第六屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力展示活動(dòng)九年級(jí)數(shù)學(xué)試題及解答

1、第六屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力展示活動(dòng)九年級(jí)數(shù)學(xué)解題技能展示試題及解答（B卷）一、 選擇題（每題6分，共36分）1、對(duì)正整數(shù)n,記n!=1X2XXn，則1!+2!+3!+4!+.+2013!的末位數(shù)是（ B ） A 5 B 3 C 1 D 0解：5!及它后面的所有數(shù)的末位數(shù)都是0.又1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33.2、鐘面上有十二個(gè)數(shù)1，2，3，.，12.將其中某些數(shù)的前面添上一個(gè)負(fù)號(hào)，使鐘而上所有數(shù)之代數(shù)和等于零，則至少添n 個(gè)負(fù)號(hào)，這個(gè)數(shù)n是（ A ） A 4 B 5 C 6 D 7解：1+2+3+.+12=12×13÷2=78； 78÷2=3

2、9，要使鐘而上所有數(shù)之代數(shù)和等于零，只需添負(fù)號(hào)數(shù)之和為39 12+11+10+6=393、右圖為一個(gè)7英尺乘7英尺的地板，地板由1平方英尺的黑白瓷磚鋪成，注意角上為白色瓷磚，如果1個(gè)15英尺乘15英尺的地板用同樣方法鋪成，需要（ C ）白色瓷磚。 A 49 B57 C 64 D 96解：因角上為白色瓷磚，所以15英尺乘15英尺的地板每邊有8個(gè)白色瓷磚。8×8=64.4、正實(shí)數(shù)a,b,c,d互不相等且滿足（a2013-c2013）（a2013-d2013）=2013, （b2013-c2013）（b2013-d2013）=2013，則（ab）2013-(cd)2013 的值為（ A ）

3、 A -2013 B -2012 C 2012 D 2013解：因?yàn)椋╝2013-c2013）（a2013-d2013）=2013, （b2013-c2013）（b2013-d2013）=2013，且正實(shí)數(shù)a,b,c,d互不相等 所以a2013、 b2013可看做一元二次方程（xc2013）（xd2013）20130 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 由根與系數(shù)關(guān)系：a2013 b2013=x1·x2= c2013·d20132013所以：（ab）2013(cd)2013 =20135、某電視娛樂節(jié)目有一個(gè)環(huán)節(jié)為“表情連連看”，小明，小紅，小花，小麗四人參加了這個(gè)活動(dòng)，現(xiàn)已知：如果小

4、明是笑臉，那么小紅也是笑臉；如果小紅是笑臉，那么小麗是哭臉；如果小麗是哭臉，那么小明是笑臉，小花是哭臉；如果小麗是笑臉，那么小明也是笑臉，則這四個(gè)人中，是笑臉的人數(shù)是（ B ） A 1 B 2 C 3 D 4解：（1）如果小明是笑臉，那么小紅也是笑臉；（2）如果小紅是笑臉，那么小麗是哭臉；（3）如果小麗是哭臉，那么小明是笑臉，小花是哭臉；（4）如果小麗是笑臉，那么小明也是笑臉由（3）（4）知：小明一定是笑臉。再由（1）小紅也是笑臉，由（2）小麗是哭臉，由（3）小花也是哭臉。6、In rectangle ABCD,AB=6 ,AD=30 , and G is the midpoint of AD

5、 .Segment AB is extended 2 units beyond B to E, and F is the intersection of ED and BC . What is the area of BFDG?( D ) A 66 B 66.5 C 67 D 67.5解：譯文：在矩形ABCD中，AB = 6,AD= 30，G是AD的中點(diǎn)。把線段AB延長(zhǎng)2個(gè)單位到E， F是DE和BC的交點(diǎn)。四邊形BFDG的面積是什么? 利用 三角形BEF與三角形CDF相似，求得BF=7.5. 四邊形BFDG的面積=（15+7.5）×6÷2=67.5二、 填空題（每題8分，共

6、48分）7、已知x是實(shí)數(shù)，則|x-2|+|x+2|+|x+8|的最小值是_10_解：|x-a|的幾何意義是：在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示a點(diǎn)之間的距離。|x-2|、|x+2|、|x+8|分別是：表示x的點(diǎn)到表示2、-2、-8的點(diǎn)之間的距離。顯然當(dāng)x=-2是三段長(zhǎng)度之和最小，為10.O8、如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P，若PB：PA=1:2，PC：PD=1:3，則的值為_1: _解：設(shè)PB=a,PA=2a,PC=b,PD=2b.由 PB·PA=PC·PD 得 a·2a=b·3b a:b=:又PBCPDA，所以BC：AD=PB：

7、PD=a:3b=1: 9、如右圖，拋物線y=ax2+bx-3，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA.直線y= x+1 與y軸交于點(diǎn)D,E是拋物線的頂點(diǎn)，則DBCCBE=_45°_解：拋物線y=ax2+bx-3與y軸交C點(diǎn)（0，-3），且OB=OC=3OA， A（-1，0），B（3，0），代人y= ax2+bx-3，得解得a=1，b=-2，y=x2-2x-3；由y=-x+1，得D（0，1），由y=x2-2x -3，得頂點(diǎn) E（1，-4），BC2+CE2=BE2BCE為直角三角形， tanCBE=CE/CB=，又RtDOB中，tanDBO=OD/OB=，D

8、BO=CBE，DBCCBE=DBC-DBO=OBC=45°。10、雙“十一”網(wǎng)購(gòu)大戰(zhàn)期間，甲、乙兩人到某網(wǎng)站購(gòu)買商品。已知兩人購(gòu)買商品的件數(shù)相同，且每件商品的單價(jià)只有8元和9元兩種。若兩人購(gòu)買商品一共花費(fèi)了172元，則其中單價(jià)為8元的商品有_8_件。解：設(shè)，甲、乙兩人購(gòu)買商品數(shù)均為n件；甲購(gòu)買x件8元的商品，乙購(gòu)買y件8元的商品則： 8x+9(n-x)+8y+9(n-y)=172 18n-(x+y)=172, n=9+(10+x+y)/18 因?yàn)閤、y、n都是正整數(shù)，且nx,ny, 所以x+y=8,n=10.11、游樂園中有一圓形摩天輪，已知圓心離地22公尺，直徑40公尺，逆時(shí)針方向

9、旋轉(zhuǎn)一圈需要24分鐘（假設(shè)摩天輪等速旋轉(zhuǎn)），乘坐時(shí)恰在離地面最近的位置上。已知小華坐上車廂，經(jīng)過10分鐘后，他離地面高度為_22+10_公尺。解： 經(jīng)過10分鐘后，轉(zhuǎn)過的角度為360÷24×10=150°，離地高度=22+20sin60°=22+1012、設(shè)x為整數(shù)，給出一個(gè)流程圖，如右圖所示，按此流程圖計(jì)算，剛好處理3次，用3與x+2的平均值代替y，則輸入的x值為_3_解：由3+（x+2）/2x 得x5,即第3次運(yùn)算結(jié)束時(shí)輸出的x5,前推2次得 x=3三、解答題（ 每題12分，共36分）13、余弦定理是三角形的重要定理之一，其表述如下：三角形中，任意一

10、邊的平方等于另外兩邊的平方和減去另兩邊及其夾角的余弦的積的兩倍。以a、b、c分別表示三角形的三邊，、表示三個(gè)內(nèi)角，則余弦定理可以表示為：a2=b2+c2-2bc·cosA.請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下題：如右圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑，一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C?，F(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min,在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C。假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min ，山路AC長(zhǎng)為1260m ,經(jīng)測(cè)量，cosA=12/13,cosC

11、=3/5 .(1) 求索道AB的長(zhǎng)；(2) 問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3) 為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？CBADMN解：（1）如圖作BDCA于點(diǎn)D，設(shè)BD20k，則DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn)M，此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn)，如圖所示則：AM130x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AM·ANcosA7400 x214000 x10000，其中0x8，當(dāng)x(min)時(shí)，MN最小，此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短（3）由（1）知

12、：BC500m，甲到C用時(shí)：(min)若甲等乙3分鐘，則乙到C用時(shí)：3 (min)，在BC上用時(shí)： (min) 此時(shí)乙的速度最小，且為：500÷m/min若乙等甲3分鐘，則乙到C用時(shí)：3 (min)，在BC上用時(shí)： (min) 此時(shí)乙的速度最大，且為：500÷m/min故乙步行的速度應(yīng)控制在，范圍內(nèi)14、如右圖，二次函數(shù)y=ax2+bx(a>0)的圖像與反比例函數(shù)y=k/x的圖像相交于點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1）求實(shí)數(shù)k 的值；（2）求二次函數(shù)y=ax2+bx(a>0)的解析式；（3）設(shè)拋物線

13、與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，點(diǎn)E為線段OD上的動(dòng)點(diǎn)（與O、D不能重合），過點(diǎn)E作EF/OB交BD于F，連接BE，設(shè)OE的長(zhǎng)為m，BEF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（4）在（3）的基礎(chǔ)上，試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E 的坐標(biāo) ；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：把A（1，4）代入得：k=xy=4，答：實(shí)數(shù)k的值是4過B作BMx軸于M，BNy軸于N，過A作AHx軸于H，兩線BN和AH交于Q，設(shè)OM=c，ON=d，c0，do，則：S=SABQSAOHSBNOS矩形ONQH，即：3=（1+c）（4+d）×1×4cdd×1，cd=k=4，解得：c

14、=2，d=2，B（2，2），把A（1，4）和B（2，2）代入拋物線得：，解得：，y=x2+3x，答：二次函數(shù)y=ax2+bx（a0）的解析式是y=x2+3x把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，解得：x1=0，x2=3，D（3，0），即OD=3，B（2，2），由勾股定理得：OB=2，EFOB，DFEDBO，=，=，EF=2m，過F作FCx軸于C，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比得：=，=，F(xiàn)C=S=SEDBSEDF=DE×BMFC×DE，即S=m2+m，S與m的函數(shù)關(guān)系S=m2+mS=m2+m當(dāng)m=時(shí)，S最大，是，答：在的基礎(chǔ)上，S存在最大值，S的最大值是，此時(shí)

15、E點(diǎn)的坐標(biāo)是（，0）15.數(shù)學(xué)上一般用f(x)來表示關(guān)于x的函數(shù)，對(duì)于函數(shù)f(x),若存在x0R，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a0) . (1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，求函數(shù)f(x) 的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b,f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a 的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若 y=f(x)的圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，求b的最小值。解：函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a0) .（1）當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，f(x)=x2 x3. 設(shè)為其不動(dòng)點(diǎn)，即x2 x3=x,所以x=-1或3，即即的不動(dòng)點(diǎn)是-1,3.（2）由得ax2+bx+(b-1)=0.由已知，此方程有相異二實(shí)根，所以1=b2-4a(b