不等式的性質(zhì)與不等式證明ppt課件

1、1不等式的定義：不等式的定義： 假設(shè)假設(shè) baba 0baba 0baba 0；2不等式的性質(zhì)：不等式的性質(zhì)： 推論：假設(shè)推論：假設(shè)ab，且，且cd，那么，那么a+cb+d同向，可加性同向，可加性1 對稱性對稱性abba 2 傳送性傳送性cacbba ,3 加法不變性加法不變性cbcaba 4 ；bcaccba 0,bcaccba 0,乘法單調(diào)性乘法單調(diào)性3不等式的證明的方法：不等式的證明的方法：比較法、綜合分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等比較法、綜合分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等推論推論1：假設(shè)：假設(shè)ab0，且，且cd0，那么，那么acbd 推論推論2：假設(shè)：假設(shè)ab0，那么，那么 ，且，且 n1

2、 推論推論3：假設(shè)：假設(shè)ab0，那么，那么 ，且，且 n1 NnnN nnab nnab 1了解不等式的性質(zhì)，可以對性質(zhì)進(jìn)展證明了解不等式的性質(zhì)，可以對性質(zhì)進(jìn)展證明4能根據(jù)不等式的性質(zhì)斷定一些命題或知不等式的正確能根據(jù)不等式的性質(zhì)斷定一些命題或知不等式的正確 錯誤，能正確運(yùn)用特殊值法，判別不等式的正誤錯誤，能正確運(yùn)用特殊值法，判別不等式的正誤 3掌握證明不等式的幾種根本方法，會證明一些簡單的不掌握證明不等式的幾種根本方法，會證明一些簡單的不等式等式2掌握兩個不擴(kuò)展到三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它掌握兩個不擴(kuò)展到三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它 們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的運(yùn)用們的幾何平均數(shù)的定理

3、，并會簡單的運(yùn)用假設(shè)假設(shè)a、b、c滿足滿足cba且且ac0，那么以下選項，那么以下選項中不一定成立的是中不一定成立的是 104北京北京Dac(ac)0Bc(ba)0AabacC22cacb c(ba)0正確正確 分析：分析：ac0闡明闡明a、c異號，又異號，又cba a0，c0Abc，a0 abac正確正確Bc0，ba0D中中ac0，ac0 ac(ac) 0正確，只需正確，只需C中中ba，由于，由于b未闡明能否大于零未闡明能否大于零 不一定成立不一定成立c0，22ab 那么那么 也不一定成立也不一定成立22cacb 選選C 設(shè)設(shè)a0，b0，那么以下不等式中不恒成立的是，那么以下不等式中不恒成立

4、的是 204湖南湖南2332abba Bbaba22222 Cba|ba| D411)( babaAa0，b0分析：分析：abba2 abba1211 ， A成立成立 那么那么412211)( ababbaba又又 aa212 bb212 ，baba22222 C成立成立又又 時，時， ， ，ba ba baba )(兩邊平方得兩邊平方得 顯然成立顯然成立bab D成立成立在在B中，中， 0)(0222323 bababaabbaba假設(shè)假設(shè)ab，那么，那么ab0 應(yīng)恒成立應(yīng)恒成立 022 baba但從上式看出，但從上式看出，a與與b之間尚有制約性之間尚有制約性 選選B 304湖北湖北A1lo

5、ggl aboba假設(shè)假設(shè) ，那么以下不等式中不正確的選項是，那么以下不等式中不正確的選項是 ba111 ababbabaloglogloglog D1)l (2 aogbC2logl abogbaB分析：分析：ba111 0ba1 ， A，B顯然成立顯然成立 0log, 0l abogbaba1， ，那么成立，那么成立 )1 , 0(l aogb假設(shè)令假設(shè)令 21,41 ab檢驗，檢驗，D不成立不成立選選D 假設(shè)假設(shè) ab0，那么以下結(jié)論中正確的命題是，那么以下結(jié)論中正確的命題是 499上海上海A 和和 均不能成立均不能成立b1a1 ba11 B 和和 均不能成立均不能成立bba11 ba1

6、1 C 和和 均不能成立均不能成立aba11 22)1()1(abba D 和和 均不能成立均不能成立 ba11 22)1()1(abba 分析：分析：ab0 b1a10 ，各，各A、B、D中的中的 不能成立不能成立ba11 ba11 又又b0，b0aba 又又ab0， aba11 C中中 不成立不成立 aba11 又又ab0，011 ab011 abba那么那么 成立成立 22)1()1(abba 對于對于 假設(shè)成立，那么假設(shè)成立，那么abb0 bba11 a2b0這個結(jié)論不一定成立，這個結(jié)論不一定成立，因此，只需因此，只需B中兩個結(jié)論均不成立中兩個結(jié)論均不成立 選選B 設(shè)設(shè) a，b為實數(shù)，

7、那么為實數(shù)，那么 ab0 是是 501上海春上海春A充分不用要條件充分不用要條件B必要不充分條件必要不充分條件C充要條件充要條件D不充分也不用要條件不充分也不用要條件C22ab 22ab 分析：分析：有條件有條件ab0，可推出，可推出 ， 22ba 但從但從 不一定能推出不一定能推出ab0，只能是，只能是 22ba ba 條件條件ab0只能定只能定 的充分不用要條件的充分不用要條件 22ba 選選A1留意不等式的性質(zhì)中左側(cè)表示實數(shù)的運(yùn)算留意不等式的性質(zhì)中左側(cè)表示實數(shù)的運(yùn)算 性質(zhì)，右式反映的是實數(shù)的大小順序，合性質(zhì)，右式反映的是實數(shù)的大小順序，合 起來即為實數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的起來即為實數(shù)

8、運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的 關(guān)系這是不等式一章的實際根底，是不關(guān)系這是不等式一章的實際根底，是不等等 式性質(zhì)的證明，證明不等式和解不等式的式性質(zhì)的證明，證明不等式和解不等式的主主 要根據(jù)要根據(jù)2比較兩個實數(shù)比較兩個實數(shù)a與與b的大小，歸結(jié)為判別它的大小，歸結(jié)為判別它 們的差們的差ab的符號，這又必然歸結(jié)到實數(shù)的符號，這又必然歸結(jié)到實數(shù) 運(yùn)算的符號法那么因此，實數(shù)運(yùn)算的符運(yùn)算的符號法那么因此，實數(shù)運(yùn)算的符號號 法那么是學(xué)習(xí)不等式的根底法那么是學(xué)習(xí)不等式的根底3復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時，要留意將不等式復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時，要留意將不等式 的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類比留意它們之的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類比留意它們之 間的

9、區(qū)別，主要表如今與數(shù)相乘除間的區(qū)別，主要表如今與數(shù)相乘除 時，不等式兩邊所乘除的數(shù)的符號時，不等式兩邊所乘除的數(shù)的符號 不同，結(jié)論是不同的不同，結(jié)論是不同的4在均值不等式的復(fù)習(xí)中，在均值不等式的復(fù)習(xí)中， 與與 成立的條件是不同的前成立的條件是不同的前 者只需求者只需求a，b為實數(shù)，而后者要求為實數(shù)，而后者要求a，b 為正數(shù)，這兩個公式都是帶有符號的不為正數(shù)，這兩個公式都是帶有符號的不 等式因此對其中等式因此對其中“當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)時取時取 號這句話的含義要搞清楚號這句話的含義要搞清楚 abba222 abba 25能利用能利用“均值不等式證明的不等式，均值不等式證明的不等式，用用 其它證明方法

10、一樣可證因此，均值不其它證明方法一樣可證因此，均值不 等式就是利用這些方法證明的，要利用等式就是利用這些方法證明的，要利用 均值不等式求函數(shù)的極值時，一定要注均值不等式求函數(shù)的極值時，一定要注 意不等式運(yùn)用的條件及等號能否成立，意不等式運(yùn)用的條件及等號能否成立， 不可亂用不可亂用6不等式證明的方法很多，要留意恰中選不等式證明的方法很多，要留意恰中選 擇方法，可使證明簡化擇方法，可使證明簡化例例1知知aDaCaBaAa 11,11,1,1, 02122比較比較A、B、C、D的大小的大小 分析：分析： 此題調(diào)查兩個實數(shù)的大小，假設(shè)兩個兩個相比較，需此題調(diào)查兩個實數(shù)的大小，假設(shè)兩個兩個相比較，需比較

11、比較 次，運(yùn)算量比較大由于給定次，運(yùn)算量比較大由于給定，所以可令，所以可令 采用特殊值方法，先猜出大小，采用特殊值方法，先猜出大小，再證再證 624 C021 a41 a解：解： ，令令 021 a41 a由此知由此知 54,34,1615,1617 DCBA可猜測可猜測CABD a143)21a(aa11aaa)a1(a11AC222 0, 01 aa043)21(2 aCA02)1()1(222 aaaBA ABa145)21a(aa1)1aa(aa11a1DB222 021 a01 a BD045)2121(45)21(22 a綜上：綜上：CABD 此題我們采用了賦值法特此題我們采用了賦

12、值法特殊值法，先行猜測，使問題得殊值法，先行猜測，使問題得以簡化、明朗留意賦值法是解以簡化、明朗留意賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法，選擇題、開放題等常用的方法，它可將復(fù)雜問題簡單化，是我們它可將復(fù)雜問題簡單化，是我們常用的數(shù)學(xué)思想常用的數(shù)學(xué)思想 例例2設(shè)設(shè) ，且，且 ，試比較，試比較 與與 的大小的大小 0, 0 baba babaabba分析：分析： 比較兩個數(shù)的大小，可用比較兩個數(shù)的大小，可用“作差比較法、作差比較法、“作商比較法作商比較法前者依托前者依托 AB 與與 0 的關(guān)系判別的關(guān)系判別 A，B 大小，而后者那么靠大小，而后者那么靠 b0與與 1 的關(guān)系來確定的關(guān)系來確定 a，

13、b大小，前者適用于多項式型，大小，前者適用于多項式型，后者適宜指數(shù)型或?qū)?shù)性此題適宜用作商比較，利用同底數(shù)后者適宜指數(shù)型或?qū)?shù)性此題適宜用作商比較，利用同底數(shù)冪的運(yùn)算法那么冪的運(yùn)算法那么 ba解：解： baabbaabbababababa 當(dāng)當(dāng) ab0 時，時， ，ab0，1 ba所以所以 abbababa 1baba 那么那么 ，當(dāng)當(dāng) ba0時，時， ，ab0，10 ba abbababa 綜上所述，對于不相等的正數(shù)綜上所述，對于不相等的正數(shù) a、b 都有都有 abbababa 1baba 那么仍有那么仍有 ， 運(yùn)用作商比較時，一定要留運(yùn)用作商比較時，一定要留意意a0、b0，解題的關(guān)鍵在，解

14、題的關(guān)鍵在于變形的第二步，得于變形的第二步，得出出 留意討論留意討論ab，還是，還是ba，普，普通說來，變形越徹底越有利于下通說來，變形越徹底越有利于下一步的判別一步的判別 baba 例例3解答以下各題：解答以下各題： 1知：知： ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值的最大值 45 x54124 xxy2知：知： ，且，且 ，求，求 的最小值的最小值 0, 0 yx191 yxyx 3知：知：a、b為實常數(shù)，求函數(shù)的為實常數(shù)，求函數(shù)的 最小值最小值 22)()(bxaxy 1知：知： ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值的最大值 45 x54124 xxy分析：分析：由于由于 ，所以首先要調(diào)整符號，又由于，所以首

15、先要調(diào)整符號，又由于不是常數(shù)，所以對不是常數(shù)，所以對 要重新要重新“配湊配湊054 x541)24( xx24 x解：解：45 x054 x045 x 54124 xxy1323)45145( xx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 1)45( ,451452 xxx145 x1, 44 , 145 xxx23, 64 , 145 xxx不滿足不滿足 條件條件 454 xx =1 時，時，y 有最大值有最大值 1 2知：知： ，且，且 ，求，求 的最小值的最小值 0, 0 yx191 yxyx 分析：分析： 此題的困難在于如何運(yùn)用條件此題的困難在于如何運(yùn)用條件 ，假設(shè)從中解出，假設(shè)從中解出x或或y，再代入，再代

16、入xy轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題顯然是比較復(fù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題顯然是比較復(fù)雜的，這時我們可以思索整體運(yùn)用條件雜的，這時我們可以思索整體運(yùn)用條件 191 yx解法一：解法一： 0y, 0 x 191 yx 16106 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，且，且 yxxy9 191 yx即即 x = 4，y = 12 故故 x = 4，y = 12 時時 16/ )yx(min 10yx9xy210yx9xy 19() ()xyxyxy 解法二：由解法二：由 ，得，得 定值定值 191 yx9)9)(1( yx又知又知 x1，y9，即即 x = 4，y = 12 時，時， 16/ )yx(min 所以當(dāng)且僅當(dāng)

17、所以當(dāng)且僅當(dāng) x1y93 時，時， 3知：知：a、b為實常數(shù)，求函數(shù)的為實常數(shù)，求函數(shù)的 最小值最小值 22)()(bxaxy 分析：分析： 從函數(shù)的解析式的特點看，此題可以展開解為從函數(shù)的解析式的特點看，此題可以展開解為關(guān)于關(guān)于x的二次函數(shù)，再經(jīng)過配方求其最小值但假設(shè)的二次函數(shù)，再經(jīng)過配方求其最小值但假設(shè)能留意到能留意到xabx為定值，利用變形不為定值，利用變形不等式等式 即可使此題得解即可使此題得解 222)2(2nmnm 解：解： 22)bx()ax(y 222)2xbax()xb()ax( 當(dāng)當(dāng) ，即，即 時，時， xbax 2bax 2min()2aby 2()2ab 從以上三個小題

18、，可知從以上三個小題，可知“均值均值不等式的運(yùn)用，留意了不等式的運(yùn)用，留意了“和和“積的轉(zhuǎn)換，到達(dá)了積的轉(zhuǎn)換，到達(dá)了“放縮目放縮目的解題時要創(chuàng)設(shè)運(yùn)用均值不等式的解題時要創(chuàng)設(shè)運(yùn)用均值不等式的條件，合理拆分項或配湊因式是的條件，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號可以成立另外還要留在于使等號可以成立另外還要留意意“和定積最大，積定和最小和定積最大，積定和最小 bnam1 nmba例例4知知a、b、m、n均為正數(shù)，且均為正數(shù)，且 ，比較，比較與與 的大小的大小nbma 比較兩個數(shù)式的大小，留意利用不等式的性質(zhì)，比較兩個數(shù)式的大小，留意利用不等式

19、的性質(zhì)，靈敏運(yùn)用知條件，此題可采用作差比較法靈敏運(yùn)用知條件，此題可采用作差比較法 分析：分析：解：解： )nb(bn)ma(bn)nb(amnbmabnam )nb(bnbmnabnamnabm )()()(nbbnbamnnmab ，且，且a、b、m、n均正均正 1, 1 nmbaab，mn 即即 0nm, 0ba 故上式分子中故上式分子中 0)(, 0)( nmabbamn 分子分子0，分母，分母00 nbmabnam那么那么即即 nbmabnam 如今試題中如今試題中“不等式證明很不等式證明很少，改為在一定條件下比大小，其少，改為在一定條件下比大小，其解題方法仍同于不等式的證明只解題方法

20、仍同于不等式的證明只不過未確定大小特別留意作差不過未確定大小特別留意作差比較法中，代數(shù)式的恒等變形分比較法中，代數(shù)式的恒等變形分解因式，乘法公式的運(yùn)用解因式，乘法公式的運(yùn)用 例例5設(shè)設(shè)p0，q0 且且 ，那么，那么pq2 233 qp分析：欲證分析：欲證pq2，可從其反面入手，證明，可從其反面入手，證明pq2是不能夠的是不能夠的 證：設(shè)證：設(shè)pq2，由，由 33332)(3)( qppqqpqp ， 6)(3 qppq2)( qppq而而 )(22233qpqpqpqp pq2 22qpqppq 即即 0)(2 qp 是不能夠的，是不能夠的， 0)(2 qppq2也是不能夠的，也是不能夠的，2

21、 qp那么那么 解后思索：在證明不等式或比大小時，可以直接證明，也解后思索：在證明不等式或比大小時，可以直接證明，也 可以利用間接證明的方法，如反證法，從另一可以利用間接證明的方法，如反證法，從另一 個角度思索，證明有時可以獲得更佳的效果個角度思索，證明有時可以獲得更佳的效果 例例 6設(shè)設(shè)abc1， ，且，且abc，1222 cba031 c求證：求證： 根據(jù)根據(jù) a、b、c 滿足的條件，聯(lián)想到用方程的判別式求滿足的條件，聯(lián)想到用方程的判別式求解，由于給了三個數(shù)的和，三個數(shù)平方的和，而要證的是解，由于給了三個數(shù)的和，三個數(shù)平方的和，而要證的是其中一個數(shù)的取值范圍，所以可用方程思想求解，想到判其

22、中一個數(shù)的取值范圍，所以可用方程思想求解，想到判別式別式分析：分析：證明：證明：abc1 ab1c 22222211cbacba 平方，得平方，得 ccabba212222 代入得代入得 ccabc212122 ccab 2從從ab1c， ，聯(lián)想到，聯(lián)想到a、b為方程為方程ccab 2的兩實根，又的兩實根，又abc 0)1(22 ccxcx 設(shè)設(shè) ，ccxcxxf 22)1()( 0)(210cfcc那么那么即即 0)1(2104)1(2222ccccccccc解出解出 031 c 留意不等式與函數(shù)，方程留意不等式與函數(shù)，方程之間的聯(lián)絡(luò)，把不等式的證明之間的聯(lián)絡(luò)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為求一個字母

23、轉(zhuǎn)化為求一個字母 c 的取值范的取值范圍，使證明變得更加靈敏圍，使證明變得更加靈敏 1以下命題正確的選項是以下命題正確的選項是 A假設(shè)假設(shè)babcac B假設(shè)假設(shè)baba 22C假設(shè)假設(shè)baba 11D假設(shè)假設(shè) baba 2知知 ，那么，那么10 babaaabb1log,log,關(guān)系是關(guān)系是 的大小的大小Aaabbbaloglog1 Bbbaaab loglog1Cbababa 1loglogDabababloglog1 3不等式不等式 與與 能同時成立的充要條件是能同時成立的充要條件是 ba ba11 A0 baBba 0C011 abD011 baD正負(fù)不能確定正負(fù)不能確定C能夠是能夠是0B一定是負(fù)數(shù)一定是負(fù)數(shù)A一