江蘇大學(xué)理論力學(xué)復(fù)習(xí)

1、理論力學(xué)復(fù)習(xí)理論力學(xué)復(fù)習(xí)平面剛體系統(tǒng)的平衡問題平面剛體系統(tǒng)的平衡問題基本要求基本要求盡量做到一個(gè)方程只含有一個(gè)未知量；基本思路基本思路先整體，后局部-在物系中找出約束力可直接求解的 “構(gòu)件”。2-5 2-5 物體系的平衡物體系的平衡靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題充分利用力矩方程的優(yōu)勢充分利用力矩方程的優(yōu)勢（1）矩心的選?。唬?）當(dāng)約束處于同一水平面時(shí)，應(yīng)首先考慮力矩方程；FAxFAyFDxFDyFABCD（3）當(dāng)約束處于同一豎直面時(shí)，也應(yīng)首先考慮力矩方程。四四. .常見幾種載荷及其合力的計(jì)算常見幾種載荷及其合力的計(jì)算結(jié)論： 1、合力的大小等于荷載所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與荷載的方

2、向相同。3、合力的作用線通過荷載圖形的形心（重心）。1 1、均布荷載、均布荷載qlQ 2 2、三角形荷載、三角形荷載qlQ21l/2l/2qQQ23l3lqFAyFAxFFBFEyFExFD 由AC 和CD 構(gòu)成的組合梁通過鉸鏈C 連接。它的支承和受力如圖3-13a 所示。已知q = 10 kN/m，M = 40 kN m，不計(jì)梁的自重。求支座A，B，D 的約束力和鉸鏈C 受力。例例2-172-17FAxFAyFBFD1. 力對軸的矩2. 力對點(diǎn)之的矩3. 力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系空間問題1.1.力對軸的矩力對軸的矩()()zOxyxyMMF h FF 通過投影對點(diǎn)的矩來定義的xyzOFh

3、BAabFxy()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF對稱性循環(huán)性()()()()OxyzMMMMFF iF jF k 2. 2. 力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系xy重心（形心）的計(jì)算 求圖示均質(zhì)板重心的位置。解一：（分割法）建立如圖坐標(biāo)：aaaaaaAAxAxAxC652212221221132aaaaaaAAyAyAyC65223221221221132解二：（負(fù)面積法）aaaaaaaAAxAxAxC65222322212211)(4)(4aaaaaaaAAyAyAyC65222322212211)(4)(4 x y a a a a C

4、1 C2 O x a a a a C2 C1 O y含摩擦?xí)r物體的平衡問題 分析思路與沒有摩擦的情況大致相同，但要注意對摩擦力的分析，特別是摩擦力的大小和方向。 1. 臨界平衡狀態(tài)分析臨界平衡狀態(tài)分析（a） 應(yīng)用 Fmax = fsFN 作為補(bǔ)充方程,（b） Fmax的方向不能任意假定，必須是真實(shí)的方向（此時(shí)，F(xiàn)max和FN相互關(guān)聯(lián)）。2. 非臨界平衡狀態(tài)分析非臨界平衡狀態(tài)分析（a） 應(yīng)用 0 FsFmax，則物體無法平衡，應(yīng)利用動(dòng)摩擦力公式計(jì)算物體受到的摩擦力；FN1Fs1FN2P2點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)7.1 相對運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng)在分析合成運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須選定兩個(gè)參考系，即定系和動(dòng)系，同時(shí)還要區(qū)分三

5、種運(yùn)動(dòng)，即絕對運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)： 1. 絕對運(yùn)動(dòng)-動(dòng)點(diǎn)相對于定系的運(yùn)動(dòng)； 2. 相對運(yùn)動(dòng)-動(dòng)點(diǎn)相對于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)； 3. 牽連運(yùn)動(dòng)-動(dòng)系相對于定系的運(yùn)動(dòng)。說明：說明：絕對運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)指的是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 2. 牽連運(yùn)動(dòng)指的是剛體的運(yùn)動(dòng)例如，直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)例如，平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)等絕對速度相對速度牽連速度絕對速度、加速度、軌跡絕對速度、加速度、軌跡 動(dòng)點(diǎn)相對于定系的速度、加速度和軌跡，分別稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對速度va、絕對加速度aa和絕對軌跡。 相對速度、加速度、軌跡相對速度、加速度、軌跡 動(dòng)點(diǎn)相對于動(dòng)系的速度、加速度和軌跡，分別稱為動(dòng)點(diǎn)的相對速度vr、相對加速度ar和相對軌跡 。牽連點(diǎn)

6、：動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)。注意：它是動(dòng)注意：它是動(dòng)系上的一點(diǎn)系上的一點(diǎn)絕對速度相對速度牽連速度牽連速度、加速度牽連速度、加速度動(dòng)系正是通過牽連點(diǎn)對動(dòng)點(diǎn)起著“牽連、連帶” 作用。牽連點(diǎn)牽連點(diǎn)的速度速度和加速度加速度分別稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連牽連速度速度 (用ve表示)和牽連加速度牽連加速度 (用ae表示)(1) 選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的基本原則 動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系應(yīng)分別選擇在兩個(gè)不同的剛體上。 動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇應(yīng)使相對運(yùn)動(dòng)的軌跡簡單直觀。(2) 動(dòng)點(diǎn)選取的基本方法 若系統(tǒng)存在持續(xù)接觸點(diǎn)持續(xù)接觸點(diǎn)，那么通常情況下，選取持續(xù)接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。 若系統(tǒng)不存在持續(xù)接觸點(diǎn)，則按原則（1）處理。點(diǎn)的速度合成定理aerVVV A 點(diǎn)

7、點(diǎn) (AB桿桿)OC桿桿沿沿AB的直線運(yùn)動(dòng)的直線運(yùn)動(dòng)沿沿OC的直線運(yùn)動(dòng)的直線運(yùn)動(dòng)繞繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)系：動(dòng)系：絕對運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng):相對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng):牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)系：動(dòng)系：絕對運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng):相對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng):牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng): C 點(diǎn)點(diǎn) (偏心輪偏心輪)頂桿頂桿AB繞繞O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)豎直方向的平動(dòng)豎直方向的平動(dòng)點(diǎn)的加速度合成定理1. 當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，aer aaaaerCaaaa2. 當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 工程中常見的平面機(jī)構(gòu)，w we和vr往往是垂直的，也就是說，動(dòng)系角速度的作用面和相對速度共面，此時(shí)：科氏加速度科氏加速

8、度vrw weaC的大小 - aC=2evraC的方向 - 將vr按動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)的方向旋轉(zhuǎn) 90aC例例2 圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，圓弧軌道的半徑圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，圓弧軌道的半徑ROA10 cm，已知，已知曲柄繞軸曲柄繞軸O以勻速以勻速 n120 rpm轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng) j j30時(shí)，滑道時(shí)，滑道BC的速度和加速度。的速度和加速度。 njROO1ABCDjve4rad/s30nw125.6cm/s125.6cm/seraBCevvvOAvvw解：動(dòng)點(diǎn)：解：動(dòng)點(diǎn)： 動(dòng)系：動(dòng)系： 絕對運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng): : 相對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng): : 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng): : A A點(diǎn)（曲柄點(diǎn)（曲柄OAOA） 滑道滑道BCBC

9、勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng) 直線平動(dòng)直線平動(dòng)aervvv大小大小 ？ ？方向方向 vavr速度分析速度分析:E由三角幾何關(guān)系易知由三角幾何關(guān)系易知OO1ABCDjBC的加速度分析：的加速度分析：12030hAartaearnaan222r1125.61579 cm/s10nrvaO A222(4 )101579 cm/snaaOAwnntaerraaaa將所有加速度矢向h軸投影 nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/snBCaaaanaer:cos60cos30naaah artarnaanae大小大小 ？ ？方向方向

10、12030hA絕對運(yùn)動(dòng)：絕對運(yùn)動(dòng)： 勻速勻速圓周運(yùn)動(dòng)；圓周運(yùn)動(dòng)；相對運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：相對運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：直線直線平動(dòng)平動(dòng)例例3 偏心凸輪的偏心距偏心凸輪的偏心距OCe、半徑為、半徑為 ，以勻角速度，以勻角速度w w繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿桿AB能在滑槽中上下平動(dòng)，桿的端點(diǎn)能在滑槽中上下平動(dòng)，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。成一直線。求在求在OC與與CA垂直時(shí)從動(dòng)桿垂直時(shí)從動(dòng)桿AB的速度和加速度。的速度和加速度。3ReABOCwqevOAw32 3tan33aeevvOAwqw243cos332erveevwwq解：解：aervvv方向方向速度分

11、析速度分析:運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析:大小大小vrvave動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)系：動(dòng)系：絕對運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng):相對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng):牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng):A點(diǎn)（點(diǎn)（AB桿）桿） 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)凸輪凸輪？由三角幾何關(guān)系可知由三角幾何關(guān)系可知科氏加速度的科氏加速度的 大小和方向？大小和方向？hABOCwq加速度分析加速度分析arnartaCaaaen222neaAOeww22163 3nrrveaRw24 38 32233CreeavwwwwcoscosnnaerCaaaaqq2222231682( 2)2933 33aeeaeewwww ntnaerrcaaaaa將所有加速度矢向?qū)⑺?/p>

12、加速度矢向軸投影：軸投影：絕對運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng):直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) （勻速）（勻速）相對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng):圓周運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)。大小大小方向方向？vr求求AB桿的桿的加速度加速度 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。結(jié)論MOMOvvv其中，MOMOwv求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法 (1) 平面圖形沿一固定表面作無滑動(dòng)的滾動(dòng)（只滾不滑），圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。vC求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法 (2) 已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每點(diǎn)速度的垂線的交線上。 wOvAABvBCwAB (3)

13、 某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等, 如圖所示，圖形的速度瞬心在無窮遠(yuǎn)處。此時(shí)，圖形上各點(diǎn)速度均相同，稱為瞬時(shí)平動(dòng)瞬時(shí)平動(dòng)。wOvAABvB用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度tnBABABA aaaa,tBAaAB其中，2nBAaABw平面運(yùn)動(dòng)加速度合成的基點(diǎn)法：vAvBDvCvA動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué)動(dòng)量定理動(dòng)量定理1. 動(dòng)量定理動(dòng)量定理2. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理Cmpv質(zhì)點(diǎn)系（或剛體）的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系（或剛體）的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的計(jì)算質(zhì)量中心（質(zhì)心）i ii iCimmmmrrr定義質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心 (質(zhì)心) C 的矢徑iiiiCiiiii

14、CiiiiiCim xm xxmmm ym yymmm zm zzmm質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（投影式）(e)(e)(e)ddddddyxzxyzpppFFFttt 該定理一般用來求約束力，并且通常以整體作為研究對象。(e)ddddmtt pvF質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（矢量式）2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(e)Cm aF直角坐標(biāo)上投影式(e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF 自然軸上投影式(e)t(e)n(e)b0tCnCmaFmaFF 3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理(e)Cm aF(e)CxxmaF (e)0F(e)0 xF若則質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒；則質(zhì)心在x軸方向運(yùn)動(dòng)守恒。若xyabxABy動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué)動(dòng)量矩定理動(dòng)量

15、矩定理1. 動(dòng)量矩的計(jì)算動(dòng)量矩的計(jì)算2. 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理3. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程4. 平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)系（剛體）動(dòng)量矩的計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系（剛體）動(dòng)量矩的計(jì)算（1 1） 剛體平移剛體平移（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)wzzJLrwOAvm（3 3）剛體平面運(yùn)動(dòng)）剛體平面運(yùn)動(dòng)PACvCmROCCCLrmvL 平面運(yùn)動(dòng)剛體對任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩，等于隨質(zhì)心平移時(shí)對O點(diǎn)的動(dòng)量距加上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量距。OLrmv(e)1d()dnOOiitLMF 質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對于O點(diǎn)矩的矢量和（外力對點(diǎn)O的主距）。

16、(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF在應(yīng)用時(shí)，常取直角坐標(biāo)投影式：動(dòng)量矩和力矩的符號可以任意設(shè)正，但兩者必須要統(tǒng)一，不能混合假定。一般用來求和轉(zhuǎn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)動(dòng)問題相關(guān)的運(yùn)動(dòng)，如角加速度、加速度等。FyFxmAgmBgMgvAvB 11-3 11-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程12,nF FF主動(dòng)力主動(dòng)力: :約束力約束力: :21NN,FFd()dzziJMFtw 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFtj 或或轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 eee()CxxCyyCCmaFmaFJMF etene()CtCnCCmaFmaFJM

17、F 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程的投影式剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程的投影式說說 明明（1）C點(diǎn)必須是質(zhì)心，否則結(jié)果一般不成立；（2）通常要配合補(bǔ)充方程聯(lián)合使用； ee()CCCmaFJMF （3）補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：一般來自于質(zhì)心加速度和角加速度之間的關(guān)系，常見的有 ac=R 和 act=R 等，以及摩擦力與法向約束力之間的關(guān)系。 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程1) 重力的功1212()Wmg zz1 常見力的功動(dòng)能定理M1M2Mmgz1z2Oxyz單個(gè)質(zhì)點(diǎn)1212()CCWmg zz質(zhì)點(diǎn)系2) 彈性力的功A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr常見力的功)(21222112ddkW彈性力作的功只與彈簧在

18、初始和末了位置的變形量（變形量的平方差）有關(guān)，與力的作用點(diǎn)A的軌跡形狀無關(guān)。3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功常見力的功ttddddzWFsF RMjjFr =FtFrFbFnOzO1Aq力F在剛體從角j1轉(zhuǎn)到j(luò)2所作的功為2112dzWMjjjMz可視為作用在剛體上的力偶距 靜摩擦力不作功，滑動(dòng)摩擦力作負(fù)功。當(dāng)輪子在固定面上純滾動(dòng)時(shí)，F(xiàn)SF摩擦力作功 摩擦力不作功。FCFSFCFS (1) 平動(dòng)剛體的動(dòng)能2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的計(jì)算=212CTm v (2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能212zTJw(3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能212PTJw222121wCCJmvT(a) 對每瞬時(shí)來說，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以視為繞速

19、度瞬心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，p 是剛體的速度瞬心(b) 剛體的平面運(yùn)動(dòng)由隨質(zhì)心的平移與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分組成。C243CmvT 牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能:均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能2CTm v=O只要是純滾動(dòng)（沿地面，沿繩子等），計(jì)算公式不變。2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi，則這樣的方程共n個(gè)，相加得2221121122iiimvmvW 于是1212WTT質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過程中所作的功之和。一般用來求運(yùn)動(dòng)（如速度、角速度、加速度、角加速度等），特別是和路程有關(guān)的運(yùn)動(dòng)。

20、2221121122iiimvmvW2222111212iiiTmvTmv 令3.剛體作平面運(yùn)動(dòng) （向質(zhì)心簡化）達(dá)朗貝爾原理- 慣性力系的簡化主矢：IRCm Fa=ICCMJ 主距：2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（向軸與質(zhì)量對稱面的交點(diǎn)簡化）主矢：I()tnRCCCmm Faaa=IOMJ 主距：1.剛體平動(dòng)（向質(zhì)心簡化）主矢：IRCm Fa=0ICM 主距：解：解：質(zhì)心的加速度：22nclaw,2tcla2ttICClFmam22nnICClFmamw213IOOMJml方向及作用線位置如圖所示。 actacn所以，主矢的大小：主距的大?。悍较蛉鐖D所示。FtIOFnIOMIOOABaa例例13-2：如圖所示均：如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長，長為為a，繞定軸，繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為角速度為 ，角加速，角加速度為度為 。w求：慣性力系向點(diǎn)簡化的結(jié)果求：慣性力系向點(diǎn)簡化的結(jié)果（方向在圖上畫出）。（方向在圖上畫出）。wDBA 例例3 如圖所示如圖所示, 均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB的質(zhì)量的質(zhì)量m40 kg, 長長l4 m, A點(diǎn)以鉸鏈點(diǎn)以鉸鏈連接于小車上。不計(jì)摩擦連接于小車上。不計(jì)摩擦, 當(dāng)小車以加速度當(dāng)小車以加速度a