專題四因式分解與方程競(jìng)賽

1、專題四 因式分解與方程一、基本知識(shí)和方法1. 因式分解將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式，稱為因式分解。習(xí)慣上，我們要求因式分解的結(jié)果中的多項(xiàng)式為既約多項(xiàng)式。既約多項(xiàng)式也稱為不可約多項(xiàng)式，不能分解為次數(shù)更低的多項(xiàng)式的乘積。如果一個(gè)多項(xiàng)式能夠分解為次數(shù)更低的多項(xiàng)式的乘積，那么這個(gè)多項(xiàng)式稱為可約多項(xiàng)式 這里忽略系數(shù)含有公因子的整系數(shù)多項(xiàng)式。習(xí)慣上，這類多項(xiàng)式的因式分解要求提取系數(shù)的公因數(shù)。即約多項(xiàng)式的判定依賴于多項(xiàng)式所在的數(shù)集。在較小的數(shù)集上既約的多項(xiàng)式，在較大的數(shù)集上可能是可約的。例如，多項(xiàng)式在整數(shù)上是既約的，但是在實(shí)數(shù)上可以分解為；多項(xiàng)式在整數(shù)與實(shí)數(shù)上都是既約的，但是在復(fù)數(shù)上可以分解為

2、。有理系數(shù)多項(xiàng)式可以通過(guò)提取適當(dāng)?shù)挠欣頂?shù)轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項(xiàng)式。在有理數(shù)上分解因式，本質(zhì)上與在整數(shù)上分解因式是一樣的。在上一節(jié)，我們提到了多項(xiàng)式在運(yùn)算上與整數(shù)的相似之處。多項(xiàng)式的因式分解與整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解也是非常相似的。多項(xiàng)式中既約多項(xiàng)式的地位與整數(shù)中質(zhì)數(shù)的地位是相似的，多項(xiàng)式的因式分解與整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解也非常相似。更進(jìn)一步，整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解是唯一的；類似地，在相差一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的意義下，多項(xiàng)式的因式分解也是唯一的。上述事實(shí)被稱為因式分解唯一定理。利用這一定理，我們可以處理一些不太容易處理的問(wèn)題?？紤]多項(xiàng)式的因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：但是如果先利用平方差公式，然后利用立方

3、差與立方和公式，可得：為什么兩種方式分解出來(lái)的結(jié)果不一樣呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我們就可以確信：，多項(xiàng)式乘法顯然可以驗(yàn)證這一等式，我們也可以通過(guò)“拆添項(xiàng)”的技巧來(lái)達(dá)到同樣的目標(biāo)：下面我們來(lái)看一個(gè)更復(fù)雜的例子，考慮多項(xiàng)式的因式分解。一方面，我們有：另一方面，我們還可以得出：又一次地，我們得出了兩個(gè)不同的結(jié)果。不過(guò)根據(jù)前面的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，我們可以確信，利用多項(xiàng)式的除法，我們可以算出：與，這樣我們最終殊途同歸：。這是年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道賽題，后來(lái)又被一位教授用作對(duì)研究生的考題因式分解技巧頁(yè)，單墫，華東師范大學(xué)出版社。得出最后的結(jié)果，一方面需要因式分解唯一定理這一知識(shí)，另一方面還需要證明多項(xiàng)式是

4、既約的 可以利用愛(ài)森斯坦（Eisenstein）判別法來(lái)證明這一多項(xiàng)式是既約多項(xiàng)式；另外，這一多項(xiàng)式是分圓多項(xiàng)式，而分圓多項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)都是既約的。，這是不太容易的。因式分解的理論就介紹到這里，下面我們來(lái)重點(diǎn)介紹因式分解的方法。除了在中學(xué)課本中介紹的方法之外，因式分解有一個(gè)非常重要的方法十字相乘法；其中，又以含有字母系數(shù)的十字相乘法最易被忽視，而這一方法在初等數(shù)學(xué)問(wèn)題中有非常廣泛與重要的應(yīng)用。整數(shù)系數(shù)的二次三項(xiàng)式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用頻率非常高，這里我們就不贅述了。下面，我們從二元二次六項(xiàng)式開(kāi)始?？紤]多項(xiàng)式的因式分解，基本的方法分為三個(gè)步驟：首先選取主元，將多項(xiàng)式整理為關(guān)于降

5、冪排列的形式：，然后分解“常數(shù)項(xiàng)”：，最后利用十字相乘進(jìn)行分解，得：，即。這一方法同樣適用于三元齊二次多項(xiàng)式。例如：。首先關(guān)于降冪排列：，然后分解“常數(shù)項(xiàng)”：，最后十字相乘：。即使多項(xiàng)式的次數(shù)超過(guò)二次，但是只要有一個(gè)字母的最高次數(shù)恰好為二次，這一方法就很有可能成功。下面我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)較復(fù)雜的例子。考慮多項(xiàng)式的因式分解。這個(gè)三元多項(xiàng)式并不是齊二次的，但是其中每一個(gè)字母的次數(shù)都不超過(guò)二次，因此可以選擇作為主元進(jìn)行降冪排列，然后分解： 再看一個(gè)例子：。這是一個(gè)更復(fù)雜的四元四次多項(xiàng)式，但是將其中的與看作是字母系數(shù)，將這個(gè)多項(xiàng)式整理為關(guān)于與的齊二次多項(xiàng)式，十字相乘的方法仍然奏效：2. 因式定理因式分解與

6、方程有著非常緊密的聯(lián)系。利用因式分解來(lái)解一元二次方程是使用頻率非常高的解法。反過(guò)來(lái)，利用方程也可以幫助因式分解。事實(shí)上，我們有：因式定理：設(shè)是一個(gè)多項(xiàng)式，是方程的一個(gè)解，那么多項(xiàng)式有因式。下面，我們用兩種方法來(lái)證明這一定理。設(shè)，其中，都是預(yù)先給定的數(shù)，則。因?yàn)?，所以根?jù)公式，對(duì)于每一個(gè)，即，因此，即有因式。我們用多項(xiàng)式的帶余除法給出另一種證明。設(shè)多項(xiàng)式除以的商式為，余式為，即，則多項(xiàng)式的次數(shù)低于除式的次數(shù)，即實(shí)際上是一個(gè)數(shù)，設(shè)為。因此，在上式中代入，得，因此有，而，所以，即有因式。根據(jù)這一證明，我們可以得到因式定理的一個(gè)推廣：余數(shù)定理 多項(xiàng)式除以所得的余數(shù)等于。當(dāng)我們需要計(jì)算一元多項(xiàng)式中，一個(gè)

7、多項(xiàng)式除以一個(gè)一次多項(xiàng)式的余式時(shí)，余數(shù)定理提供了可能更為快捷的計(jì)算方法。因式定理用于多項(xiàng)式的因式分解，有兩個(gè)比較重要的應(yīng)用：一個(gè)是進(jìn)行高次多項(xiàng)式特別是三次多項(xiàng)式的因式分解，另一個(gè)是對(duì)稱多項(xiàng)式的因式分解。下面我們通過(guò)幾個(gè)例子，主要介紹利用因式定理因式分解一元三次方程。多項(xiàng)式在整數(shù)范圍內(nèi)是既約的，但是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以分解。一種方式是利用因式定理，先求解一元二次方程的兩根分別為，因此；另一種方式就是利用配方與平方差公式：。當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)增加到三次時(shí)，配方的方法就無(wú)法奏效了。例如多項(xiàng)式，我們無(wú)法進(jìn)行配方以利用平方差公式，但是此時(shí)因式定理仍然可以幫助我們。觀察到當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為零，因此是這個(gè)多項(xiàng)式的一

8、個(gè)因式，即。在這里，觀察到是這個(gè)多項(xiàng)式的一根并不完全依靠運(yùn)氣。事實(shí)上，我們有:定理（多項(xiàng)式的有理根） 設(shè)有理數(shù)，其中、；多項(xiàng)式，其中，都是整數(shù)。如果，那么且。這一定理說(shuō)的是，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式有有理根，那么將這個(gè)有理數(shù)寫(xiě)成既約分?jǐn)?shù)的形式后，分子一定整除常數(shù)項(xiàng)，分母一定整除多項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)。對(duì)多項(xiàng)式應(yīng)用這一定理，可以得出：使這個(gè)多項(xiàng)式的值為零的有理數(shù)，其分母一定整除最高次項(xiàng)系數(shù)，其分子一定整除常數(shù)項(xiàng)。即這些有理數(shù)一定都是整數(shù)，并且都是的因數(shù)，因此可能的數(shù)只有、與。 根據(jù)這一定理，任意給定一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，可以列出這個(gè)多項(xiàng)式所有可能的有理根，然后依次進(jìn)行驗(yàn)證。一旦確定一根，根據(jù)因式定理，就可

9、以確定一個(gè)一次因式。繼而利用多項(xiàng)式除法確定另一個(gè)因式，然后繼續(xù)分解這個(gè)因式即可。試有理根的這個(gè)方法，能夠解決相當(dāng)數(shù)量的一元整系數(shù)高次多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題。但是，當(dāng)多項(xiàng)式?jīng)]有有理根時(shí)，這一方法就無(wú)能為力了。例如上一節(jié)給出的多項(xiàng)式。這個(gè)多項(xiàng)式的有理根只可能是或，分別代入驗(yàn)證，可以確認(rèn)都不是多項(xiàng)式的根。結(jié)論就是這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有有理根，因此在有理數(shù)范圍內(nèi)也沒(méi)有一次因式。事實(shí)上，在整數(shù)范圍內(nèi)，它恰有兩個(gè)二次因式。 當(dāng)多項(xiàng)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)中含有無(wú)理數(shù)時(shí)，上面所說(shuō)的試有理根的方法就不存在了。但是只要我們能夠找到多項(xiàng)式的無(wú)理根，一樣可以利用因式定理來(lái)分解因式。例如多項(xiàng)式，觀察到當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為零，因此，利用多

10、項(xiàng)式的除法可得，其中，二次三項(xiàng)式的判別式小于零，在實(shí)數(shù)上是既約的。在這個(gè)例子中，運(yùn)用“拆添項(xiàng)”的技巧，也不是不能直接進(jìn)行因式分解：但是觀察出多項(xiàng)式有一根應(yīng)該比找到上述的“拆添項(xiàng)”容易一些。下面我們來(lái)看一個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的例子，考慮多項(xiàng)式?，F(xiàn)在，需要有歐拉一般的直覺(jué)，才能找到正確的“拆添項(xiàng)”；似乎需要比歐拉更敏銳的直覺(jué)，才能找到多項(xiàng)式的一根，以便因式定理能夠發(fā)揮作用。在這里，試有理根的方法通過(guò)另一種方式發(fā)揮作用，提供一些找到無(wú)理根的可能。注意到多項(xiàng)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，都具有的形式，其中。我們將這類數(shù)全體構(gòu)成的集合記為，具有與整數(shù)類似的性質(zhì)。類比對(duì)整系數(shù)多項(xiàng)式試有理根的方法，我們先將常數(shù)項(xiàng)在上分解：，這樣

11、我們得到在中共有八個(gè)因數(shù)：、與。依次試算，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為零，因此有，利用多項(xiàng)式除法可以算出，一元二次方程的兩解為,因此。3.韋達(dá)定理韋達(dá)定理是描述一元方程根與系數(shù)關(guān)系的定理。考慮一元二次方程,設(shè)這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根與，那么根據(jù)因式定理，可以得出，將等式右邊乘開(kāi)，比較兩邊系數(shù)，可得這個(gè)關(guān)系就是一元二次方程韋達(dá)定理的內(nèi)容 事實(shí)上，當(dāng)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解時(shí)，韋達(dá)定理對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)根仍然成立。進(jìn)一步地，考慮一元三次方程，設(shè)這個(gè)方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根、與，根據(jù)因式定理可以得出，比較兩邊系數(shù)，可得這就是一元三次方程的韋達(dá)定理。類似地，可以得到一元次方程的韋達(dá)定理。利用韋達(dá)定理，我們可以簡(jiǎn)化一些問(wèn)題的計(jì)算。例

12、如，已知方程的一根是，求的值與另一根。我們可以先將帶回方程中，解出，然后再求解一元二次方程得到另一根。但是利用韋達(dá)定理，我們可以直接得出另一根為，繼而得出，計(jì)算簡(jiǎn)便許多。又例如，已知與是一元二次方程的兩根，求值。如果先求解方程得出，再代入中，計(jì)算將非常麻煩。但是利用韋達(dá)定理，我們有，韋達(dá)定理的逆定理也是成立的：定理（韋達(dá)定理逆定理） 當(dāng)實(shí)數(shù)與滿足且時(shí)，與是方程的兩根。 將與代入方程中，有，分解因式，因此與是方程的兩根。相對(duì)于韋達(dá)定理，其逆定理更常用。例如，已知實(shí)數(shù)、與滿足，我們可以得到，因此，與是一元二次方程的兩根，因此這個(gè)方程的判別式必然大于零。然而，所以，即，繼而可以求得。二、典型例題：例

13、1. 此題背景參見(jiàn)閱讀材料分圓多項(xiàng)式。（2006復(fù)旦保送推優(yōu)）下列各式能否在實(shí)屬范圍內(nèi)分解因式？若能，請(qǐng)做出分解；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1) (2) (3) (4)例2. 已知，求的值例3.（2008浙江）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則 。例4.（2003北京市高一競(jìng)賽題） 已知正整數(shù)滿足，求的值。例5. 解方程。例6. 已知，求方程的實(shí)數(shù)解例7.求值：.例8.當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，關(guān)于的方程（1）沒(méi)有實(shí)數(shù)解；（2）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；（3）有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；（4）有三個(gè)實(shí)數(shù)解。例9.已知的三個(gè)根分別為，并且是不全為零的有理數(shù)，求的值例10解方程組 習(xí)題1解方程2（06年上海交大）設(shè)，解方程3（復(fù)旦）在實(shí)

14、數(shù)范圍內(nèi)求方程4已知方程組恰有兩組解，求實(shí)數(shù)的取值范圍5. (2007浙江) 設(shè)為方程的根（），則.（用表示結(jié)果）6方程組的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)為 7解方程組8求所有滿足方程組的三元實(shí)數(shù)組閱讀材料：分圓多項(xiàng)式。在復(fù)數(shù)域內(nèi)，方程的根稱為次單位根，其中。設(shè)為一個(gè)次單位根，則有。根據(jù)棣莫弗公式，有，即，因此且一定是的整數(shù)倍。設(shè)，其中，則，因此有，其中。容易看出，由上式表示的不同的的值只有個(gè)，即復(fù)數(shù)域上，恰有個(gè)次單位根。設(shè) 中的表示上標(biāo)，而不是乘方。，其中，恰為輻角在中的個(gè)次單位根，它們的輻角都是的整數(shù)倍。在復(fù)平面上，它們構(gòu)成單位圓的內(nèi)接正邊形。個(gè)次單位根關(guān)于乘法構(gòu)成元循環(huán)群。其中，有一些單位根是這個(gè)循環(huán)群

15、的一個(gè)生成元，但是另一些不是。例如，的復(fù)根有三個(gè)，分別為，與，習(xí)慣上，也記為。可以驗(yàn)證，因此，是三次單位根循環(huán)群的生成元。同理可以驗(yàn)證，也是三次單位根循環(huán)群的生成元，但是不是。又例如，的復(fù)根有四個(gè)，分別為，其中，因此與都是四次單位根循環(huán)群的生成元；但是，因此不是四次單位根循環(huán)群的生成元，也不是。次單位根循環(huán)群的生成元稱為本原次單位根（）。形式上，如果記，那么，是本原次單位根當(dāng)且僅當(dāng)。例如，在四次單位根中，所以與不是本原四次單位根，與是本原四次單位根。 直觀上，次單位根是本原次單位根，當(dāng)且僅當(dāng)它不是任意低于次單位根。還是以四次單位根為例，是方程的解是一次單位根，是方程的解是二次單位根，因此它們都不是本原四次單位根。在這里我們可以注意到，形式上，次單位根的上標(biāo)與下標(biāo)約去一個(gè)公因子后，得到的新單位根跟原單位根相等。例如，。 根據(jù)上面的討論，本原次單位根共有是歐拉函數(shù)，表示與互質(zhì)的不超過(guò)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。個(gè)，分別記為，。令多項(xiàng)式，稱為次分圓多項(xiàng)式，其中是不小于的整數(shù)；特別地，。的任何一個(gè)復(fù)數(shù)根，都是次單位根循環(huán)群的生成元，通過(guò)乘方就可以在復(fù)平面上等分單位圓。注意，次分圓多項(xiàng)式不一定是次的。形式上，則。我們可以求得一些分圓多項(xiàng)式：當(dāng)時(shí)，是本原次單位根，；當(dāng)時(shí)，是本原次單位根，；當(dāng)時(shí)，與是本原三次單位根，；當(dāng)時(shí)，與是本原四次單位根，；當(dāng)