(完整版)18題高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點,推薦文檔

1、高考數(shù)學(xué)第 18 題(概率與統(tǒng)計)1、 求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識：card (A)m(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)=card(l)= T；等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的基本事件總數(shù)n；設(shè)所求事件 A，并計算事件 A 包含的基本事件的個數(shù)m；P(A)m依公式n求值;答，即給問題一個明確的答復(fù)(2) 互斥事件有一個發(fā)生的概率：P(A+ B)= P(A)+ P(B);特例：對立事件的概率：P(A)+ P(A)= P(A+A)= 1.(3) 相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A- B)= P(A)- P(B);k kn k特例：獨立

2、重復(fù)試驗的概率：Pn(k)=CnP ( p)其中 P 為事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式(1-P)+Pn 展開的第 k+1 項(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：等可能事件互斥事件獨立事件第一步，確定事件性質(zhì)n次獨立重復(fù)試驗即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種和事件第二步，判斷事件的運算積事件即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件等可能事件：P( A)mn互斥事件：P(A B) P(A) P(B)獨立事件：P(A B ) P(A) P (B )第三步，運用公式n次獨立重復(fù)試驗：UKCnkpk(1P)nk求解第四步，答，即給提出的問題有

3、一個明確的答復(fù)2. 離散型隨機(jī)變量的分布列1隨機(jī)變量及相關(guān)概念1隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母E、n等表示2隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量3隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量的分布列1離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為Xl,X2,Xi,取每一個值Xi(i1,2,)的概率 P (Xi)=P，則稱下表.X1X2XiPP1P2Pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：(1

4、)P 0,i1 , 2,；(2)PlP2=1.2常見的離散型隨機(jī)變量的分布列：(1 )二項分布n次獨立重復(fù)試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) 是一個隨機(jī)變量，其所有可能的取值為 0,1,2，k k n kn，并且PkP( k)Cnpq，其中o k n,q 1P，隨機(jī)變量 的分布列如下：01knP00 nCnP qJ 1 n 1CnP q_ k k n kCnP qn n 0CnP q稱這樣隨機(jī)變量 服從二項分布，記作B(n，P),其中n、p為參數(shù)，并記：k k n kCnP q b(k; n , p)(2)幾何分布在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量

5、，“k”表示在第 k 次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生.隨機(jī)變量的概率分布為：123kPpqp2q pk 1q p3離散型隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：Exip X2P2；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平2 2 2離散型隨機(jī)變量的方差：D(X1E ) P1(X2E )p2.(XnE )Pn；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度2基本性質(zhì)：E(ab) aEb；D(a b) a D.E丄 耳如果隨機(jī)變量 服從幾何分布，P( k)g(k,p)，則p,D=p其中 q=l-p.4. 抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法1.簡單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)

6、為N,如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.2 系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出 的規(guī)則，從每一部分抽取 1 個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī) 械抽樣).3 分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各 部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱

7、為總體分布當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表 示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大， 分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.5. 正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)(3 )正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì)：1曲線在 x 軸上方，并且關(guān)于直線x=y對稱.2曲線在 x=y時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.3曲線的對稱軸位置由卩確定；曲線的形狀由確定， 越大，曲線越矮胖”；反之越高(

8、1 )正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為(X )21f (x)e聞2, x R其中、為常數(shù)，并且 0，則稱服從正態(tài)分布，記為N( ,2).(2)期望 E =方差D2若B(n, p),則EnpD =npq (這里 q=1-p)瘦”.三b原則即為數(shù)值分布在(口一b, 中的概率為 0.6526數(shù)值分布在(1一 2b,1+2 的概率為 0.9544數(shù)值分布在(1一 3b,1+3(的概率為 0.9974(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0,=1 時 服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作(5 )兩個重要的公式(x) 1(x),P(a b) (b)(a)2(6)N(，)與N(，1)二者聯(lián)系.6.線性回歸1簡單的說，線

9、性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗公式.具體說來，對 n 個樣本數(shù)據(jù)(心 ), (X2,y2),(Xn，yn)，其回歸直線方程：？bX ?,nXiX yiyi 1n-2XiXi 1j? y bX,x, y稱為樣本中心點,因而回歸直線過樣本中心點.2.相關(guān)系數(shù) r :假設(shè)兩個隨機(jī)變量的取值分別是(X1,y1), (X2,y2),(Xn,yn),則變量1間線性相關(guān)系數(shù) r 的計算公式如下

10、:_(Xi- X)(yi- y)i=1nn(0,1)2若N(,)，則-N(0,1)P(a若N(，)，則b)(b(aXiyinxyi 1n2-2Xinxi 1(xi- X)2(yi- y)2i=1i=1Xiyinxyi 1nn2 2 2Xin( x)yii 1i 1n( y)2當(dāng) r0 時,表明兩變量正相關(guān)；當(dāng) r 0,表明兩變量負(fù)相關(guān).r 越接近 1,表明兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r 越接近 0,表明兩變量的線性相關(guān)關(guān)系幾乎不存在,通常當(dāng) r 0.75 時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.7.獨立性檢驗的概念般地，假設(shè)有兩個分類變量 X 和丫，丫，它們的值域分別為X1, X2和屮胡2y1y2總

11、計X1aba bX2cdc d總計a cb da b c d其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為 2 2 列聯(lián)表）為:我們利用隨機(jī)變量 K2n ad bc2abcdacbd來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”，這種方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.（二）獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的基本思想類似于反證法.要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一 結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立.在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量 K2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的 K2的觀測值 k 很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理具體比較如下表：反證法原理與獨立性檢驗原理的比較反證法原

12、理在假設(shè)Ho下，如果推出一個矛盾,就證明了Ho不成立.獨立性檢驗原理在假設(shè)H。下，如果出現(xiàn)一個與H。矛盾的小概率事件，就推 斷Ho不成立,且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率.（三）獨立性檢驗的方法假設(shè)Hi： “ X 與丫丫有關(guān)系”，可按如下步驟判斷結(jié)論Hi成立的可能性：1. 通過等高條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無 法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度2. 利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判 斷的可靠程度，具體做法是：（1）根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的（3）如果k ko, ,就推斷“ X 與丫丫有關(guān)系”. .這種推斷犯錯誤的概率不超過a; ;否 則, ,就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過a的前提下不能推斷“ X 與丫丫有關(guān)系”，或者 在樣本數(shù)據(jù)中沒有足夠證據(jù)支持結(jié)論“ X 與丫丫有關(guān)系”.理解總結(jié)根據(jù)獨立性檢驗的基本思想，可知對于 K2的觀測值 k,存在一個正數(shù)ko為判斷規(guī)則的臨界值，當(dāng)k ko,就認(rèn)為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個分類變量沒有關(guān)系” 在實際應(yīng)用中，我們把k ko解釋為有1 PK2ko100%的把握認(rèn)為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；把k ko解釋為不能以