江蘇省常熟市2020屆高三階段性抽測三數學試題

1、江蘇省常熟市2020屆高三階段性抽測三數學試題一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置 上.)1 .已知集合 A= xx 2 , B= xx(x 4) 0 ,則(.A) I B =.2 .若i是虛數單位，復數 z= (a+i)(1 +2i)是純虛數，則實數 a的值為.3 .某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150, 150, 400, 300名學生.為了解學生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)中抽取60名學生進行調查，則應從丁專業(yè)抽取的學生人數為.4 .根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果I為.5 .將一枚質地均勻且各面分別標有數字1, 2,

2、 3, 4的正四面體連續(xù)拋擲兩次，記面朝下的數字依次為a和b,則點(a, b)在直線y=2x上的概率為 .6 .已知Sn為數列an的前n項和，若 & 2a° 2 ,則S5 S4 =.7 .阿基米德(公元前 287年一公元前212年)，偉大的古希臘哲學家、數學家和物理學家， 他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內切球的八 2 ，2,、體積是圓柱體積的 一，并且球的表面積也是圓柱表面積的 一”這一完美的結論.已知某33圓柱的軸截面為正方形，其表面積為24兀，則該圓柱的內切球體積為 . 一3 8 .已知x軸為曲線f(x) 4x 4(a 1)x 1的切

3、線，則實數 a的值為uur9 .如圖，已知正方形 ABCD的邊長為2,點P是半圓O上一點(包括端點 A, D),則PAumPB的取值范圍是.10.已知函數f(x) e ' x a的最小值為e(e為自然對數的底數)，則f (2) f(ln2) ex, x a1/1. c. 2r.11 .已知正實數a, b滿足a 1,且一b 2t 7t恒成立，則實數t的取值范圍為 b a2 .一 x12.已知橢圓C:a2yY1(a>b>0)的焦點為Fi, F2,如果橢圓C上存在一點P,使得b2uuu uuu 一PF, PF， 0,且 PF1F2的面積等于4,則ab的取值范圍為 22X V222

4、13.如圖,把半橢圓: 2r 1(x>0)和圓弧：(x 1) V a (XV 0)合成的曲線稱為 a b“曲圓”，其中點F(1, 0)是半橢圓的右焦點， A1, A2, B1, B2分別是“曲圓”與 x軸，y軸的交點，已知/ B1FB2=120°,過點F的直線與“曲圓”交于P, Q兩點，則AAQ 的周長的取值范圍是14 .已知實數a>0,函數y=sinx在閉區(qū)間0, a上最大值為 M,在閉區(qū)間a, 2a上的最大值為N ,若M = J2 N ,則a的值為二、解答題(本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15 .(本

5、小題滿分14分)如圖，在三柱 A1B1C1ABC中，AB=AC,D為BC中點，平面ABC，平面BCC1B1, BC11B1D.(1)求證：A,C/平面 ABD;(2)求證：AB11BC1.16 .(本小題滿分14分)urr已知 A、B、C 是銳角 ABC 的內角，向量 m =(cos(A+.)，sin(A+)，n = (cosB,ur rsinB),且 m n .(1)求A - B的值；(2)若 cosB= 3, AC = 8,求 BC 的長.517 .(本小題滿分14分)22213在平面直角坐標系 xOy中，已知圓O： x y r (r>0),點M( - ,-), N( - 1,-3)

6、,點 A 在圓。上，AN- J2. AM(1)求圓O的方程；1(2)直線x= 2與圓。交于E, F兩點(E點在x軸上萬)，點P(m, n)(0vmv萬)是拋物線y2 2x上的動點，點 Q為 PEF的外心，求線段 OQ長度的最大值，并求出當線段 OQ長度最大時， PEF外接圓的標準方程.18 .(本小題滿分16分)把一塊邊長為a(a>0)cm的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線(虛線與正六邊形的對應邊垂 直)剪去六個全等的四邊形(陰影部分) ，折起六個矩形焊接制成一個正六棱柱形的無蓋容 器(焊接損耗忽略)，設容器的底面邊長為 xcm.(1)若a =16,且該容器的表面積為6073 cm2時，在該容

7、器內注入水，水深為 5cm,若將一根長度為10cm的玻璃棒(粗細忽略)放入容器內，一端置于 A處，另一端置于側棱DD1上，忽略鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長度；(2)求該容器的底面邊長 a的范圍，使得該容器的體積始終不大于9000cm3.19 .(本小題滿分16分)已知數列an、bn中，& 1,b,2,且 am( 1丫4bn, n N，設數列an、bn的前n項和分別為An和Bn.(1)若數列 an是等差數列，求 An和Bn；(2)若數列bn是公比為2的等比數列.求A2n-1；是否存在實數 m,使A4n = m-a4n 對任意自然數n N都成立？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.

8、20 .(本小題滿分16分)一一，一 1已知函數 f(x) alnx(a R).x(1)當a= 1時，求函數f(x)的單調減區(qū)間；(2)若不等式f(x) x對x (0, 1恒成立，求實數a的取值范圍；(3)當aw 2時，試問過點P(0, 2)可作y f(x)的幾條切線？并說明理由.10高三 階段性 抽測三數學參考答案2020. 5一、填空國：本大肱共14小題.每小肺5分.共70分.把答案填寫在答題卷相應位置匕I. <2,42.23. 184.16 5d 6.327. j 77 R. 5 9t 2,2 +2#10.+ 2e IL -12“ 413.（6間 一或誓二、解答題：本大題共6小超，

9、共90分,請在答題卷指定區(qū)域內作答，.解答時應寫出文字說明.證明 過程或演算步賽K.證明式1）連結從出交月用于點U .控結OD.因為人花G - ABC是三核柱.所以ABA,是平行四邊形，所以0為4月中點.又因為正為BC中點*點以機）J 3分又.4, 0平面融出.01）匚平面加，所以兒C/平面H昆D. 6分（2）因為AB =4C.D為中點.所以4D 1 HC. 8分又因為平面1平面ACC,/?】，平面看SC A平面ECG亂=BC , AD U平面從日（？,所以HD J.平面6CC避一因為Eg U平面EC&& .所以4。，EC II分又閑為月G ± BtD tAf） n與

10、。=右，月D仁平面，BR . &D C平面H瓦力f所葭NQ ±平面月8m.因為用 U平面力用。,所以月為1 3G . M分t6.解*】）因為藍，所以K ,不二亡0合（$ +學卜（w8 + 5Md + yJsinB = 0 .所以 cos+ y -= 0 t 13 分又九人（好，所以（a吁-小（-會卷），所以 M 9 -B = 聾 r即總 - 8 = ?6 分326因為銳角同8C,所以仔e（0,y），所以而麻> 0 , 所以minE « v/l -= j 1 （2）-8分所以= ain（ B+整）=而氏酬。+ cosBsin子. 6 /oo4A3I4/3+3】分

11、14分一 ：! 5 -一a * L '= P ' " *,' " " " B *»!*1' it B 'b fe fc i! -B t S » a " '!525210*4萬+3由正弦定理得8c二等胃人。=-T x 8 = 4萬千3 .11集式1）就山口F因為鋁=總凸an量方卬.所以+ “m *獷=2（o *” * ；力.AM£上由上式用N + V=5,所以二5,所以國。的方程為/ +/ = 5 3分（2）把h = 2代人陽。的方程得y二事1.所以E1L3 - 1）,

12、 4分作出線稷亶:的中雛緩L則忤¥，的外心。為直線I與工物的交點. H直線 I 的方程為！T 一 二.叫一 ；（Y _m ； 2* * 6分£- Iit當0時,一以??；丁因為點F£%Q在拋物線d=2、上，所以小=2m 所以工工；" K分上（wi - 2 1由0 £E匕:得打=7;垢三7所以0Q =七2卅：（0 - 2z（m -2Um * 2J10Q - - * 編二 5 二 （2-m % 3 ） + 3 W - ； M 2 J（2 .m）、§ + 3 = 3 A2（ m - 2）22 - hi2 V2 - m當且僅當2 - nt =

13、丁$一時陰m = 2 -4時0。取到最大值3 -B 0分2 m此時。點坐標為3 .“;0L所以APEF外接網的半羥/=0E h,所以尸EF外接圓的標準方程為5 +萬一 3-/匚5 * 2技 14分設解:由跑意= *.則。3 設該松的高為九則6二亭52分16時.容器底而租風工6 乂 （亨J | -舉'/ .但（面積S工=6xA=3丹貝 16 - x) T所熾容器力面積5 =亭/ +3月公【& - V = 16B燈.整理得/ -3b+ 112 = 0,得 K = 4 或土 M 羽（舍）. * 5分當或璃樟一個端點置于A處,另一端逆于側棱0。上時， 如圖.設莪隱棒音/切，上的交點為尸

14、.械璃棒與水面交點為a 因為且BE。上F -4& C,"A；扎為正六棱柱.廄以四邊形 九用D7 為m形，在平而一4/。"中.過。作。斤,月。交月。于 從如留所示,國力4產=1O,，D±8J|JF。= 6,國為QH/產口. 所以42 = OIL mdC - AAP PD JO 6所以乂Q = 亍0皿 g分（2）設藻容施的體叔為v,f蘭風卜二 甲/乂孝« 力二弓/（。-工） 因為該容森的體積始終不大于須比 .所以Vx2（a -G W9W0對名。通）恒成立.即（口 -x）40W對箝丘令立（工）5 /（口 f工兀力'（ X）（。2）恒成立，三一3

15、k + 2ax,（0號）2aT<0一增展大值減現(xiàn)工）<. = （y）=fel-HdBb«i»-«i|Bil!|i|l 4I4IIVVH44- 4»1|4|4.1|.14-11-49 V ¥ 4 « 4 4 p p -|. | |. |4令匯=0瑪則版工變化的表格如下t所以繆近4000,得口 &3%得。< a «30. 4 *答：該容器底面辿長以滿足0 C a S 30時r窗制的體枳始終不大于gOOfml19,解:門）依即“泊-,二瓦品數列GJ是等差數列.所以數列QJ的公差是兒=2,所以A工弱-1 .

16、所以人= 2 分當n是奇數時，尻二瓦*電4后+乩=（q -/） *（/+%） +（4-%） +事（fli 一 %）=一% + 2（ a2 + a4 + a, 當n是偶按時.支=Q +b.2/ +物Ml? + 汽” =nfns +以M是奇數.n1 4 3n»n是偶數.=<J）+q + 與 +*/ +&ht +aa-la-i * %匕+瓦+兒* 8 JJh】 -占汰-1 =（G/i *心）-（七口 - a） = 0%“，兄二（氣題-5/1 ） +<. + %= 口父”Jrtr +%，"/口 A 口】十 的 十% + 曲+ att_3 * 口u_t=+，）十（

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