最大值或最小值求的最大值或最小值.()f x第40頁/共45頁第四十頁，共46頁。12 ABvv一束光線由空氣中的 點經(jīng)過水面折射后到達水中的 點，已知光在空氣和水中的傳播速度分別為 和 ,光線在介質中總是沿著耗時最少的路徑傳播，試確定光線的例3傳播路徑。第41頁/共45頁第四十一頁，共46頁。,OPxAB設 則光線從 點傳至 解:點的時耗為：22221212()( ),xhlxhT xvv22221122( ),()xlxT xv