三角恒等變換_知識(shí)點(diǎn)例題練習(xí)

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎(chǔ)梳理1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(d一亦 cos(aQ =cos_acos_0+sin_asin_/?；(2) (3(卄亦 cos(a+Q=cos_acossin_asin_“;(3) S(c+亦 sin(a+® = sin_acos_/?+cos_asin_“;(4) S(c-q： sin(a® = sin_acos_0 cos_asin_“;tan(7 4-tan B +加 tan(a+Qj_tmn man 0；tan tan p(6)T(% tan(aQ=i+taii 皿池直2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S2：

2、sin 2a=2sin_acos_a;(2) C2fl： cos 2a=cos?asin2a=2cos2a 1 = 1 Zsin'a;tan 2ci=2tan a 1tan2n3. 有關(guān)公式的逆用變形等(1) tan a±tan /?=tan(<7± )(1+ tan_otan_yg)；1 +cos 2a1cos 2a(2) cosp=, sinp=；(3) 1 + sin 2n= (sin a+cos <7)2,1 sin 2a=(sin ncos <7)2,4. 函數(shù) 7(a) = ncos a+Z?sinb 為常數(shù)),可以化為=/?+62si

3、n(a+0或=lr-trcos(a- ,其中©可由內(nèi)方的值唯一確定.兩個(gè)技巧(丄)捱角丄拼角技-巧癥三±0土 ：70.訣三仗±0二0衛(wèi)三學(xué)二鷲卷字(2)化簡(jiǎn)技巧：切化弦“1”的代換等.三個(gè)變化 變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊” (2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱(chēng)達(dá)到減少函數(shù)種類(lèi)的目的，其手法通常有“切化弦”、“升無(wú)與降無(wú)”等.(3) 變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”.“逆用變用公式”.“通分約分”.“分解 與組合”“配方與平方”等.雙基自測(cè)1. （人教A版教材習(xí)題改編）下列各

4、式的值為扌的是（）.B. l-2sin275°D. sin 15° cos 15°sin 2a7CA. 2cos2 12tan 22.5°C，l-tan222.5°2. （2011 ）若坦11 a=3,則二的值等于（）.COB Cl23. 已知 sin a=,則 cos（兀一2a）等干（）.K14. （2011 -）設(shè) sin|j+0=§,則 sin 20=（）.5. tan 20° +tan 40° +3tan 20c tan 40c =考向一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例1】A化簡(jiǎn)2cos4x 2cos2x+/K2tan

5、 -【4xnsin2 4-x4 ,審題視點(diǎn)切化弦，合理使用倍角公式.方法總結(jié)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確 使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱(chēng)”，看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異，從而確定使用的公 式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.【訓(xùn)練1】化簡(jiǎn):sin a+cos a 1 sin acos a+ 1sin 2 a考向二三角函數(shù)式的求值7T【例 2 已知 OV“V；V <7<K,且 COS Cl-a 一 2sl1 -y=9 求 cos(a方法總結(jié)三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1

6、) 已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差.(2) 已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成"倍的關(guān)系”或“互余互補(bǔ)”關(guān)系.(兀)41【訓(xùn)練 2】已知 a, 0 0, -j, sin a=f tan(aQ = §,求 cos 0 的值.考向三三角函數(shù)的求角問(wèn)題113K【例3】已知cos匕=刁cos(<7-) = ,且OV0V&V歹 求幾方法總結(jié)通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；、71若角的圍是0, -J,選正、余弦皆可；若角的圍是(0, K),選余弦較好；若角的Z、

7、k n圍為一刁2，選正弦較好./ 【訓(xùn)練3】已知a, 0 ,且tan a, tan p是方程疋+ 3羽x+4 = 0的兩個(gè)根，求a+0的值.考向四 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】(2010 )已知函數(shù)仙 = 2cos 2x+ sin2x.求(2)求彳氏的最大值和最小值.獨(dú)總紗高考對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考査還往 往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為y= 力sin(宓+創(chuàng)的形式，再進(jìn)一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、 周期性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì).【訓(xùn)練4】 已知函數(shù) 心) = 2sin(7rcos x.求H力的最小正周期； n n(2)求4氏

8、在區(qū)間一&, 3上的最大值和最小值.三角函數(shù)求值、求角問(wèn)題策略面對(duì)有關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明，許多考生一籌莫展，而三角恒等變換更 是三角函數(shù)的求值、求角問(wèn)題中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其難點(diǎn)在于：其一，如何牢固記 憶眾多公式，其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、求角方法. 一、給值求值一般是給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵 在于“變角”，如a=(a+Q 0, 2a=(a+Q + (aQ等，把所求角用含已知 角的式子表示，求解時(shí)要注意角的圍的討論.' 兀tan x【示例】 (2011 )已知tan *+&| = 2,則百頁(yè)M值為二、給值求

9、角"給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已 知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.1 1【不例】 (2011 月考)已知 tan(a-)=-, tan且 a, 0(0,兀)，求2a-/3的值.三角恒等變換與向量的綜合問(wèn)題兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具，是每年高考的必考容，常在選擇題中以條件求值的形式考查.近幾年該部分容與向量的綜合問(wèn)題常出現(xiàn)在解答題中，并且成為高考的一個(gè)新考査方向.【示例】 （2011 模）已知向量a=（sin 0y 2）與b=（l9 cos 6）互相垂直,其中處”,求sin。和cos 0的值;若 5co

10、s(9) = 3-cos(py 0<(p<y 求 cos cp 的值.【課后訓(xùn)練】A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分）一、選擇題（每小題5分，共20分）11.（2012 -）若 tan&+ =4,則 sin 2&等干tan uA.2.嘶大綱全國(guó)）如為第二象限角，心+再，則C5等于A.D3.巳知a, 0都是銳角，若sin a=¥，sin 0=晉，則c+0等干4.JT3kb-tn 3nc.&和才71371(2011 )若 a 0,且 sin2n+cos 2a=-,則 tan a 的值等于4C.yf2二、填空題（每小題5分，共15分）5cos

11、275° + cos215° +cos 75° cos 15° 的值等干寸Stan 12° -34cos212° -2 sin 12°7.33sin <7=, cos 0=二、其中 a,H1o,-，則 a+0= z/三、解答題（共22分）8.（10分）巳知1+sin a1sin a1sin a1+sin c=2聞 6試確定使等式成立的a的取值集合.9.（12分）巳知«（|,兀sin r+cos£_遠(yuǎn)2= 2 (1)求cos a的值；3 (n 若 sinSQuQ Z?(2,兀 J,求 cos0 的值.羽 4 1 ( 3、43 + 3=x +x 丨=2 5十 2 I 5丿10B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘,滿(mǎn)分:43分）一、選擇題侮小題5分，共15分）1.(2012 )若&sin28=,則 sin & 等干3A-54B-52.2巳知 tan(a+=,tan（0才=扌，那么4；13A亦13B丟1D63.7C71當(dāng)一函數(shù) 4) = sin jv+a/3cos x的A最大值是1,最小值是一11B. 最大值是1,最小值是一§C. 最大值是2,最小值是一2D. 最大值是2,最小值是一1二、填空題（每小題5分，共15分）