導數常見題型與解題方法總結15430

1、導數題型總結1、分離變量 用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0 )2、變更主元 已知誰的范圍就把誰作為主元3、根分布 4、判別式法 結合圖像分析5、二次函數區(qū)間最值求法 (1)對稱軸(重視單調區(qū)間)與定義域的關系( 2)端點處和頂點是最值所在 一、基礎題型：函數的單調區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立 此類問題提倡按以下三個步驟進行解決： 第一步：令 f '(x) 0 得到兩個根； 第二步：畫兩圖或列表； 第三步：由圖表可知；第三種：變更主元(即關于某字母的一次函數) (已知誰的范圍就把誰作為主元) 。例1：設函數 y f(x)在區(qū)間 D 上的導數為 f (x

2、)， f (x)在區(qū)間 D 上的導數為 g (x) ，若在區(qū)間 D 上， g(x) 0恒成立，則稱函數 y f(x) 在區(qū)間 D 上為“凸函數”，已知實數 m 是常數，f(x)x4 mx3 3x212 6 21)若 y f(x)在區(qū)間 0,3 上為“凸函數” ，求 m的取值范圍； 2)若對滿足 m 2的任何一個實數 m，函數 f (x) 在區(qū)間 a,b 上都為“凸函數” ，求 b a的最大值.2mx3x24 3 2 3 x mx 3xx解:由函數 f (x) 得 f (x)12623g(x) x2 mx 3(1)y f (x) 在區(qū)間 0,3 上為“凸函數”則 g(x) x2 mx 3 0 在

3、區(qū)間 0,3 上恒成立解法一：從 二次函數的區(qū)間最值 入手：等價于 gmax (x) 0g(0) 0 3 0g(3) 0 9 3m 3 0m2)求函數 f( x)的單調區(qū)間和極值；1,b R)2再等價于 F(m) mx x2 3 0 在 m 2 恒成立解法二：分離變量法：當 x 0 時, g(x) x2 mx 3 3 0恒成立 , 當 0 x 3時 , g(x) x2 mx 3 0恒成立x2 3 3等價于 m x 的最大值( 0 x 3 )恒成立，xx 3而 h(x) x ( 0 x 3)是增函數，則 hmax ( x) h(3) 2 xm2(2)當 m 2時 f (x)在區(qū)間 a,b 上都為

4、“凸函數”則等價于當 m 2時 g(x) x2 mx 3 0 恒成立變更主元法 視為關于 m 的一次函數最值問題)22x x2 3 02 1 x 12x x2 3 0)若對任意的 x a 1,a 2, 不等式 f (x) a恒成立，求 a的取值范圍 .解：() f (x)x2 4ax 3a2x 3a x a令f (x) 0,得f (x)的單調遞增區(qū)間為( a,3a)令f (x) 0,得f (x)的單調遞減區(qū)間為(，a)和( 3a，+ )33當 x=a 時， f (x)極小值=a3 b; 當 x=3a時， f (x)極大值=b.4)由 | f (x) | a，得：對任意的 x a 1,a 2,

5、a x2 4ax 3a2 a恒成立gmax(x) a 則 等 價 于 g(x) 這 個 二 次 函 數 maxgmin (x) a0 a 1, a 1 a a 2a (放縮法)22g(x) x2 4ax 3a2 的 對 稱 軸 x 2ag(x) 這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。即定義域在對稱軸的右邊，a2g(x) x2 4ax 3a2在a 1,a 2 上是增函數 . g(x)max g(a 2) 2a 1.g(x)min g(a 1) 4a 4.于是，對任意 x a 1,a 2 ，不等式恒成立，等價于g(a 2) 4a 4 a,解得 4g(a 1) 2a 1 a 5a 1.4 又

6、 0 a 1, a 1.5點評：重視二次函數區(qū)間最值求法：對稱軸(重視單調區(qū)間)與定義域的關系例 3：已知函數 f(x) x3 ax2 圖象上一點 P(1,b)處的切線斜率為 3，3 t 6 2 g(x) x3x2 (t 1)x 3 (t 0)2()求 a,b 的值；)當 x 1,4 時，求 f(x) 的值域；)當 x 1,4 時，不等式 f (x) g(x)恒成立，求實數 t 的取值范圍。/ 2f / (1) 3 a 3解：() f /(x) 3x2 2ax ， 解得b 1 a b 2()由()知， f(x)在 1,0上單調遞增，在 0,2 上單調遞減，在 2,4 上單調遞減又 f ( 1)

7、 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16 f(x) 的值域是 4,16 t2()令 h(x) f (x) g(x)x2 (t 1)x 3 x 1,42思路 1：要使 f(x) g(x)恒成立，只需 h(x) 0，即 t(x2 2x) 2x 6分離變量思路 2： 二次函數區(qū)間最值二、參數問題1、題型一：已知函數在某個區(qū)間上的單調性求參數的范圍解法 1：轉化為 f '(x) 0或f '(x) 0 在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎題型解法 2： 利用子區(qū)間(即子集思想) ；首先求出函數的單調增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū) 間的子集；做題時一定要看清楚“在(

8、 m , n)上是減函數”與“函數的單調減區(qū)間是( a , b)”，要弄清楚兩句話的區(qū) 別：前者是后者的子集1 3 a 1 2例 4：已知 a R，函數 f (x) x3x2 (4a 1)x 12 2()如果函數 g(x) f (x) 是偶函數，求 f (x) 的極大值和極小值；()如果函數 f (x)是 ( ,)上的單調函數，求 a的取值范圍12解： f (x) 求實數 k 的取值范圍； x2 (a 1)x (4a 1) .41 3 1 2() f (x)是偶函數， a1.此時 f(x) x3 3x， f (x)x2 3，12 4 令f (x) 0，解得： x 2 3.列表如下：x(,2 3

9、 ) 2 3(2 3,2 3 )23(2 3 ,+ )f (x)+00+f (x)遞增極大值遞減極小值遞增可知： f (x)的極大值為 f( 2 3) 4 3，f ( x)的極小值為 f(2 3) 4 3.()函數 f (x) 是 ( ,) 上的單調函數，12f (x)x2 (a 1)x (4a 1) 0 ，在給定區(qū)間 R上恒成立判別式法2 1 2則 (a 1)2 4 (4a 1) a2 2a 0，解得： 0 a 2.4綜上，a的取值范圍是 a0 a 2 .1 3 1 2例 5、已知函數 f(x)x3(2 a)x2 (1 a)x(a 0).32(I)求 f(x) 的單調區(qū)間；II)若 f (x

10、)在0，1上單調遞增 ，求 a的取值范圍。 子集思想解：(I) f (x) x2 (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1、 當a 0時, f (x) (x 1)2 0恒成立 ,當且僅當 x 1 時取“ =”號， f (x)在( , ) 單調遞增。2、 當a 0時,由 f (x) 0,得x11,x2 a 1,且x1 x2,單調增區(qū)間： ( , 1),(a 1, )單調增區(qū)間： ( 1,a 1)II)當 f ( x)在0,1上單調遞增 , 則 0,1 是上述增區(qū)間的子集：1、a 0時， f (x)在( , ) 單調遞增 符合題意2、 0,1 a 1, ， a 1 0 a 1 綜上， a

11、 的取值范圍是 0， 1。2、題型二：根的個數問題題 1 函數 f(x) 與 g(x) (或與 x 軸)的交點，即方程根的個數問題解題步驟第一步： 畫出兩個圖像即“穿線圖” (即解導數不等式)和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后 減再增”還是“先減后增再減” ；第二步： 由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式(組) ；主要看極大值和極小值與 0 的關系； 第三步： 解不等式(組)即可。1 3 (k 1) 2 1例 6、已知函數 f(x) x3x2， g(x)kx，且 f(x) 在區(qū)間 (2, )上為增函數3 2 3 12) 若函數 f(x)與 g( x)的圖象有三個不同的交點，求實數k的

12、取值范圍解：( 1)由題意 f (x) x2 (k 1)x f (x)在區(qū)間 (2, )上為增函數，2f (x) x2 (k 1)x 0在區(qū)間(2, )上恒成立(分離變量法)即 k 1 x 恒成立，又 x 2 ， k 1 2 ，故 k 1 k 的取值范圍為 k 13(2)設 h(x) f (x) g(x) x (k 1) x 2 kx 1 ，3 2 3h (x) x2 (k 1)x k (x k)(x 1)令h(x) 0得x k或x 1由(1)知 k 1，當k 1時， h(x) (x 1)2 0，h(x)在 R上遞增，顯然不合題意當 k 1時， h(x)，h(x)隨 x的變化情況如下表：x(

13、,k)k(k,1)1(1, )h (x)00h(x)極大值32 kk16 2 3極小值k12由于k 1 0，欲使 f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點， 即方程 h(x) 0有三個不同的實根，232 需 k k62120，即 (k 1)(k 2 2k 2) 0 k12 ，解得 k 1 3 k 2 2k 2 0綜上，所求 k 的取值范圍為 k 1 3根的個數知道，部分根可求或已知。1例 7、已知函數 f(x) ax x2 2x c2(1)若 x 1是 f (x)的極值點且 f ( x)的圖像過原點，求 f ( x)的極值；12(2)若 g(x)bx2 x d ，在( 1)的條件下，是否存在實

14、數 b ，使得函數 g(x) 的圖像與函數 f (x) 的2圖像恒有含 x 1的三個不同交點？若存在， 求出實數 b的取值范圍； 否則說明理由。 解：( 1) f(x) 的圖像過原點，則 f (0) 0 c 02f (x) 3ax2 x 2 ，又 x1是 f ( x)的極值點，則 f ( 1) 3a 1 2 0 a 1f (x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1) 0f極大值 (x)f ( 1)f 極小值 (x ) f)2(2)設函數 g(x) 的圖像與函數f (x) 的圖像恒存在含 x1的三個不同交點，1 等價于 f(x) g(x)有含 x 1的三個根，即： f( 1) g( 1) d

15、1(b 1)23 1 2 1 2 1 x3x2 2xbx2 x (b 1)整理得：2 2 23 1 2 1 即： x3(b 1)x2 x (b 1) 0 恒有含 x 1 的三個不等實根223 1 2 1 h(x) x3(b 1)x2 x (b 1) 0 有含 x 1的根，22則h(x) 必可分解為 (x 1)(二次式) 0，故用 添項配湊法因式分解，3 2 2 1 2 1x3 x2 x2(b 1)x2 x (b 1) 022x2(x 1) 1(b 1)x2 x 1 (b 1) 022x2(x 1) 1 (b 1)x2 2x (b 1) 0十字相乘法分解：(x 1)12(b 1)x 12x2(x

16、 1) 1 (b 1)x (b 1) x 1 0 (b 1)3 1 2 1x3(b 1)x2 x (b 1) 0 恒有含 x 1的三個不等實根222 1 1等價于 x2(b 1)x (b 1) 0 有兩個不等于 -1 的不等實根。221 2 1(b 1)2 4 (b 1) 0 424 2 b ( , 1) ( 1,3) (3, ) 2 1 1( 1)2 (b 1) (b 1) 022題 2 切線的條數問題，即以切點 x0 為未知數的方程的根的個數例 7、已知函數 f(x) ax3 bx2 cx在點 x0處取得極小值 4，使其導數 f '(x) 0的 x的取值范圍 為(1,3) ，求：(

17、 1) f ( x)的解析式；( 2)若過點 P( 1,m)可作曲線 y f ( x )的三條切線，求實數 m的取 值范圍2( 1)由題意得： f '(x) 3ax2 2bx c 3a(x 1)(x 3),(a 0)在( ,1)上 f'(x) 0；在(1,3)上f '(x) 0 ；在(3, )上 f'(x) 0因此 f (x) 在 x0 1處取得極小值 4 a b c 4， f '(1) 3a 2b c 0 ， f '(3) 27a 6b c 0 a1 由聯(lián)立得： b 6 ， f(x) x3 6x2 9xc9(2)設切點 Q(t, f(t)， y

18、 f(t) f ,(t)(x t)2 3 2 y ( 3t2 12t 9)(x t) ( t3 6t 2 9t)( 3t 2 12t 9)x t(3t2 12t 9) t(t2 6t 9)( 3t2 12t 9)x t(2t2 6t)過 ( 1,m)2 3 2 m ( 3t2 12t 9)( 1) 2t3 6t 2 g(t) 2t3 2t 2 12t 9 m 0 令 g'(t) 6t2 6t 12 6(t2 t 2) 0， 求得： t 1,t 2 ，方程 g(t) 0 有三個根。g( 1) 0 2 3 12 9 m 0 m 16 需：g(2) 0 16 12 24 9 m 0 m 11

19、故： 11 m 16 ；因此所求實數 m的范圍為： ( 11,16)題 3 已知 f(x) 在給定區(qū)間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數解法： 根分布或判別式法解：函數的定義域為R （）當m 4 時，f (x) 31x3 72x210x，f (x) x27x10，令 f (x) 0 ， 解得 x 5,或 x 2.令f (x) 0 ， 解得2 x 5可知函數 f（x）的單調遞增區(qū)間為 （ ,2） 和（ 5，），單調遞減區(qū)間為 2,5 （） f （x） x2 （m 3）xm 6,要使函數 yf （x）在（ 1，）有兩個極值點 , f （x） x2（m3）x m 6=0 的根在（ 1，）根分布問

20、題：2(m 3)2 4(m 6) 0;則 f (1) 1 (m 3) m 6 0; ，解得 m> 3m321.例 9、已知函數 f(x) a x3 1 x2 ，32（a R,a 0）（1）求 f （ x）的單調區(qū)間；142)令 g(x) x4f(x)4xR）有且僅有 3 個極值點，求 a的取值范圍解：(1) f '(x) ax2 x x(ax 1)' 1 ' 1當 a 0時，令 f '(x) 0解得 x 或x 0，令 f '(x) 0解得 x 0， aa11所以 f ( x)的遞增區(qū)間為 ( , 1) (0, ) ，遞減區(qū)間為 ( 1,0).aa當

21、 a 0時，同理可得 f (x) 的遞增區(qū)間為 (0， 1) ，遞減區(qū)間為 ( ,0) ( 1, ) . aa1 4 a 3 1 2(2) g(x)x4x3x2有且僅有 3 個極值點432g(x) x3 ax2 x x(x2 ax 1)=0有 3個根，則 x 0或 x2 ax 1 0，a2方程 x2 ax 1 0 有兩個非零實根，所以a2 4 0,a2 或 a 2而當 a2或 a 2時可證函數 y g(x)有且僅有 3 個極值點其它例題：1、(最值問題與主元變更法的例子) .已知定義在 R上的函數 f (x) ax3 2ax2 b(a 0)在區(qū)間 2,1 上的最大值是 5，最小值是 11.()

22、求函數 f (x) 的解析式；()若 t 1,1時， f (x) tx 0 恒成立，求實數 x的取值范圍 .解：() f (x) ax3 2ax2 b, f '(x) 3ax2 4ax ax(3x 4) 令 f'(x)=0,得 x1 0,x2 4 2,13因為 a 0 ，所以可得下表：x2,000,1f'(x)+0-f (x)極大因此 f (0)必為最大值 ,f(0)5因此b 5， f(2) 16a 5,f(1) a5, f(1) f(2)，即 f ( 2) 16a 5 11， a 1 ， f (x) x3 2x2 5.) f (x) 3x2 4x， f (x) tx

23、0 等價于 3x2 4x tx 0 ，令 g(t) xt 3x2 4x ，則問題就是 g(t) 0在 t 1,1上恒成立時，求實數 x的取值范圍，為此只需g( 1) 03x2 5x 0，即 2g(1) 0x2 x 0解得 0 x 1，所以所求實數 x的取值范圍是 0 ，1.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)2已知函數 f (x)x3 ax2 bx c3(0, 1)處的切線與直線 3x y 0平行 , 求() 若函數 f(x)在 x 1時有極值且在函數圖象上的點f (x) 的解析式；() 當 f(x)在x (0, 1)取得極大值且在 x (1, 2)取得極小值時 , 設點M(b 2, a 1)所在平面

24、 區(qū)域為 S, 經過原點的直線 L 將 S 分為面積比為 1:3 的兩部分 , 求直線 L 的方程 .解： (). 由 f (x) 2x2 2ax b, 函數 f(x)在 x 1時有極值 ,2a b 2 0 f(0) 1 c 1又 f(x)在 (0, 1)處的切線與直線 3x y 0平行,1f (0) b 3 故 a 12f(x) 2 x331 x223x 1. 7分3B( 2, 1), C(2, 2), D(0, 1), E(0, 32)易得 A( 2,() 解法一 : 由 f (x) 2x2 2ax b 及 f (x) 在 x (0, 1)取得極大值且在 x (1, 2)取得極小值f (0

25、) 0b0xb2f (1) 0即 2a b 2 0令 M (x, y) ,則y a 1f (2) 04a b 8 0x 2 0y 1 2y x 2 0 故點 M 所在平面區(qū)域 S 為如圖 ABC,x24y x 6 00),S ABC 21同時 DE 為 ABC 的中位線 , S DECS四邊形 ABEDDEC 3 ABED所求一條直線 L 的方程為 : x 0另一種情況設不垂直于x 軸的直線 L 也將 S 分為面積比為 1:3AC,BC分別交于 F、 G,則 k 0, S四邊形 DEGF 1y kx2y x 2 0得點 F 的橫坐標為 : xF2k 1y kx4y x 6 0得點 G 的橫坐標

26、為 : xG64k 1S四邊形 DEGF SOS 1 3GE S OFD2 2 4k 1 2 2k 121即 16k2 2k 5 01解得 : k 或2(舍去) 故這時直線方程為 : y 1 x2綜上 ,所求直線方程為 :.12 分2() 解法二 : 由 f (x) 2x2 2ax b 及 f (x) 在 x (0, 1)取得極大值且在x (1, 2) 取得極小值 ,f (0) 0 f (1) 0f (2) 0b02a b 2 04a b 8 0令M (x,y) , 則xb2ya1x 2 02y x 24y x 60 故點 M 所在平面區(qū)域0S 為如圖ABC,易得 A( 2,0),B( 2,1

27、),C(2, 2), D(0, 1),3E(0,32), S ABC 2同時 DE 為ABC 的中位線 , S DEC13 S四邊形ABED所求一條直線 L的方程為 : x 0另一種情況由于直線BO 方程為y 1 x, 設直線 BO 與 AC 交于 H ,2由2y1 yx2x20得直線 S ABC 2,121221 1 1OH21222 2 2L 與 AC 交點為 : H( 1, 1)2 所求直線方程為 :x0或y3、(根的個數問題) 已知函數 f(x)ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a 0) 的圖象如圖所示。)求 c、d 的值；)若函數 f(x) 的圖象在點 (2,f(2) 處的

28、切線方程為 3x y 11 0 ，求函數 f ( x ) 的解析式；)若 x0 5,方程f(x) 8a 有三個不同的根，求實數 a的取值范圍。解：由題知： f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b)由圖可知函數 f ( x )的圖像過點 ( 0 , 3 )，且 f 1 = 0得 3da 32b c 3a 2b 03a 2b c 3a 2b 0d3）依題意12a 4b 3a 2b 3解得 a = 1 , b = 68a 4b 6a 4b 3 532所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 ()依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 (

29、a>0 )2 f x = 3ax2 + 2bx 3a 2b由 f 5= 0 b = 9a若方程 f ( x ) = 8a有三個不同的根，當且僅當滿足 f ( 5 )<8a<f ( 1 ) 1由 得 25a + 3<8a<7a + 3<a<3111所以 當 <a<3時，方程 f ( x ) = 8a有三個不同的根。12分1114、(根的個數問題) 已知函數 f (x)x3 ax2 x 1(a R)3( 1)若函數 f(x)在x x1,x x2處取得極值，且 x1 x2 2，求 a的值及 f (x)的單調區(qū)間； 11 2 5(2)若 a，討論曲線 f (x) 與 g(x)x2 (2a 1)x ( 2 x 1)的交點個數22 6解：(1) f'(x) x2 2ax 1x1 x2 2a,x1 x21x1 x2(x1 x2)2 4x1x24a2 4 2a 0 2 分 f (x) x2 2ax 1 x2 1 令f (x) 0得x1,或x 1令f (x) 0得 1 x 1 f (x)的單調遞增區(qū)間為 ( , 1) ， (1, ) ，單調遞減區(qū)間為 ( 1,1) 5 分3 2 61 3 1 2 1 即 x3 (a)x2 2ax 03 2 6令 (x) 1 x3 (a 1)x2 2ax 1 (