最新概率論與數(shù)理統(tǒng)計筆記資料

1、精品文檔第一章概率論的基本概念1 隨機試驗1.對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗.2.隨機試驗 E 的所有結果構成的集合稱為 E 的樣本空間，記為，稱 S 中的元素 e 為基本事件或樣本點 .3.可以在相同的條件下進行相同的實驗；每次實驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會實現(xiàn) .2. 樣本空間、隨機事件1. 對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預知試驗結果，但試驗的所有可能結果組成的集合是已知的 .我們將隨機試驗 E 的所有可能結 果組成的集合稱為 E 的樣本空間，記為 S 樣本空間的元素，即 E 的每 個結果稱為樣本點.2. 一

2、般我們稱 S 的子集 A 為 E 的隨機事件 A，當且僅當 A 所包含的一 個樣本點發(fā)生稱事件 A 發(fā)生 .如果將 S 亦視作事件，則每次試驗 S 總是 發(fā)生，故又稱 S 為必然事件。為方便起見，記 ' 為不可能事件， ?不 包含任何樣本點.3. 若 A B , 則稱事件 B 包含事件 A，這指的是事件A 發(fā)生必導致事件的發(fā)精品文檔精品文檔生。若 A B 且 B A，即 A 二 B，則稱事件 A 與事件 B 相等.精品文檔4. 和事件 AUB= X|XA 或 xA ： A 與 B 至少有一發(fā)生 .5?當 AB- ' 時，稱事件 A 與 B 不相容的，或互斥的.這指事件 A 與事

3、 件 B 不能同時發(fā)生 .基本事件是兩兩互不相容的.A 的逆事件記為A, A A = S,若 AU A = S,則稱 A, B 互逆，互斥AA =0 AB =06. 當且僅當 A,B 同時發(fā)生時，事件 AB 發(fā)生 .A"B 也記作 AB . 當且僅當 A, B 同時發(fā)生時，事件 A n B 發(fā)生 ，A" B 也記作 AB.7.事件 A 的對立事件：設A 表示事件“A 出現(xiàn)” ，貝“事件A不出現(xiàn)”稱為事件A 的對立事件或逆事件 .事件間的運算規(guī)律：,，則有設 AB C為事件(1)交換律：AUB 二 BUA, AB 二 BA(2)結合律：( AUB) UC 二 AU( BUC)

4、 ,( AB ) C 二 A(BC)(3)分配律 :(A UB) Oc =(APlC)U(BnC) 二 ACUBC(4) deMorga n 律: AUB 二 A“ B, A “B二AUB3. 頻率和概率"I.記 fn A 二nA其中 nA - A 發(fā)生的次數(shù) ( 頻數(shù) ) ；n - 總試驗次數(shù) . 稱 fn(A) 為 A 在這 n 次試驗中發(fā)生的頻率 .頻率 fn(A) 反映了事件 A 發(fā)生的頻繁程度 .2. 頻率的性質 : 1 O fn(A) 乞 12 。fn (S) = 1精品 若仙 A,A 兩兩互不相容，則kkfn( UA) 匹 fn(A) 冃品 y id 3?當重復試驗次數(shù)

5、 n逐漸增大時，頻率f (A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù) .這種“頻率穩(wěn)n定性”即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性 .我們讓試 驗重復大量次數(shù)，計算頻率 fn(A) 以它來表征事件 A 發(fā)生可能性的大 小是合適的 .fn (A)隨 n 的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為 p . f n( A) 的穩(wěn)定 值 p 定義為 A 的概率，記為 P(A) = p .精品文檔精品文檔4. 概率定義：設 E 是隨機試驗， S 是它的樣本空間 .對于 E 的每一個 事件 A賦予一個實數(shù)，記為P(A) ，稱為事件 A 的概率 .滿足下列條件 ：(1)非負性：對于每一個事件A, 有 P(A) 一 0;規(guī)范性：對于必然事件S,有

6、 P(S) = 1; 可列可加性： 設 A,A 2,iil 是兩兩相互不相容的事件，即對于i = j， AA j， i, j 72IH ，則有P(A UA2 U 尸 P( A)+ P A) +；5. 概率定義推得的重要性質 .(1) P( )=0(2)有限可加性若AiA 2A3An 是兩兩互不相容的事件則有P Al 4 UA n = P(A) P A 2 P (An )(3) 對于任一事件 P(A) 叮(4)對于任一事件A 有 P(A) P A(5)P(AU B) 二 P(A) P(B) - P(AB)精品文檔4 . 等可能概型 ( 古典概型 )1?當試驗的樣本空間只含有有限個元素，并且試驗中

7、每個基本事件發(fā)生的可能性相同，具有這樣特點的試驗是大量存在的，則稱這種試驗為等可能概型?它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為等可能概型 .2.kkA 包含的基本事件即是等可能概型中p A 八 p數(shù)j njj事件 A 的概率的計算公式5?條件概率1. 條件概率定義：設 A,B 是兩個事件 ，且 P(A) 0 ，稱 P(B|A) 二巴迪1 P(A)為在 A 事件發(fā)生條件下B 事件發(fā)生的條件概率.2?符合條件概率的三個條件，即：(1) 非負性 對于每一事件 B 有 P( BA ) HO(2)規(guī)范性對于必然事件S,有P(SA)=1(3) 可列可加性 設 B1B2 川是兩兩互不相容的事件，則

8、有P|J B|A =無 P(B A)liT丿 i 占3. 乘法定理：設 P(A) AO，則有 P(AB)=P(B|A)P(A)推廣 ：一般設AAJHAn 為 n 個事件， n2,且 PAA 12 A m_ ? 0 有P( AA2 ilA) = P ( A|A A 2 |liAn P(AdA AJII 人 /A P( AJA)P(A).4. 全概率公式：設試驗E 的樣本空間為S，A 為 E 的事件 ,精品文檔精品文檔BI,B2,? ,Bn 為 S 的一個劃分，且P(B i)0(i=1,2, ,n)，則P A 二 PA|B PBIPA|B 2 P B 2lli p A B nP Bn5. 貝葉斯公

9、式：設試驗 E 的樣本空間為 S , A 為 E 的事件 ，E,B2,? ,Bn 為 S 的一個劃分，且 P(B i)0( 1,2,., n) ，則ce A P ( A|B )P(Bi )P(B i |A)= - -S P(AB j )P(B j )j 討6. 獨立性1. 定義：設 A,B 是兩事件，如果滿足等式P(AB) 二 P(A)P(B) ，則稱事件 A,B 相互獨立，簡稱A,B 獨立 .若 P(A) O,P(B) 0 , 則 A,B 相互獨立與 A,B 互不相容不能同時成立.2. 定理一：設 A,B 是兩事件，且 P A >0, 若 A,B 相互獨立，則P(B|A)=P(B).

10、反之亦然 .3. 定理二：若事件 A 與 B 相互獨立則 A 與 B， A 與 B，A 與 B 也相 互獨立 .4. 推廣定義：設 A,B,C 是三個事件，如果滿足等式P(AB) 二 P(A)P(B),P(BC) 二 P(B)P(C)，P(AC) 二 P(A) P(C) , P(ABC) 二 P(A)P(B)P(C) 則稱事件A,B,C 相互 獨立 .5. A, B 相互獨立二A, B 相互獨立二A, B 相互獨立二A, B 相互獨立當PAB 二 PAPB 時PAB 二 PA-AB 二 PA-PAB 二 PA 訃1-PB=PAPB精品文檔精品文檔第二章隨機變量及其分布1. 隨機變量1. 定義：

11、設隨機試驗的樣本空間s e, x = x 1 e 是定義在樣本空間 s 上的實值單值函數(shù)，稱x為隨機變量離散型常見的兩類隨機變量連續(xù)型2. 本書中一般以大寫字母如 X,Y,Z, W,表示隨機變量，而以小寫字 母x,y, z,w, 表示實數(shù) .2. 離散型隨機變量及其分布律1. 定義：有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量.2. 定義：取值可數(shù)的隨機變量為離散量 .一般地，設離散型隨機變量X 所有可能取的值為xk（k=12 ）x 取各個可能值的概率論，即事件的概率為PlX 二 Xk?二 Pk,k 二 1,2,稱為離散型隨機變量X 的分布律。

12、 Pk 滿足如下兩個條件：cd（1） Pk -0（2） ' Pk =13. （0- 1）分布設隨機變量 X 只可能取 0 與 1 兩個值 ,它的分布律是PX =k = pH", k =0,1（ 0 ： p <1, p * q=1）, 則稱X 服從（ 0- 1）分布或兩點分布 .(01) 分布的分布律也可寫成精品文檔精品文檔4. 設試驗只有兩個可能結果：A 及 A,則稱 E 為伯努利試驗 . 設P(A) 二 P( 0 * P : 1)，此時 P(A) - p, 將 E 獨立重復地進行n 次，則稱這一串重復的獨立試驗為n 重伯努利試驗 .PX 二 k-ChW ，k = 0,

13、1,2,|, nC； pkqZ 剛好是二項式 (p q) n 的展開式中出現(xiàn)Pk 的那一項，故稱隨機變量 X 服從參數(shù) n, p 的二項分布，記為 X? B(n, p) 特別，當 n時 二項分布化為 Plx 二 k?二 pp1 七 k =0,1 ，這就是 ( 0-1 ) 分布 .5. 泊松分布設隨機變量 X 所有可能取值為0,1,2 .而取各個值的概率為, ,kP：X =k k = 0,1,2，,其中 0 是常數(shù)， k!則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布， 記為 X PC ).3. 隨機變量的分布函數(shù)1. 分布函數(shù)的定義設 X 是一個連續(xù)隨機變量，稱F(x) 二 p(X 遼 x)(- x 為 X

14、 的 分布函數(shù) .X是隨機變量 ，x 是自變量 .由定義，對任意實數(shù)x! ： x，隨機點落在區(qū)間,X 21 的概率為：px1 X X2=px 蘭 X2一 px 蘭 X,= F( X2) F( X1)2. 分布函數(shù)性質(1)0zF(x) z1,x ( 八，二 )尸 ( 兒) 乞 F(X2 ) ,(x ： x2)(單調不減性 )精品文檔精品文檔(3) F(- ： )二 lim F(x) = 0,F( ： )二 lim F(x) = 1 x_sc(4) lim 二 F(Xo),(- xo ： )x”即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).3. 公式(1) Pa ： X 乞 b二 F (b) F(a)(2) PX

15、a =1 -F(a).4. 連續(xù)型隨機變量及其概率密度1. 如果對于隨機變量X 的分布函數(shù) F x ，存在非負函數(shù)f(x)，使x對任意實數(shù) x 有 F(x)=J f(t)dt ，則稱 X 為連續(xù)型隨機變量，其中 _oQ 函數(shù) f (x) 稱為 X 的概率密度函數(shù)簡稱概率密度。在實際應用中遇到的基本上是離散型或連續(xù)型隨機變量.2. 概率密度 f(x) 性質：(1) f(x)-O(2)f xdx=1-_oO(3) 對于任意實數(shù)冷 X2 ，為乞 x2 ,P' x 1 X - x = F x 2 - F x 1f x dxx1(4)若 f (x) 在點 x 處連續(xù)則有F x =f(x)3. 均

16、勻分布：設連續(xù)型隨機變量 X 具有概率密度? 1 .- a x b精品文檔精品文檔f (x)- a,，則稱 X 在區(qū)間 a,b 上服從均勻分布 .記為【 0,其他精品文檔精品文檔XU ( a,b ) .易知 f(x)O, 且 f(x)dx=1-GO4 指數(shù)分布：設連續(xù)型隨機變量X 具有概率密度ex a 0f ( x)= e ,x 0 ，其中 日0 為常數(shù)，則稱X 服從參數(shù)為 日的指0,其他數(shù)分布 .易知 f(x)0, 且 J f (x)dx=1-QO5 正態(tài)分布：設連續(xù)型隨機變量X 具有概率密度則稱 X 服從參數(shù)為 J 5 的正態(tài)分布.特別的，當 =0” =1時，稱 X 服從標準正態(tài)分布5.

17、隨機變量的函數(shù)分布定理：設隨機變量X 具有概率密度fX x , ：，又設函數(shù)g(x) 處處可導且恒有 g(x) ? 0(或恒有 g (x) : 0)，則 Y=g(X) 是連續(xù)型隨機變量，''其概率密度為fY x 八 0 川川心：其丁 .第三章多維隨機變量及其分布1.二維隨機變量1. 設隨機試驗 E 的樣本空間為： Se,X e 、Ye 為定義在 S 上的隨機變量，由它們構成一個隨機向量( X、Y),叫二維隨機向量或二維隨機變量 .2. 定義：設二維隨機變量( X、Y)，對任意實數(shù)x、y , 二元函數(shù)精品文檔精品文檔F(X, Y) 二 PxYV 稱為 (X、 Y)的( 聯(lián)合 )

18、概率分布函數(shù) .二維隨機變量分布函數(shù)的性質：（1） F x, y 是變量 x 和 y 的不減函數(shù)，即對任意固定的y，當 仇 Xi時 F X 2, y - F X i,y ; 對于任意固定的x，當 y yi 時F x,y 2 _F x,y i .（2） 0 乞 F x, y < 1，且對于任意固定的y，F(xiàn) -： ,yi；=O，對于任意固定的x, F x,- ：- 0, F - ： ,- ： - 0, F 二廠： -1.（3） F x,y =F x 0,y ，F(xiàn) x, y =F x, y 0 ，即 Fxy, 關于 x 右連續(xù)，關于 y 也右連續(xù) .（4）對于任意 xi,yi ， X2,y2，

19、 x? ?人， 土 * ，下述不等式成立： F x 2,y2 - F x 2,%F x 1,y1 - F xy 2 - 0.如果二維隨機變量 （X,Y）全部可能取到的不相同的值是有限對或可列無限多對，則稱 （X,Y）是離散型的隨機變量.3. 對于二維隨機變量 X,Y 的分布函數(shù) F x,y . 如果存在非負的函數(shù) f x,y 使對于任意 （X、Y）有 F x,y 二 f J , dF , 丄 _oO _oO則稱 X,Y 是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)f x,y 稱為二維隨機變量 X,Y 的概率密度，或稱為隨機變量X 和 Y 的聯(lián)合概率密度 .概率密度 f x, y 具有以下性質：(1) f(x,y)-0(2)二： f(x,y)dxdy 二 FC < ) =1精品文檔精品文檔 設 G 是 xOy 平面上的區(qū)域，點 (X、Y)落在 G 內的概率為P"X,Y) G= f (x, y)dxdyG精