二次根式的有關概念及性質

1、二次根式的有尖概念及性質一、二次根式的有尖概念：1 .二次根式：式子(a> C叫做二次根式2最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式;(1) 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)'因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。，；不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù),乂如占，炳,撫+都不是最簡二次根式,( 爲72x , 5械都是最簡二次根式3同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被幵方數(shù)相同，這幾個二次根 式就叫做同類二次根式。如 爲，忑，應就是同類二次根式，因為=2j，=3，它們與I 的被開方數(shù)均為2。4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)

2、式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩 個代數(shù)式互為有理化因式。如 爲與爲,a+喬與亠喬，逅血1朋+浙，互為有理化因 式。、二次根式的性質:個非負數(shù),2.非負數(shù)的算術平方根再平方仍得這個數(shù)，即:C，' )2=a(a > 0)fa(a>0)3.某數(shù)的平方的算術平方根等于某數(shù)的絕對值，即丄'=I a | = | ' '-114.非負數(shù)的積 即僅a>0,b>)的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積,lk = i5.非負數(shù)的商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根，即(a> O,b>0三、例題：例1.X為何值

3、時，下列各式在實數(shù)范圍內才有意義：a/3-x”RV(3)-1VS：_(5)I(6)+，.TT分析：這是一組考察二次根式基本概念的問題，要弄清每一個數(shù)學表達式的含義，根據(jù)分式和根式成立的條件去解，即要考慮到分式的分母不能為0并且偶次根號下被開方數(shù)要大于或等于人零0解：(*!)6-x>0,- x<6時原式有意義。22(2) t X > 0,- X +3>0,X取任意實數(shù)原式都有意義。f3-x>0 fx<3 | 3屮|主oV#3當x<3且xH3時原式有意義。pz+3>0.t-2x+5>035當<XVI時，原式有意義。tx>°

4、-UX-I# 0.當xR且XH時，原式有意義。(6)反220 fx>2 一二 x=2當x=2時，原式有意義。例2寫岀下列各等式成立的條件：(1) 9乂2 =-3x(3) (乃+ 疔=i+2a(5)J.-. L-T =7分析：本題考察算術平方根的概念及二次根式的性質。解:(1)= I 3x | =-3x,-3x> 0, 3x< 0, x< 0.mn<0,成立，隱含rri>0,m>0 且 n<0.T廠一 =| 2a+1=1+2a2(4) 由題意得/-in u! x+i>oI lx>0x>l%cx<-l I x>-lZ&l

5、t;1 x=±1.(5) -.- J*+l(% +25 J44x+/一x+5 I - I 2-x | =7 只有I x+5 | =x+5, | 2-x I =x2 時才成立,Z+5>0例3化簡下列各式:(1) '鳶(2) a2 j ： ： (m<0)(3)一二 + I 2-x I + 上 一 r (2<x<3)口廠1 (5) (x-y) : = + 廠”x-2>0 S? x>2( 7) J16-8x + x2 + 腫 + 2x + l分析：=-n.在二次根式化簡的題目中，若有已知條件或隱含條件，則根據(jù)已知或隱含條件化簡，若沒有已知條 件或隱

6、含條件時，則必須加以討論，特別是對于開方后式中有兩個絕對值以上的題目，要采取零點分段的 方法逐一加以考慮。解：(1 ) 兀 >3, J ;：J(yvO)g(2) t mvO,要使丫 8有意義、則avO,(3)t 2<x<352-x | + | 2-x+ I x-3=x-2+x-2+3-x=x-1.3x-I(x>-)(4)= | 3x-1 | =在這里我們分3x-1>0或3x-1<0兩種情況進行了討論。(5) (x-y) % + .rT V-原式=(xy)_：，+lxy|x-yy-x廬+y-x 二+y-x.y<0,'原式二：' =2|Xy

7、l J1 + 3X2 =- Jl + 3x'I當xR時，原式當xvO時，原式=2xy=I 4-x | + | x+1 I即分若丨4x丨=0,則x=4;若I x+1 | =0則，則本題需要將X的取值分成三段， 1<x<4,X>4三段來進行討論。當 x<-1 時，原式=4-x+(-x-1 )=4-x-x-1 =3-2x.當-1<x<4 時原式=4-x+x+1=5.當 x»4 時原式=x-4+x+1= 2x-3.例4把根號外的因式移至根號內:(1) 2(4) x | (X< 0)5匸(5) a分析：本題需逆用性質yh| ： （ a>O,b N只能將根號外的正因式移至根號內解:(2)(3) 0, A m = J .二<(X < 0) A X一"' _p(5) V a 成立，隱含 a<0,6-2 +j2-x例5. （1）已知：y仁3，求：x+2y的值求：X2+y2的值分析：（1）觀察已知條件，等式右邊有兩個根式，要使兩個根式有意義，則x=2 ,a y=1,從而可求岀x+2y的值fx-2>02-x>0（1）解：由已知可得:當 x=2,