抽屜原理與排列組合.

1、抽屜原理把 4 只蘋果放到 3 個(gè)抽屜里去， 共有 3 種放法， 不論如何放， 必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè) 蘋果。同樣，把 5 只蘋果放到 4 個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n1 只蘋果放到 n 個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。利用抽屜原理，可以說(shuō)明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過(guò)，抽屜原理不是拿來(lái)就 能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找“抽屜” ，制造“抽屜” ，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作 “抽屜”，把什么看作“蘋果” ?！纠?1】一個(gè)小組共有 13 名同學(xué)，其中至少有 2 名同學(xué)同一個(gè)月過(guò)生日。

2、為什么？【分析】每年里共有 12 個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某一個(gè)月。如果把這 12 個(gè)月看成 12 個(gè)“抽屜”，把 13 名同學(xué)的生日看成 13 只“蘋果”，把 13 只蘋果放進(jìn) 12 個(gè) 抽屜里， 一定有一個(gè)抽屜里至少放 2 個(gè)蘋果， 也就是說(shuō)， 至少有 2 名同學(xué)在同一個(gè)月過(guò)生日。【例 2】任意 4 個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是3 的倍數(shù)。這是為什么？【分析】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律： 如果兩個(gè)自然數(shù)除以 3 的余數(shù)相同， 那么這兩 個(gè)自然數(shù)的差是 3 的倍數(shù)。而任何一個(gè)自然數(shù)被 3 除的余數(shù)，或者是 0，或者是 1，或者是 2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3 類，這

3、 3 種類型就是我們要制造的 3 個(gè)“抽屜”。我們把 4 個(gè)數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個(gè)抽屜里至少有2 個(gè)數(shù)。換句話說(shuō)， 4個(gè)自然數(shù)分成 3 類，至少有兩個(gè)是同一類。 既然是同一類， 那么這兩個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù)就一 定相同。所以，任意 4 個(gè)自然數(shù)，至少有 2 個(gè)自然數(shù)的差是 3 的倍數(shù)。想一想，例 2 中 4 改為 7， 3 改為 6，結(jié)論成立嗎？【例 3】有規(guī)格尺寸相同的 5 種顏色的襪子各 15 只混裝在箱內(nèi)，試問(wèn)不論如何取，從 箱中至少取出多少只就能保證有 3 雙襪子（襪子無(wú)左、右之分）？【分析】試想一下，從箱中取出6 只、9 只襪子，能配成 3 雙襪子嗎？回答是否定的。

4、按 5 種顏色制作 5 個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理 1，只要取出 6 只襪子就總有一只抽屜里裝 2 只， 這 2 只就可配成一雙。拿走這一雙， 尚剩 4 只，如果再補(bǔ)進(jìn) 2 只又成 6 只， 再根據(jù)抽屜原理 1，又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn) 2 只，又可取得第 3 雙。所以，至少要取 62 2=10 只襪子，就一定會(huì)配成3 雙?！纠?4】一個(gè)布袋中有 35 個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有 10 個(gè)， 另外還有 3 個(gè)藍(lán)色球、 2 個(gè)綠色球，試問(wèn)一次至少取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中至少 有 4 個(gè)是同一顏色的球？【分析】從最“不利”的取出情況入手。最不利的情況是首先取出的 5 個(gè)球

5、中，有 3 個(gè)是藍(lán)色球、 2 個(gè)綠色球。接下來(lái)，把白、黃、紅三色看作三個(gè)抽屜，由于這三種顏色球相等均超過(guò) 4 個(gè)，所以， 根據(jù)抽屜原理 2,只要取出的球數(shù)多于（4-1）X3=9 個(gè)，即至少應(yīng)取出 10 個(gè)球，就可以保 證取出的球至少有 4個(gè)是同一抽屜（同一顏色）里的球。故總共至少應(yīng)取出 105=15 個(gè)球。思考：把題中要求改為 4 個(gè)不同色,或者是兩兩同色,情形又如何？（答案分別為 31 和33）當(dāng)我們遇到 “判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有,至少有幾個(gè)” 這樣的問(wèn)題時(shí), 想到它 抽屜原理,這是你的一條“決勝”之路。提示語(yǔ)抽屜原理還可以反過(guò)來(lái)理解：假如把 n+1 個(gè)蘋果放到 n 個(gè)抽屜里，放 2

6、個(gè)或 2 個(gè)以上 蘋果的抽屜一個(gè)也沒有（與“必有一個(gè)抽屜放 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果”相反） ,那么,每個(gè) 抽屜最多只放 1 個(gè)蘋果, n 個(gè)抽屜最多有 n 個(gè)蘋果,與“ n+1 個(gè)蘋果”的條件矛盾。運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜” 。通常,可采用把 n 個(gè)“蘋果”進(jìn)行合理分類的方 法來(lái)制造抽屜。比如,若干個(gè)同學(xué)可按出生的月份不同分為12 類,自然數(shù)可按被 3 除所得余數(shù)分為 3 類排列組合問(wèn)題例 1 ：某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多 少種不同的買法？分析：某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食。其中，買主食有 3 種不同的方法，買副食有

7、5 種不同的方法。故可以由乘法原理解決：解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3X5=15 種不同的方法。例 2：書架上有 6 本不同的外語(yǔ)書， 4 本不同語(yǔ)文書，從中任取外語(yǔ)、語(yǔ)文書各一本， 有多少本不同的取法？分析： 要做的事情是從外語(yǔ)、語(yǔ)文書中各取一本。 完成它要分兩步：即先取一本外語(yǔ)書 （有 6 種取法），再取一本語(yǔ)文書（有 4 種取法）。所以，用乘法原理解決。解：從架上各取一本共有 6X4 = 24 種不同的取法。例 3：由數(shù)字 0、1、2、3 組成的三位數(shù)，問(wèn)：（ 1 ）、可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？（2）、可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在確定由 0、1、2、3 組成的三

8、位數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)該一位一位地去確定。所以， 每個(gè)問(wèn)題都可以看成是分三個(gè)步驟來(lái)完成。（1） ：要求組成不相等的三位數(shù)。所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有 3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有 4 種不同的取法；個(gè)位上，也有4 種不同的取法，由乘法原理，共可組成3X4X4= 48 個(gè)不相等的三位數(shù)。（2） ：要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0，有 3 種不同的取法；十位上，由于百位上已在 1、2、3 中取走一個(gè)，故只剩下 0 和其它兩個(gè)數(shù)字，故有 3 種取法； 個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)數(shù)字中取，有2 種取法，由乘法原理，共

9、有 3X3X2= 18 個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。例 4：現(xiàn)有一角的人民幣 4 張，貳角的人民幣 2 張，壹元的人民幣 3 張，如果從中至少 取一張，至多取 9 張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？分析： 要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個(gè)錢數(shù)，需一步一步地來(lái)做。如先取 一解的，再取貳角的，最后取壹元的。但注意到， 取 2 張一角的人民幣和取 1 張貳角的人民 幣，得到的錢數(shù)是相同的。 這就會(huì)產(chǎn)生重復(fù)， 如何解決這一問(wèn)題呢？我們可以把壹角的人民 幣 4 張和貳角的人民幣 2張統(tǒng)一起來(lái)考慮。 即從中取出幾張組成一種面值， 看共可以組成多 少種。分析得知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面

10、值，共 8 種情況。整個(gè)問(wèn)題就變 成了從 8 張壹角的人民幣和 3 張壹元的人民幣中分別取錢。 這樣，第一步，從 8 張壹角的人 民幣中取，共 9 種取法，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從 3 張壹元的人民幣中 取共 4 種取法，即 0、1、2、3.由乘法原理，共有 9X4= 36種情形，但注意到，要求”至少 取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應(yīng)減掉。所以有35 種不同的情形。例 5：學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書。小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不 同的外語(yǔ)書 150 本， 不同的科技書 200 本，不同的小說(shuō) 100 本。那么， 小明借一本書可以有 多少種不

11、同的選法？分析：在這個(gè)問(wèn)題中，小明選一本書有三類方法。即要么選外語(yǔ)書，要么選科技書，要 么選小說(shuō)。所以，是就用加法原理的問(wèn)題。解：小明借一本書共有： 150+200+100=450 （種）不同的選法。例 6：一個(gè)口袋內(nèi)裝有 3 個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有 8 個(gè)小球，所有這些小球顏色各不 相同。問(wèn)：（ 1 ）、從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）、從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？分析：（1）、從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，則這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋中取，要么 從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法。所以是加法原理的問(wèn)題。（2）、要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，則可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再?gòu)牡诙€(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成， 是乘法原理的問(wèn)題。解（1）：38=11（種）（ 2）：3X8= 24（種）例 7：有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？1 、 2、 3、 4、 5、 6。分析： 要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)， 只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同， 即這兩個(gè)數(shù)字同為奇 數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，